如何求三角函数的最小正周期.docx

如何用初等方法求三角函数的最小正周期在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。一 公式法函数f(x)Asin(x+)和f(x)=Acos(x+)(A0,0）的最小正周期都是；函数f(x)Atan(x+)和f(x)=Acot(x+)(A0,0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(x+)(A0,0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。例1 求下列函数的最小正周期：（1） f(x)2sin（x1）。（2） f(x)1-cos(4x）。（3） f(x)tan(x). f(x) 解：用T表示各函数的最小正周期，则：（1）T=T=T=3 f(x）的最小正周期和y1=12cot(2x)的最小正周期相同，为T=二 定义法根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。例2 求函数f(x)2sin（x）的最小正周期。解：把x看成是一个新的变量z,那么2sinz的最小正周期是2。由于z2x-=(x4)-。所以当自变量x增加到x4且必须增加到x4时，函数值重复出现。函数y=2sin(x-)的最小正周期是4。例3 求函数f(x)|sinx|cosx|的最小正周期。解：根据周期函数的定义，易知2、都是这个的周期，下面证明是这个函数的最小正周期。设0T是这个函数的周期，则|sin(xT )|cos(xT )|=|sinx|cosx| 对于任意xR都成立，特别的，当x=0时也应成立。 |sinT|cosT|sin0|cos0|1。但当0T时，0|sinT|1，0|cosT|1，故有1|sinT|cosT|1，矛盾，所以满足且小于的正数T不存在。故函数f(x)|sinx|cosx|的最小正周期是。三、最小公倍数法求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。例4 求下列函数的最小正周期：（1）f(x)sin3x+cos5x （2）f(x)cos xsinx.（3）f(x)sinxtanx.解：（1）sin3x的最小正周期为T1=,cos5x的最小正周期为T2=。而和的最小公倍数是2.f(x)的最小正周期为T=2.（2) cosx的最小正周期为T1=，-sinx的最小正周期为T2=4。而和4的最小公倍数是12。f(x)cos xsinx的最小正周期为T=12.（3）sinx的最小正周期为T1=，tanx的最小正周期为T2=。而和的最小公倍数是70。f(x)sinxtanx的最小正周期为T=70.说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。四 图象法作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。例5 求下函数的最小正周期。（1）y=|sin(3x)|（2）y=|+ sin2x|解：（1）先作出函数y=|sin(3x)|的图象（见图1）观察图象，易得所求的周期为T=。（2）先作出y=|+ sin2x|的图象（见图2）观察图象，易得所求的周期为T=。五、恒等变换法通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。例6 求下列函数的最小正周期：(1) f(x)sin(x)cos(x)(2) f(x)sin6xcos6x(3) f(x)解 (1) f(x)sin(x)cos(x)|sin2x+sin|=sin2x+ 最小正周期为T= (2) f(x)sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin2x