教案：数列的概念与简单表示.doc

数列的概念与简单表示教学目标了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）了解数列是自变量为正整数的一类函数重点、难点：根据题意写出数列的通项公式一、新知学习A数列的概念1数列定义 按一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项记作，简记为，其中是数列的第项2数列的两个特性： （1）有序性，一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关（2）可重复性，数列中的数可重复出现3数列的函数本质 数列实际上是定义在正整数集（或它的有限真子集）上的函数，可表示为B数列的几种表示法1列表法 即以如下表格形式给出数列：1232图象法 数列的每一项在直角坐标系中有它的对应点，因此，数列可用函数图象上一群孤立的点来表示3通项公式（解析法） 若某数列的第项与之间的函数关系可以用一个解析式表示，这个式子称为这个数列的通项公式4递推公式法 如果已知数列的首项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式利用递推公式可以求数列的某一项,也可以用来求它的通项公式C数列的分类1按项数分 数列按项数可分为有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）2按相邻项大小关系分 递增数列（）、递减数列（）、常数列（）、摆动数列3按若干项变化规律分 周期数列、非周期数列D单调性数列的定义1设是数列的序号的一个取值集合，则若在区间上都有，则称数列在上为递增数列；若在区间上都有，则称数列在上为递增数列2研究数列单调性的方法（1）利用数列单调性的定义；（2）利用不等式组（或）（3）数形结合E数列的前项和1数列前项和定义 2与通项的关系 注：利用数列的前项和求通项时，特别要注意是否也适合得出的表达式，若不适合，数列的通项公式就要用分段函数的形式给出F两个变换关系式1累加变换式 如果有递推关系，则2累乘变换式 如果有递推关系，则G给出数列的方法1以数列的前几项给出，如3，5，9，17，33，；2以图象给出；3以表格给出；4以通项公式给出，如数列的通项公式为；5以递推公式给出，如数列中，二、知识迁移A由数列的前几项写出数列的通项公式例 写出以下各数列的一个通项公式：（1）3，5，9，17，33，；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）（改写为，故（2）改写为，故（3）改写为，故（4）改写成，故（5）改写成，故（6）改写成，故或注：（1）联想、归纳、类比是探求某些规律的重要手段之一（2）由数列的前几项求数列的通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由于不完全归纳得出的结果是不可靠的，故要注意代值检验（3）对于正负符号有规律变化时，可用或来调整（4）仅给出数列的前几项时，这个数列是不确定的，因而它的通项公式也不是唯一的（5）利用一些熟知的基本数列（如自然数列、奇偶数列等）能顺利地转换问题自主体验 根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）解：（1）改写成，故（2）改写成，故（3）改写成，故（4）改写成，故（5）改写成，故（6）改写成，故B通项公式的应用例 已知数列与满足，且，则、的值分别是 解：又，所以时，由，可得；当时，可得；当时，可得故，自主体验 数列的通项公式，前项和为，则 解：当时，当时，当时，当时，所以所以C数列的函数特征数列是一种特殊的函数，故它有函数的性质，从函数的角度研究数列，可深化对数列的理解如求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合例 已知为常数，数列由下表确定：123455试将表格填写完整，并作出这个数列的图象解：由题意，得解得所以，从而，数列的图象略注：列表、图解和解析式（通项公式）是表示数列的常用方法自主体验 已知数列、的通项公式分别为， (为常数)，且，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是A0 B1 C2 D3解析：设，则因为，所以无解选AD数列的递推公式及应用例 已知数列中，则A1 B99 C D解：，据得，所以选A1234551342自主体验题组 1函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则等于A1 B2 C4 D5 解析：因为，知的值以为周期，则选D2在数列中，则A B C D解：因为，所以又，所以选A3已知数列满足，则 解：因为，所以，两式相减，得，所以所以E数列的单调性例 已知数列中，求数列的最大项 解：令所以在上单调递减，在上单调递减，如图，又，所以最小，最大，且自主体验 已知数列的通项，试问中有没有最大项？若有，求出最大项及其项数；若没有，说明理由解法一（利用数列的单调性定义）：当时，数列单调递增；当时，；当时，数列单调递减所以数列中第9项、第10最大，值为解法二（利用不等式组）：由当或时，数列有最大值三、课堂巩固1数列1,3,6,10，的通项公式为 BA B C D2数列的通项公式为 CA B C D3某数列的第一项为1，并且对所有，数列的前项积为，则这个数列的通项公式为 DA B C D4已知数列的前项和，第项满足，则 BA9 B8 C7 D6解：，当时，所以因为，所以，解得，所以选B5已知数列的前项和满足，则数列为 CA递增数列 B递减数列 C常数列 D摆动数列解：由题意得，所以，所以因此数列为常数列6对于任意函数，可构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据，经过数列发生器后输出；若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去现定义，若输入，这样，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为 BA8 B9 C10 D11解析：依题意得，当时，若，则输出由此得到输出数据分别为：故当发生器结束工作时，输出数据的总个数为9答案：B7若数列的前项和满足，则解：令，则当时，两式相减，得所以8数列中，则解：由条件得，所以9若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第 3 项解：，当时，所以为关于的二次函数，对称轴方程为，又，所以时数值最小10（2008北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，有其中，表示非负实数的整数部分，例如，表示的整数部分按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的终边应为解：因为，由此可知，点列的横坐标以5为周期，所以，所以，故填，11定义在上的函数，对任意实数，都有和，且记，则 2012 解：由式，再由式，有由式得，即，再由式，得，所以由得因为，所以12已知数列的通项，求的最大项及最小项解法一（利用背景函数的图象）：设，则，结合背景函数图象可得数列的最大项为，的最小项为解法二（利用背景函数的单调性）：当时，递减，且；当时，递减，且综上有，数列的最大项为，最小值为13已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，达到最大？最大值是多少？解：（1），当时，因为时，也适合上述等式，所以数列的通项公式为（2）解法一：因为，所以时，最大，最大值为解法二：令，解得，故要使最大，只有使的各项非负所以，当时，最大，最大值为14已知数列的通项公式为（1）数列中有多少项是非正数、负数？（2）为何值时，有最小值？并求出最小值解：（1），即，解得，故数列中有4项是非正数，有3项是负数（2）解法一：由（1）知，当时，；当时，故当或时，有最小值，最小值为或解法二：因为，故当或时，有最小值，最小值为或15已知数列的通项公式为（1）求数列的前三项，60是此数列的第