物理学第3版习题解答第8章光的波动性.pdf

第八章习题解答第八章习题解答 8-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当 t = 0 时，位移为 0.06m，且 向 x 轴正方向运动。求：(1)初相；(2) t = 0.5s 时，物体的位置；(3)在 x = -0.06m 处， 且向 x 轴负向方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。 解：解： （2） = T 2 rad/s 0.5s 对应的转过角度为 2 ， 所以物体的位置为 x 轴正方向30.06m 处。 8-2 有一物体沿 x 轴做振幅为A的简谐运动，振动表达式为余弦函数。若0=t时物体的运 动状态分别为： （1）Ax= 0 ； （2）过平衡位置向x正方向运动； （3）过2Ax=处，且向 x负方向运动。试用旋转矢量图分别确定相应的初位相。 解解（1）=； （2） 2 =； （3） 3 =。相量图如下图所示。 习题习题 8 8 8 8.2 .2 .2 .2 用图用图 8-3 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动，其表达式为 )62cos(04 . 0 1 +=tx )62cos(03 . 0 2 =tx 试写出合振动的表达式。 解解 合振动的振幅为 m06 . 0 66 cos04 . 0 03 . 0 203 . 0 04 . 0 )cos(2 22 1221 2 2 2 1 = += += AAAAA 合振动的位相为 ()() ()() 08 . 0 6cos03 . 0 6cos04 . 0 6sin03 . 0 6sin04 . 0 arctan coscos sinsin arctan 2211 2211 = + + = + + = AA AA 合振动的表达式为 ()()08 . 0 2cos06 . 0 cos+=+=ttAx A A A A x y O （1） A A A A x y O 2 （2） A A A A x y O 3 （3） 8-4 一简谐波在介质中沿x轴正方向传播，振幅0.2Am=，周期0.2Ts=，波长5m=. 当0=t时刻，波源振动的位移为正方向的最大值。把波源的位置取为坐标原点，求 （1）这个简谐波的波函数； （2） 1 2tT=时刻，4 1 =x处质元的位移。 解解 （1）沿x轴正方向传播的简谐波的波函数为 += += xtxtAy 5 2 2 . 0 2 cos2 . 0 2 cos 其中代表初位相，待求。由题设条件，有 cos2 . 02 . 0= 即得0=。因此，所求波函数为 mxty)4 . 010cos(2 . 0= （2）2 1 Tt=时刻，4 1 =x处质元的位移为 mxty0)5 . 0cos(2 . 0)4 . 010cos(2 . 0= 8-5 如图 8-35，已知A点的振动方程为 1 cos4() 8 A yAt=。A点与B点相距 1 x，在下列 情况下试求波动方程： (1) 以A为原点；(2)以B为原点；(3) 若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？ 1 x B B B BA A A A x . . . . . . 图 8-35 习题 8-5 用图 本题需补充一平面简谐波以速度本题需补充一平面简谐波以速度 -1 sm20=u 沿直线传播沿直线传播 解解： （1） 以A为原点 m10=uT ，根据 )(2cos += x T t Ay ， 有 2 ) 105 . 0 (2cos = xt Ay (2) 以B为原点 5 2 1 xxx AB AB = = ) 25 4cos( 1 += x tAyB 25 ) 105 . 0 (2cos 1 += xxt Ay (3) 若u沿x轴负向 以A为原点 2 ) 105 . 0 (2cos += xt Ay 以B为原点 5 2 1 xxx AB BA = = 25 ) 105 . 0 (2cos 1 += xxt Ay 8-6 如图 8-36 为一简谐波在0=t时刻的波形曲线， 设此简谐波的频率为50Hz， 图中质点p 正向上运动，求 （1）此简谐波的波函数； （2）在距原点O为m5 . 7处质点振动的表达式。 图 8-36习题 8-6 用图 解解（1）因质点p正向上运动，则此简谐波沿x轴反方向传播。已知mA20. 0=， s/100502rad=，m0 .20=，则波函数的表达式为 ) 0 . 20 2 100cos(20. 0 +=xty 原点O处质点振动的初位相待求。由题图可知，在0=t时刻原点O处质点的运动状态为 my01 . 0 0 =，0 0 v 即有 mx my 0.10 0.20 p 0 .10 O 2 1 cos=，0sin 因此 3 = 此简谐波的波函数为 ) 310 100cos(20 . 0 += x ty （2）在距原点O为m5 . 7处质点振动的表达式为 ) 12 13 100cos(20. 0) 310 5 . 7 100cos(20. 0 +=+=tty 8-7 如图 8-37 所示，A、B两点为同一介质中两相干波源，其振幅皆为 5 cm，频率皆为 100 Hz。当点A为波峰时，点B恰为波谷.设波速为 1 10 m s，试写出由A、B发出的两列波 传到点P时干涉的结果。 8-8 波长为 589.3nm 的钠光照在一双缝上，在距双缝 200cm 的观察屏幕上测量 10 个条纹的 宽度为 2.2cm，试计算双缝之间的距离。 解：解：根据 D x d =有536. 0=dmm 8-9 在杨氏干涉实验中，若双缝间距为 0.40mm，在距双缝 100cm 的光屏上出现干涉条纹。 现测得相邻两条明纹中心的间距为 1.5mm，求入射光的波长。 解：解：根据 D x d =有600=nm 8-10 杨氏双逢实验中d=0.5mm ， 屏幕与缝相距 25 cm 。 已知光源是由波长 400 nm 和 600 nm 的两种单色光组成。 求距中央明条纹多远处，两种光源的明条纹第一次重叠? 各为第 几级? 解：解：根据 d kD x = 有2, 3=kk，06 . 0 = d kD x m 8-11 双缝干涉实验中，用波长为 600nm 的平行单色光垂直入射到双缝上，屏到双缝的距离 为 1.00m。 测得中央明纹两侧的两条第 3 级明纹中心的间距为 2 3.00 10m。 求双缝的间距。 解：解：cmcmx5 . 06/3= 根据 D x d =有12. 0=dmm 8-12 白光垂直照射到空气中一厚度为 7 3.8 10 m 的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33， 则反射干涉加强的光的波长为多少？ 解解 由于肥皂膜上下为空气，反射光干涉的光程差有半波损失，明纹条件为 kne=+= 2 2 因此，反射干涉加强的光的波长为 ) 12( 10216.20 ) 12( 108 . 333 . 1 4 ) 12( 4 77 = = = kkk ne 由于可见光的范围为 77 105 . 7104 m，则反射干涉加强的波长为 m 7 1 10043 . 4 =，)3(=k m 7 2 10739 . 6 =，)2(=k 8-13 放在空气中的一劈尖，其折射率为 1.4，尖角为 4 5 10rad，在某一单色光的垂直照射 下，可测得两条相邻明纹的间距为 0.05cm，试求： （1）此单色光在空气中的波长； （2）如果劈尖长为 2.5cm，总共可出现多少条明纹。 解解 （1）劈尖反射干涉相邻明纹间距为 nn l 2sin2 = 此单色光在空气中的波长为 mln 724 100 . 71005.01054 . 122 = (2) 设入射单色光的相干长度大于劈尖最厚处的厚度d，在厚度d处产生第k级干涉明纹， 有 knd=+ 2 2 100 107 105105 . 24 . 1444 12 7 42 = = nlnd k 得 5 .50=k 故能看到 50 条明纹。 8-14 利用等厚干涉可以测量微小的角度。折射率n=1.4 的劈尖形介质，用=700nm 的单色 光垂直照射，测得两相邻明条纹间距l=0.25cm。求劈尖角。 解：根据/(2).ln=有0004. 0=rad 8-15 用波长为593.6nm 的光做牛顿环实验，测得某一明环半径为 3 100 . 1 m，其外第四个 明环的半径为 3 100 . 3 m，求试验中所用的平凸透镜的凸面曲率半径。 解解 牛顿环明纹处半径与波长的关系为 Rkrk) 2 1 ( 2 = 因此 Rkrk) 2 1 4( 2 4 += + Rrr kk 4 2 4 2 4 = + 透镜的曲率半径为 m rr R kk 37. 3 4 2 4 2 4 = = + 8-16 牛顿环装置中透镜与平板玻璃之间充以某种液体时，观察到第八级暗环的直径 为 1.27cm，当把这种液体抽走后，此暗环的直径变为 1.45cm，求该液体的折射率。 解：解：根据nkRr/=有3 . 1=n 8-17 在白光照射单缝产生的夫琅禾费衍射公式中，某一波长为 0 的光波的第三级明条纹与 红光（ 7 6 10 m = ）的第二级明条纹相重合，则 0 为多少？ 解：解：根据 2 ) 12( 2 ) 12( 0 +=+kk有 7 0 10286 . 4 =m 8-18 在夫琅禾费单缝衍射中, 已知缝宽 1.010-4m ， 透镜焦距为 0.5m 现用 760nm 的单色平 行光垂直照射。求(1) 中央明纹的角宽度和线宽度；(1) 一般明纹的角宽度和线宽度； （3） 第三级明纹距中央明纹的距离； （4）最多能看到第几级明纹。 解解： （1）中央明纹 角宽度为 0 2 a =rad 2 1052 . 1 线宽度为 0 2 f x a = 3 106 . 7 m （2）一般明纹的角宽度 a = 3 106 . 7 rad 线宽度为 f x a = 3 108 . 3 m （3） 2 1014 . 1 3 =xxm （4） 1 . 131 2 1 max = a k最多能看到第 131 级明纹 （5） 8-19 波长为 500nm 的单色光垂直照射到宽度为 0.25mm 的单缝上，单缝后放置一凸透镜。 在凸透镜的焦平面上放置一屏幕， 用以观测衍射条纹， 今测得屏幕上中央条纹两侧的两条第 5 级暗纹中心的间距为 12mm，求凸透镜的焦距。 解：解：1=xmm. 根据 f x a =有5=fm. 8-20 试指出当衍射光栅常数和缝宽之间有下列关系时，哪些级数的主极大消失： （1）光栅常数d为缝宽a的两倍，即2da=； （2）2.5da=； （3）3da=。 解解（1）缺级条件为 = = ka kd sin sin 故缺级为 kk a ba k= + =2，, 3 , 2 , 1=k k为偶数（k= 0 除外） 。 （2）缺级为 kk a ba k= + =5 . 2，, 6 , 4 , 2=k k为 5,10,15, (3) 缺级为 kk a ba k= + =3，, 3 , 2 , 1=k k为 3，6，9， 。 8-21 已知单缝宽度 4 1.0 10bm =，透镜焦距0.50fm=，用 1 400nm=和 2 760nm= 的单色平行光分别垂直照射， 求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离， 以及这两条明纹之 间的距离。若用每厘米刻有 1000 条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明 纹分别距屏中心多远？这两条明纹之间的距离又是多少？ 解解：mmxmm b f xmm b f x8 . 1,8 . 3,2 2 2 1 1 = md 5 101000/1 = 根据sin,0, 1, 2,dkk = 以及fx/=有 mmxmm d f xmm d f x18,38,20 2 2 1 1 = 8-22 用白光垂直照射到每厘米刻有 5000 条缝的光栅上，求： （1）第二级光谱的张角（2）能看到几级完整光谱。 解解： （1） 6 1025000/1 =dm 白光波长范围mm 77 105 . 7104 根据sin,0, 1, 2,dkk = 有rad d 4 . 0 2 sin 22 = ， rad d 75 . 0 2 sin 22 = 故第二级同级光谱的张角为 0.35rad （2）同级光谱中，红光离中央主极大最远。 6 . 2 90sin max = d k 能看到两级完整光谱 8-23 一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱共出现 5 条明纹。若已知此光栅每缝的宽度 与不透光部分的宽度相等，求这几条明纹的级次。 解解：缺级为, 1, 2,. d kk k a = ，2/=ad，衍射条纹的缺级为2, 4,.k= 明纹的级次为3, 1, 0. 8-24 波长为 500nm 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第三级主极大的衍射角为30，且 第二级是缺级。求：(1) 光栅常数 d;(2)透光缝的最小宽度 a； (3) 在选定上述 d 和 a 之后， 求在衍射角/2/2范围内可能观察到的全部主极大的级次。 解：(1) 根据sin,0, 1, 2,dkk = 有md330sin/3= (2)maad5 . 1, 2/= (3)6 90sin max = d k, 缺级为6, 4, 2，在衍射角/2/2范围内可能 观察到的全部主极大的级次为 . 5 , 3, 1, 0 8-25 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距 120 cm ，设夜间人眼瞳孔直径为 5.0 mm ，入 射光波为 550 nm。求人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？ 解解： 8-26 一个油侵显微镜恰能分辨每厘米中有 4 4 10条的一组线条，光源的波长为 450nm，问 显微镜的数值孔径为多少？ 解：解：最小分辨距离 mz 74 105 . 2)104/(1 = 根据0.61, sin z n =sinn098 . 1 = 8-27 三个偏振片 1 P、 2 P与 3 P堆叠在一起， 1 P与 3 P的偏振化方向相互垂直， 2 P与 1 P的偏振 化方向间的夹角为45，强度为 0 I的自然光入射于偏振片 1 P，并依次透过偏振片 1 P、 2 P与 3 P，则通过三个偏振片后的光强为多少？ 解解：根据 2