高中数学几何变换与矩阵2.1.1矩阵的概念学案苏教版.docx

2.1.1矩阵的概念1.了解矩阵产生背景.2.会用矩阵表示一些实际问题.3.了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示.基础初探1.矩阵的有关概念矩阵的定义在数学中，我们把形如，这样的矩形数字(或字母)阵列称做矩阵矩阵的表示一般地，我们用黑体大写拉丁字母A，B，或者(aij)来表示矩阵，其中i，j分别表示元素aij所在的行与列矩阵的行、列、元素同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素.零矩阵所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0行矩阵把像这样只有一行的矩阵称为行矩阵.列矩阵把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母，来表示2.矩阵的相等对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，此时记作AB.3.矩阵与平面向量的关系由于点P(x，y)平面向量，因此，既可以表示点(x，y)，也可以表示以O(0，0)为起点、以P(x，y)为终点的向量，故在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别.思考探究1.矩阵(a23)与矩阵(a32)一样吗？【提示】不一样，因为矩阵(a23)表示2行3列矩阵，而矩阵(a32)表示3行2列矩阵.2.对于mn矩阵，由多少个元素组成？【提示】对于12矩阵有12个元素组成；对于13矩阵有13个元素组成；对于22矩阵有22个元素组成；对于23矩阵有23个元素组成；对于mn矩阵有mn个元素组成.3.两个矩阵中的元素相同时，矩阵相等吗？【提示】不一定.两个同行同列且元素相同的矩阵，只要相同元素的对应位置不同，这两个矩阵就不相等，如.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：0，0和，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：用矩阵表示图形用矩阵表示如图211中的直角ABC，其中A(4，0)，B(0，2)，C(1，0) 【导学号：30650000】图211【精彩点拨】【自主解答】因为直角ABC由点A，B，C惟一确定，点A，B，C可以分别用列向量，来表示，所以ABC可以表示为M.矩阵可以认为是由几个点的坐标构成的列向量组成，反过来，矩阵可以表示几个点，或它们构成的平面图形.若像例1中那样用矩阵M表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】矩阵M表示由点(0，0)，(1，2)，(3，2)，(2，0)四个点构成的一个平行四边形.用矩阵表示实际问题某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A、B、C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A、B、C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨.试用矩阵表示上述数据关系.【精彩点拨】求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素.【自主解答】设甲、乙两个矿区分别向A，B，C三个城市的送煤量组成行向量，则，.故甲、乙两个矿区向A，B，C三个城市的送煤量用矩阵表示为.用矩阵表示实际问题的一般思路是：先将实际问题中的几个量(或将实际问题数字化后得到向量)组成行向量(或列向量)，再将其用矩阵表示.某班A，B，C，D四名学生的成绩统计表如下：成绩统计表：姓名科目ABCD语文82759263数学90899572英语95909290试用矩阵表示上述数据. 【导学号：30650004】【解】矩阵可以表示为矩阵相等的确定与应用设A，B，且AB，求p，q，x，y.【精彩点拨】利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解.【自主解答】AB，得根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的方程(组)从而求解.已知矩阵A，B，若AB，试求a，b，c，d的值. 【导学号：30650001】【解】因为AB，即，从而有由此解得a1，b1，c，d.真题链接赏析(教材第10页习题第5题)设A，B，若AB，求x，y，m，n的值.已知A，(0，2)，B，若AB，求，的值.【命题意图】本题主要考查矩阵相等的概念，以及方程思想.【解】AB，2k1，k1Z，2k2，k2Z.又，(0，2)，.1.已知A，则矩阵A是一个_行_列矩阵，a24_. 【导学号：30650002】【解析】根据矩阵定义知A为一个二行四列矩阵，a248.【答案】二四82.在二阶矩阵中，第二行、第一列的数是_.【解析】a213.【答案】33.下列为列矩阵的有_(只填正确答案的序号).00；.【解析】由列矩阵的定义知，为列矩阵，故填.【答案】4.已知矩阵A，矩阵B.若AB，则x_，y_.【解析】因为AB，则【答案】82我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(一)学业达标1.画出矩阵所表示的三角形.【解】矩阵所表示的点依次为A(2，1)，B(3，1)，C(1，2)，则三点所确定的三角形如图所示：2.已知矩阵A，B.若AB，求xymn的值. 【导学号：30650003】【解】AB，xymn00.3.已知方程组为(1)写出由它的系数构成的矩阵；(2)若将常数项与系数联合起来，可以构成一个二行三列的矩阵，试写出该矩阵.【解】(1)因为方程xy2中x与y的系数分别为1，1；方程x2y3中x与y的系数分别为1，2，所以原方程组系数构成的矩阵为M.(2)M.4.营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同.“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡4 187焦耳)、30 g、10 g；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g、19 g；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g、3 g，试将上述结果用矩阵表示出来.【解】各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：能量(千卡)脂肪(g)蛋白质(g)红烧肉6493010青椒肉丝2582019韭菜豆芽131153所以可用矩阵M表示为M.5.设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素aiji2j2，i1，2，j1，2，试求矩阵A.【解】根据题意，则有A(aij).6.已知n阶矩阵A，其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式.【解】(1)第1列成等差数列，a113，公差为3，a413(41)312.第2列成等差数列，a216，公差为5，a426(41)521.又第4行成等差数列，公差为21129，a4512(51)948.(2)由(1)得ai13(i1)33i，ai26(i1)55i1，第i行的公差为2i1，aij3i(j1)(2i1)2ijij1.7.已知甲、乙、丙三人中，甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识.若用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系.(规定每个人都和自己相识)【解】将他们之间的相识关系列表如下：甲乙丙甲110乙111丙011故用矩阵表示为.能力提升8.小王是个气象爱好者，他根据多年收集的资料，发现了当地天气有如下的规律：晴天的次日是晴天的概率为；晴天的次日是阴天的概率为；晴天的次日是