江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书文苏教版.docx

9.6 双曲线1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2aF1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()1.(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2.若方程1表示双曲线，则m的取值范围是_.答案(，2)(1，)解析由题意知(2m)(m1)0，解得m1或m0，b0).由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有PF1PF2PF22a2，PF12PF24，则cosF1PF2.引申探究1.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，所以PF1PF28，所以PF1PF2sin 602.2.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a2，由于0，所以，所以在F1PF2中，有PFPFF1F，即PFPF16，所以PF1PF24，所以PF1PF22.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与PF1PF2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出的值即可.(1)已知F1，F2为双曲线1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则APAF2的最小值为_.(2)(2015课标全国)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_.答案(1)2(2)y21解析(1)由题意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则APAF1PF1，APAF2的最小值为APAF12a2.(2)由双曲线的渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.题型二双曲线的几何性质例4(1)(2016盐城三模)若圆x2y2r2过双曲线1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.答案(1)2(2)解析(1)若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2y2r2上，则点A坐标为(，c)，此时rc.又点A在渐近线上，所以c，即，所以e 2.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p x，x，y，A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，即1，.设C1的离心率为e，则e21.e. 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2016全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为_.答案解析离心率e，由正弦定理得e.题型三直线与双曲线的综合问题例5(2016苏州模拟)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2有两个不同的交点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k21.故k的取值范围为(1，)(，1).思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A，B两点.若2，则直线l的斜率为_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.又2，(x1,1y1)，(x2，y21).所以即代入双曲线方程联立解得或所以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，故k或k，即直线l的斜率为.10.直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？错解展示现场纠错解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程可化为2x24x30.162480，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0)的一个焦点在圆x2y24x50上，则双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析由得x24x50，解得x5或x1.又a3，故c5，所以b4，双曲线的渐近线方程为yx.5.已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_.答案(1,2)解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2).6.(2016浙江)设双曲线x21的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是_.答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而F1F24，由对称性不妨设P在右支上，设PF2m，则PF1m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又PF1PF22m2，22m28.7.(2016南京三模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_.答案解析不妨设双曲线方程为1 (a0，b0)，设F(c,0)，线段PF的中点为(0，b)，则P(c,2b).由点P在双曲线上，得41，所以e.8.设双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上位于第一象限内的一点，且PF1F2的面积为6，则点P的坐标为_.答案(，2)解析由双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，所以F1F26，设P(x，y) (x0，y0)，因为PF1F2的面积为6，所以F1F2y6y6，解得y2，将y2代入1得x.所以P(，2).9.(2016扬州一模)已知F1，F2分别是双曲线1 (a0，b0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为_.答案2解析由题意知渐近线yx与直线y(xc)交于点M，解得M(，).因为点M在圆x2y2c2上，所以c2，解得3，所以e 2.10.(2015课标全国改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是_.答案解析由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0).0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为_.答案解析由定义，知PF1PF22a.又PF14PF2，PF1a，PF2a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.12.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O且所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使A1B1A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_.答案解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，3.又e2()21，e24，0，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有两式作差，得，又AB的斜率是1，所以1.将4b25a2代入a2b29，得a24，b25.所以双曲线的标准方程是1. 14.已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，且ba.(1)求双曲线C的方程；(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x1)2y23上；(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)由已知，得c2，c2a2b2，ba，4a23a2，a21，b23，双曲线C的方程为x21.(2)由题意，得直线l：m(x2)y0，由得(3m2)x24m2x4m230.由0，得4m4(3m2)(4m23)0，12