全国高考数学复习第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性习题理.docx

第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,2,13函数周期性的应用6利用函数的奇偶性求函数值5,8,12利用函数的奇偶性求函数解析式或参数4,9,10利用函数的奇偶性比较函数值的大小、解函数不等式3,7函数基本性质的综合应用11,14,15,16,17基础对点练(时间:30分钟)1.(2016河北唐山市一模)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增的是(C)(A)y= (B)y=-x2(C)y=ex+e-x(D)y=|x+1|解析:y=是奇函数,y=|x+1|为非奇非偶函数,y=-x2是偶函数,在(0,+)上单调递减,只有C是偶函数,且f(x)=ex-e-x0(x(0,+).故选C.2.若函数f(x)(xR)是奇函数,函数g(x)(xR)是偶函数,则一定成立的是(C)(A)函数f(g(x)是奇函数(B)函数g(f(x)是奇函数(C)函数f(f(x)是奇函数(D)函数g(g(x)是奇函数解析:由题得函数f(x),g(x)满足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有f(g(-x)=f(g(x),g(f(-x)=g(-f(x)=g(f(x),f(f(-x)=f(-f(x)=-f(f(x),g(g(-x)=g(g(x),可知函数f(f(x)是奇函数.故选C.3.(2016福建福州模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab(B)cba(C)acb(D)bac解析:由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象本身关于直线x=1对称,所以a=f(-)=f().当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ac.故选D.4.(2016安徽“江淮十校”联考)已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值为(B)(A)(B)2(C)4(D)6解析:法一因为f(x)的定义域为(3-2a,a+1),所以由 3-2ax+1a+1,得2-2ax0时,f(x)=x2+x,则f(-1)=.解析:因为f(1)=12+1=2.又f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-29.(2016广东深圳市第一调调研)已知f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x,则f(1)=.解析:法一由题意知即解之得f(1)=.法二由题意知即消去g(x)得f(x)=,即f(1)=.答案:10.(2016湖北武汉2月考)已知函数f(x)=ln为奇函数,则实数a=.解析:由f(x)=ln是奇函数,所以f(-x)=ln=-ln=ln.所以=,解之得a=3.当a=-3时,f(x)=ln=0(x)定义域不关于原点对称,不是奇函数,所以a=3.答案:3能力提升练(时间:15分钟)11.函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,下列说法正确的是(C)函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x);函数y=f(x)满足f(x+2)=f(-x);函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).(A)(B)(C)(D)解析:根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以正确;又其图象关于直线x=1对称,所以正确.12.导学号 18702043已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:因为f(x)=1+,所以f(-x)=1+.因为f(-x)+f(x)=2,所以f(-a)=2-f(a)=.故选C.13.定义在R上的函数f(x),对x1,x2R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列命题正确的是(D)(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)+1是偶函数(D)f(x)+1是奇函数解析:令x1=0,x2=1,得f(1)=f(0)+f(1)+1,所以f(0)=-1.令x1=-x2得f(0)=f(-x2)+f(x2)+1,所以f(x2)+f(-x2)+2=0.所以f(x2)+1=-f(-x2)-1.令g(x)=f(x)+1得g(-x)=f(-x)+1=-f(x)+1=-g(x),所以g(x)=1+f(x)是奇函数.故选D.14.(2016山西太原二模)若关于x的函数f(x)=(t0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为.解析:由题意,f(x)=t+,由于函数g(x)=是奇函数,又函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,所以M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,所以t=2.答案:215.(2016江西赣中南五校模拟)有下列4个命题:若函数f(x)定义域为R,则g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数;若函数f(x)是定义在R上的奇函数,xR,f(x)+f(2-x)=0,则f(x)图象关于x=1对称;已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1f(x2),则f(x)在定义域内单调递减;若f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)也是奇函数,则f(x)是以4为周期的周期函数.其中,正确命题是(把所有正确结论的序号都填上).解析:对于,g(x)的定义域为R,则g(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数;对于,由f(x)+f(2-x)=0得f(2-x)=-f(x)=f(-x),因此函数以2为周期,又f(x)为奇函数,故f(x)不可能关于x=1对称,因此不正确;对于,由函数单调性的定义,可知错误;对于,由条件,得f(-x)=-f(x)(*),f(-x+2)=-f(x+2)(*),又由(*)得f-(x+2)=-f(x+2)(*),结合(*)与(*)得f(-x+2)=f(-x-2)f(x-2)=f(x+2)f(x)=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数,故正确.综上,真命题的序号是.答案:16.(2016湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=ln(x+x2+1),若正实数a,b满足f(2a)+f(b-1)=0,则+的最小值是.解析:因为f(x)=ln(x+x2+1),所以f(-x)=ln(x2+1-x).又因为f(x)+f(-x)=ln(x+x2+1)+ln(x2+1-x)=ln 1=0,所以f(x)为奇函数.由f(2a)+f(b-1)=0得f(2a)=-f(b-1)=f(1-b).又f(x)单调,故2a=1-b,则2a+b=1,所以+=+=3+3+2=3+2.(当=时取等号)答案:3+217.导学号 18702044设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x0,2时,f(x)=2x-x2,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016).(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)解:由f(x+2)=-f(x),且x0,2时,f(x)=2x-x2,所以当x2,4时,f(x)=-f(x-2)=-2(x-2)-(x-2)2=x2-6x+8.即f(x)=x2-6x+8,x2,4.(3)解:因为f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0.好题天天练1.(2017山西四校高三第一次联考)已知函数f(x)=2x+sin x+ln(x2+1+x),若不等式f(3x-9x)+f(m3x-3)0,且y=ln(+x)是增函数,所以函数f(x)为R上单调递增的奇函数,从而f(3x-9x)+f(m3x-3)0f(3x-9x)f(-m3x+3)3x-9x-m3x+3m3x-1+.又3x-1+2-1=2-1,当且仅当3x=时取等号,所以m的取值范围为(-,2-1).故选A.2.导学号 18702045设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心,研究函数f(x)=x3+sin x+1图象的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到f(-2 015)+f(-2 014)+f(-2 013)+f(2 014)+f(2 015)等于(D)(A)0(B)2 014(C)4 0