2016_2017学年高中数学第2章数列2.1数列学案苏教版.docx

2.1数列1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(难点)2理解数列的通项公式及简单应用(重点)3数列与集合、函数等概念的区别与联系(易混点)基础初探教材整理1数列的概念与分类阅读教材P31，完成下列问题1数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列2数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为1,2,3,5,7()(2)数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列()(3)数列的第5项为.()(4)数列0,2,4,6，是无穷数列()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2数列的通项公式阅读教材P32P33的有关内容，完成下列问题1数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，k)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值2数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示1数列1,3,5,7,9，的一个通项公式可以是_【解析】1,3,5,7,9，的一个通项公式可以是an2n1，nN*.【答案】an2n1，nN*2若数列an的通项公式为an3n2，则a5_.【解析】an3n2，a535213.【答案】13质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型根据数列的前n项写出通项公式写出下列数列的一个通项公式(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，.【精彩点拨】观察归纳an与n的关系验证结论得出答案【自主解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an(nN*)(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，.此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1(nN*)(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN*)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n(nN*)用观察法求数列的通项公式的一般规律1一般数列通项公式的求法2对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(1)k处理符号问题3对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等再练一题1写出下列数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33，；(2)，；(3)，1，. 【导学号：91730020】【解】(1)中3可看做211,5可看做221,9可看做231,17可看做241,33可看做251，.所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，所以an.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为，所以an(1)n1.通项公式的简单应用已知数列an的通项公式是an2n2n.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为an中的项？3是否为an中的项？【精彩点拨】(1)令n1,2,3求解即可；(2)令an45或an3解n便可【自主解答】(1)在通项公式中依次取n1,2,3，可得an的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n2n45，得2n2n450，解得n5或n(舍去)，故45是数列an中的第5项令2n2n3，得2n2n30，解得n1或n，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项1如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项2判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n的方程；(3)若n为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项再练一题2已知数列an的通项公式为an(nN*)(1)0和1是不是数列an中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列an中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】(1)令an0，得n221n0，n21或n0(舍去)，0是数列an中的第21项令an1，得1，而该方程无正整数解，1不是数列an中的项(2)假设存在连续且相等的两项为an，an1，则有anan1，即，解得n10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项探究共研型数列的性质探究1数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？【提示】可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列an中，nN*.探究2如何定义数列an的单调性？【提示】对于数列的单调性的判断一般要通过比较an1与an的大小来判断，若an1an，则数列为递增数列，若an1an，则数列为递减数列设数列an的通项公式为ann2kn(nN*)数列an是单调递增的，求实数k的取值范围【精彩点拨】利用二次函数的单调性，求得k的取值范围【自主解答】ann2kn，其图象的对称轴为n，当1，即k2时，an是单调递增数列另外，当12且12，即3k2时，an也是单调递增数列(如图所示)k的取值范围是(3，)1函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调2求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若则an为最大项；若则an为最小项再练一题3已知数列an的通项公式是an2n29n3(nN*)，求它的最大项. 【导学号：91730021】【解】由题意知，2n29n322.由于函数f(x)22在上是增函数，在上是减函数，故当n2时，f(n)2n29n3取得最大值13，所以数列an的最大项为a213.构建体系1已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1,0，1，sin ，；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(将合理的序号填在横线上)【解析】(1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列【答案】(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)2数列2,3,4,5，的一个通项公式为_【解析】这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为ann1.【答案】ann13下列有关数列的表述：数列的通项公式是唯一的；数列0,1,0，1与数列1,0,1,0是相同的数列；数列若用图象表示，它是一群孤立的点；数列中的数是按一定次序排列的其中说法正确的是_【解析】如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，1,1，1，1，1，的通项公式可以是an(1)n1，也可以是ancos(n1)，故错；由数列的概念知数列0,1,0，1与数列1,0,1,0是不同的数列，故错；易知是正确的【答案】 4用火柴棒按图211的方法搭三角形：图211按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式是_. 【导学号：91730022】【解析】a13，a2325，a33227，a432229，an2n1.【答案】an2n15已知数列an的通项公式为an(nN*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问和是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a11，a2，a3.(2)令，则n23n400，解得n5或n8.又nN*，故n8舍去，所以是数列an的第5项令，则4n212n270，解得n或n.又nN*，所以不是数列an的项我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1将正整数的前5个数排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有_【解析】由数列定义，均为按一定次序排列的一列数，故均为数列【答案】2数列1,3,6,10，x,21,28，中x的值是_【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，依次增加1，故x为15.【答案】153下列各式能成为数列1,3,6,10，的一个通项公式的是_ann2n1；an；an；ann21.【解析】令n1,2,3,4，分别代入检验即可排除，从而确定答案为.【答案】4数列的通项公式为an则a2a3等于_【解析】由an得a22，a310，所以a2a320.【答案】205已知数列，2，则2是这个数列的第_项. 【导学号：91730023】【解析】数列的通项为an.2，2是数列的第7项【答案】76根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有_个点(1)(2) (3)(4)图212【解析】由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，则其通项公式为ann2，故第n个图形中的点数为n2.【答案】n27若数列an的通项公式an32n，则a2n_，_.【解析】an32n，a2n322n，.【答案】322n8已知数列an的通项公式an(nN*)，则数列an的前30项中，最大项和最小项分别是_a10，a9；a1，a9；a1，a30；a9，a30.【解析】通项公式变形为：an1，显然当n10和n9时，an分别取最大值和最小值【答案】二、解答题9已知数列an中，a13，a1021，通项an相应的函数是一次函数(1)求数列an的通项公式，并求出a2 017；(2)若bn是由a2，a4，a6，a8，组成，试归纳bn的一个通项公式【解】(1)由题意可设anknb，又a13，a1021，解得an2n1(nN*)，a2 01722 01714 035.(2)bn是由an的偶数项组成，bna2n22n14n1(nN*)10已知数列an的通项公式为an(nN*)(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内【解】(1)an.令n10，得第10项a10.(2)令，得9n300.此方程无正整数解，故不是该数列中的项(3)证明：因为an1，又nN*，所以01.所以0an1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内能力提升1数列an中，a11，对于所有的n2，nN*都有a1a2a3ann2，则a3a5的值为_. 【导学号：91730024】【解析】由a1a2a3ann2，a1a24，a1a2a39，a3，同理a5，a3a5.【答案】图2132如图213，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在_处【解析】设a11，a22，a33，a44，a55，a61分别对应点A，B，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，a2 016a2 0151a54031a11，故应在A处【答案】A3已知数列an满足amnaman(m，nN*)，且a23