弹塑性力学第八章.ppt

8-1 位移法求解 第八章 柱体的自由扭转问题 8-2 8-2 按应力函数求解按应力函数求解 8-3 8-3 薄膜比拟薄膜比拟 8-4 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例等截面杆扭转按应力函数举例 8-5 8-5 薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转 * * 1 1 在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转 问题为例来说明空间三维问题的求解过程。 （无体力） 对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT） 应力：x=y=z=xy=0 ， 位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 , K为单位长扭转角。 DateDate 2 2 对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设半逆解。 8-1 位移法求解 对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量 ： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为 扭曲函数。 DateDate 3 3 8-1 位移法求解 无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 未知量为：K和(x,y)。 （工程）应变分量： u= -Kyz , v= Kxz , w= K(x,y) DateDate 4 4 8-1 位移法求解 应力分量：x=y=z=xy=0， 所有物理量均由K和(x,y) 表示 。 DateDate 5 5 8-1 位移法求解 按位移法求解，基本方程为平衡微分方程（ 三个）。 或 2 = 0 两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程 为： DateDate 6 6 8-1 位移法求解 基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由 基本方程可见(x,y)为一个调合函数。 同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应 通过边界条件来确定。 扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需 要满足边界条件， DateDate 7 7 8-1 位移法求解 首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界 ） 在侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力： 满足 x y o z MM T T MM T T DateDate 8 8 8-1 位移法求解 y x o n MT -dx dy 上式也可以用 边界条件用(x,y)的偏微分表示 。 由于 则 代入侧面边界条件 DateDate 9 9 8-1 位移法求解 在扭杆端面（如z = 0): 法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) 杆端截面法线方向面力 ，满足； 合力为零 合力矩为 x y o z MM T T MM T T 而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣 维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求 DateDate1010 8-1 位移法求解 上式也可以表示为 可以证明当扭曲函数(x,y)在主 要边界上力边界条件满足时， 则 和 自然满足。见以下 ： DateDate1111 8-1 位移法求解 利用格 林公式 2 = 0 DateDate1212 8-1 位移法求解 而第三个方程为： 扭矩MT与K 和(x,y)的关系 。 小结小结 ： 用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数 (x,y)和单位扭转角K。 DateDate1313 2 = 0 在V上 在杆侧边上 由求(x,y) 8-1 位移法求解 当(x,y)确定后，利用杆端面条件 求K 令 扭转刚度 当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、 应力均可求出。 DateDate1414 作业： 证明扭曲函数 能用来求椭圆截 面杆 的扭转问题，其中a和 b 为 椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为 DateDate1515 8-2 按应力函数求解 按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程 2 = 0,其边界条件 ( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调 合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力 法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函 数法求解等截面杆扭转问题的作法。 DateDate1616 8-2 按应力函数求解 2.1 按应力法求解方程 同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0 仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz 两个应力分量，将应力分量代入应力法的 基本方程九个（三个平衡和六个相容方程） DateDate1717 8-2 按应力函数求解 三个平衡方程： 前两式自然满足，剩下一个控制方程 无体力相容方程为： 由于设 x=y=z=0， = 0 DateDate1818 8-2 按应力函数求解 则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程 2zx =0 和 2zy =0 按应力法求解 基本方程为三个 2zx =0 2zy =0 DateDate1919 8-2 按应力函数求解 边界条件： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力： ；前两个方程满足； 第三个力边界条件：lzx+mzy = 0 在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) 面力： 满足。 DateDate2020 8-2 按应力函数求解 在 x,y 方向面力应用圣维南原理 DateDate2121 8-2 按应力函数求解 2.2 按应力函数(x,y)求解 设应力分量与应力函数的关系为 则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自 然满足。 DateDate2222 8-2 按应力函数求解 常数C是什么？C 和位移法公式中的 系数有什么关系? 将上式代入应力法的其它两个基本方程，得 2 = C（泊 松方程） 由应力函数法和位移法可知 DateDate2323 8-2 按应力函数求解 将应力函数代入杆侧边的边界条件 lzx+mzy = 0 DateDate2424 8-2 按应力函数求解 而 代入边界条件，得 则应力函数在扭杆侧边应该为常数 : s =C1 y x o n MT -dx dy lzx+mzy = 0 DateDate2525 8-2 按应力函数求解 对于单连域：可取 s = 0 x y S1 S0 S2 对于复连域：可取一条边界线 上s为零，而其它边界s为非 零常数： s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3 再将(x,y)代入端面上的边界条件： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力： 满足。 DateDate2626 8-2 按应力函数求解 在x,y方向面力应用圣维南原理 第一、二方程恒满足。 第一个方程 第二个方程 DateDate2727 8-2 按应力函数求解 在x,y方向面力应用圣维南原理 第三个方程 y x o MT X Y DateDate2828 8-2 按应力函数求解 当为单连域时：在s上 s = 0 当为多连域时： s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3 DateDate2929 8-2 按应力函数求解 (Ai为si围成的面积。) DateDate3030 8-2 按应力函数求解 总结： 按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足 2 =-2KG= C， 且(x,y)与MT 之间满足 （单连域） （多连域） DateDate3131 8-2 按应力函数求解 在柱体侧边 s = 0 （单连域） si =Ci （多连域） 当 k 和 (x,y) 由上述方程确定后，可求 出zx、zy以及应变和位移。 DateDate3232 8-3 薄膜比拟 对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位 移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是 很困难的，而普朗特（Prondtl）在1903年提出了 薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等 截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似 性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找扭 转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可以避 开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验测定 ，形象的获得一些有价值的解。 DateDate3333 8-3 薄膜比拟 x y o o x z q T T T T T Tdy dx 一均匀薄膜形状同扭杆 截面，周边固定，并使薄膜 受均匀微小压力q作用，薄膜 将微微凸起，而形成曲面 z=z(x,y)， 薄膜仅承受张力（拉力）T。 下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y) 所应满足 的方程和边界条件。 DateDate3434 8-3 薄膜比拟 x y o o x z q T T T T T Tdy dx 寻求z=z(x,y)应满足的 方程，即求解方程是由薄 膜微元dxdy的z方向的平衡 条件来确定(Fz = 0)。 DateDate3535 8-3 薄膜比拟 x y o o x z q T T T T T Tdy dx 整理后，得 或 z(x,y) 所应满足的方程。 DateDate3636 8-3 薄膜比拟 x y o o x z q T T T T T Tdy dx 与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和 边界条件相比（2 =-2KG ，s = 0 ）， 与z之间存在比拟关系: 薄膜垂度z=z(x,y) 所应满 足的边界条件： zs= 0（单连域）。 DateDate3737 8-3 薄膜比拟 薄膜垂度z(x,y)可由实验测定，再根据上再 根据上式可确定 的分布规律。在应力函 数解扭转问题时，考虑边界条件还有 由此式确定比例系数 （单连域） 扭矩MT与薄膜垂度所围成体积的两倍之间 也同样存在一致的比拟关系。 DateDate3838 8-3 薄膜比拟 对于多连域， 在孔边上应为常数，所以在 薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于x- y平 面的无重刚性平板来代替。 扭杆剪应力： 剪应力分量的大小 与该薄膜垂度上对 应点沿垂直方向的 斜率成正比 DateDate3939 8-3 薄膜比拟 y x s nzy zx 扭转截面上任意点总剪应力（应力矢量t） 数值和方向确定: 任意点总剪应力数值 可利用薄膜等高线，平行于x- y面的平面与薄 膜相截可获得一系列闭合曲线薄膜等高线 。 DateDate4040 8-3 薄膜比拟 在等高线上任意点应力可沿 x,y方向分解，也可沿n,s方 向分解。根据剪应力分量与 薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例: 在等高线上 ,所以在等高线上 y x s nzy zx DateDate4141 8-3 薄膜比拟 任意点总剪力 （等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜 率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪 应力线。 发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆 边界上。 y x s nzy zx 截面上的最大剪应力 DateDate4242 8-3 薄膜比拟 总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系 柱扭转 (x,y) 2GK Mzzx , zy （等高 线方向 ） 薄膜比 拟 z(x,y) q/T 2V, DateDate4343 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 b a y x 采用应力函数解法求扭转问题, 应力函数(x,y) 在域内满足方程 2 =-2KG （1） 例题1. 椭圆截面杆的扭转 。 在边界上满足方程 s = 0 （2） 以及 （3） DateDate4444 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 由于椭圆杆截面方程为 因此，可设应力函数(x,y) 为 则(x,y)自然满足方程 s = 0。 b a y x DateDate4545 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 代回 (x,y) 再代回（3）式 注意 ， 将(x,y)代入基本方程 2 =-2KG ， 得 DateDate4646 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 再代回（3）式 注意 得 DateDate4747 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 应力分量 各点总剪应力： 最大剪应力在柱截面边界上（ ）： 设a b，当 y=b 时 为最大。 DateDate4848 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 应变: x=y=z=xy=0， 位移：当不考虑刚体位移时 椭圆杆扭转时，杆纵 向发生位移。 DateDate4949 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 例题2. 等边三角形截面（高为a）受扭矩Mz 作用，求截面剪应力。 x-a=0 a x y 解：对于单连域，应力函数 s = 0，考虑此原因，设 时同椭圆杆扭转一样，取 三角形截面杆的边界方程为 的因子。 DateDate5050 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 设 则 (x,y)自然满足方程 s = 0。 2 =-2KG 得 4ma=-2KG, 将(x,y)代入基本方程 x-a=0 a x y DateDate5151 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 利用 或 得 ，则 DateDate5252 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 应力分量为 截面上最大剪应力： DateDate5353 y=-b/2 y=b/2 x=a/2 x x=-a/2 y 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 例题3. 矩形截面杆的扭转。 矩形截面 (ab) 受扭矩 Mz作用，应力函数中要求 s = 0 如果假设应力函数为 满足 s = 0，但 2 =-2kG 不能满足。 DateDate5454 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 所以直接采用上述 s = 0 的假设式不能作 为扭转的应力函数. x y a b 利用薄膜比拟，来判断狭矩形截面的应 力函数特点。 对于矩形截面杆扭转 首先考虑 a b时的 情况,情况1: DateDate5555 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 同样形状薄膜周边固定 受均匀压力作用时，薄 膜垂度变化如图， o z z y x x y a b 可见垂度曲面沿x 方向很长一段为柱 面，在此段 ， 只是在狭矩形截面两端部 ，但区域 很小，近似法忽略两端影响. DateDate5656 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 =(y) 这样狭矩形界面扭转 应力函数 也认为 应满足基本方程为 （1） o z z y x DateDate5757 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 s = 0 （2） （3） x y a b DateDate5858 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 由式（1）积两次分，得 将上式代入式（2），得 C1= 0 , C2= GKb2/4 = -GK(y2-b2/4) 则 DateDate5959 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 最后将 代入式（3），得 = -GK(y2-b2/4) DateDate6060 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 解得 则 应力分量 截面上最大剪应力（y= b/2）： x y a b DateDate6161 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 原因是忽略了zy（近似的），如不忽略 zy（很小），但力臂大，产生另一半 Mz/2， 按近似计算，偏于保守。实际上 x y a b 将应力分量对截面形心取矩，得 DateDate6262 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 情况2：一般矩形截面扭矩（a b 且a b ）: a/2 a/2 b/2 b/2 x y 按应力函数求解， 则(x,y)应满足 2 =-2KG b/2 = 0,， a/2 = 0 (x,y) 和 K为待定。 DateDate6363 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 1.将求解(x,y)的问题转化 为求解一个调和函数F(x,y) 的问题. 考虑在狭矩形截面的应力函数为1= -GK(y2- b2/4)能满足 21 =-2KG 和 1y= b/2 = 0 条件， 选一般矩形截面的 (x,y): =1 +F(x,y)= -GK(y2-b2/4)+F(x,y) a/2 a/2 b/2 b/2 x y DateDate6464 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 由于(x,y) 满足 2 =-2KG， s = 0 , .因此 F(x,y) 需要满足 2F= 0 Fy= b/2 = 0, F x= a/2 = GK(y2-b2/4) = -GK(y2-b2/4)+F(x,y) DateDate6565 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 2.根据F(x,y)为调合函数以及满足对称边界条 件，F(x,y)亦采用级数形式的分离变量函数 。 即： Am为待定系数。 DateDate6666 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 3、利用边界条件 F a/2 = GK(y2-b2/4) 将GK(y2-b2/4)展开为 cos(my/b) 的级数， 可将 Am 用 GK 表示。 DateDate6767 8-4 等截面杆扭转按应力函数举例 4.最后利用 ， 将GK用 Mz 表示，并可确定应力分量 zx , zy 。 具体过程参看徐芝纶（上册）P.330333。 DateDate6868 8-5 薄壁杆的自由扭转 薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分 为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论 它们的计算方法。 5.1开口薄壁杆件的自由扭转 开口薄壁杆为单连域，其截面可由曲边等宽 狭长矩形截面或由几个直边等宽狭长矩形截 面组成。 DateDate6969 8-5 薄壁杆的自由扭转 对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边 狭长截面代替进行计算。 从薄膜比拟看两者围成的体积和最大斜率 不会有多大差别，当两者受相同扭矩时，两个 柱体的K 和剪应力没有多大差别。 b a M b a x y M DateDate7070 8-5 薄壁杆的自由扭转 b a M b a x y M 直边狭长截面剪应力计算式 DateDate7171 8-5 薄壁杆的自由扭转 对于由几个（若干个）同样材料的狭矩 形截面组成的薄壁杆,其中第 i个狭矩形截面 长ai ，宽bi ，则它应承受扭转为： M M3 总的扭转为： M M3 M2 M1 M2 M1 DateDate7272 8-5 薄壁杆的自由扭转 则 代回 Mi 表达式 第 i 个狭矩形截面上的最大剪应力为 DateDate7373 8-5 薄壁杆的自由扭转 5.2闭口薄壁杆扭转 闭口薄壁杆为多连域，按应力函数求解时 基本方程： 2 =-2KG s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2 Ai为si围成的面积 。 DateDate7474 8-5 薄壁杆的自由扭转 对于二连域薄壁扭转杆（一个孔洞） ： 2 =-2kG s0 = 0, s1 =C1 S0 s y x S1 DateDate7575 8-5 薄壁杆的自由扭转 S0 s x y S1 对于薄膜比拟，在外 边固定，而内周用无 重刚性平板 薄膜垂度方程 2z=-q/T zs0 = 0, zs1 =h h q T T x z 使薄膜受均匀压力q后 ， 在S0上：z=0, 在S1上：z=