高中数学几何变换与矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组学案苏教版.docx

二阶矩阵与二元一次方程组1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义.2.会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性.3.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.基础初探1.二阶行列式将矩阵A两边的“”改为“|”，把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)adbc.2.二阶行列式与二元一次方程组关于x，y的二元一次方程组将记为D，将记为Dx，将记为Dy，则当D0时方程组的解为.3.二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x，y的二元一次方程组(1)逆矩阵与二元一次方程组令A为系数矩阵，X为待求向量，B是经A将X变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AXB，即.当A是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A1，则有XA1B，其中A1.(2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵和变换后的象，去求在这个变换的作用下的原象.思考探究1.二阶矩阵与二阶行列式的主要区别是什么？【提示】二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式adbc则是一个数.写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示.二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A是否可逆的.2.二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】当关于x、y的二元一次方程组的系数矩阵A是可逆的，则方程组有惟一解.3.结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？【提示】(1)待定矩阵法：利用AA1E得到方程组，再用行列式法解方程组即可.(2)行列式法：若A，且det(A)0，则A1.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：利用行列式解方程组利用行列式解方程组 【导学号：30650040】【精彩点拨】【自主解答】先将方程组改写成一般形式因为D20，此方程组存在惟一解.又Dx6，Dy4，所以x3，y2.故该方程组的解为利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式再分别求出D，Dx，Dy然后用求解公式求解.利用行列式解方程组【解】先将方程组写成一般形式因为D34(3)(1)90，此方程组有惟一解.又Dx14(3)313，Dy331(1)10.所以x，y.故该方程组的解为利用行列式知识求矩阵的逆矩阵利用行列式知识求矩阵A的逆矩阵A1.【精彩点拨】法一：(待定矩阵法)利用AA1E构建二元一次方程组法二：(用行列式法)【自主解答】法一(待定矩阵法)设A1，则，即，故先将a，c看成未知数，则D90.Da2，Dc1，所以a，c，同理可得：b，d，故A1.法二(用行列式法求逆矩阵)det(A)421(1)90，A可逆，A1.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A)时用.判断下列矩阵是否有逆矩阵，若有，求出逆矩阵. 【导学号：30650041】(1)A；(2)B.【解】(1)det(A)23412，A存在逆矩阵，且A1.(2)det(B)a3，当a3时，B不存在逆矩阵；当a3时，B存在逆矩阵，其逆矩阵B1.利用逆矩阵的知识解方程组利用逆矩阵知识求解例1中的方程组.【精彩点拨】找到A，X，B对应矩阵方程AXBXA1B【自主解答】令A，X，B，AXB，因为：A1，所以XA1B.故利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A，X，B，找到其对应的矩阵方程AXB，再求出A1然后由XA1B，求出x，y即可.利用逆矩阵知识解变式1中的方程组.【解】令A，X，B，AXB，因为A1，所以XA1B.故从几何变换的角度研究方程组解的情况已知二元一次方程组AXB，A，B，X，试从几何变换的角度研究方程组解的情况.【精彩点拨】【自主解答】对方程AXB，由于A对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x，y)(x2y，y)的切变变换，因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x，y)(x2y，y)的切变变换，即A1，于是原方程组的解X为向量B在变换矩阵A1对应的变换作用之后的向量，即XA1B.由于矩阵A1是惟一存在的，因此也是惟一存在的，且A1B，故原方程组的解为从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究.若将本例中A变为，情况如何？【解】矩阵A对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线yx上.于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B，试求它的原象，注意到当B时，它不在直线yx上，故它没有原象，也即方程组无解.真题链接赏析(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组利用矩阵解二元一次方程组【命题意图】本题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力.【解】方程组可写为，系数行列式为324120，方程组有惟一解.利用矩阵求逆公式得，因此原方程组的解为 即1.已知5，则x的值为_. 【导学号：30650042】【解析】2x(3x)5x5，x1.【答案】12.二元一次方程组的解是_.【解析】二元一次方程组改写为，设A.则det(A)5，A1.A1.方程组的解为【答案】3.若二阶矩阵X，满足X则X_.【解析】因为X，70，所以X.【答案】4.已知某点在矩阵M对应的变换作用下得到点(2，1)，则该点坐标为_. 【导学号：30650043】【解析】设该点的坐标为(x，y)，则，因为20，所以可逆，所以，所以所求点的坐标为.【答案】我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(七)学业达标1.利用行列式解方程组【解】先将方程组改写成一般形式因为D13221，Dx13245，Dy14212，所以x5，y2，故该方程组的解为2.利用行列式解方程组【解】m24Dx4m28Dy7m4当m240时，即m2，方程组无解；当m240时，即m2时，得x，y.即3.若关于x，y的二元一次方程组有惟一解，求m的取值范围.【解】该二元一次方程组的一般形式为其用矩阵形式表示为.因为该方程组有惟一解，所以0，解得m.4.利用逆矩阵解下列方程组：(1)(2)【解】(1)原方程组用矩阵可表示为.令A，Z，B，因为|A|4620，则矩阵A存在逆矩阵A1，且A1，这样，ZA1B，即原方程组的解为(2)原方程组用矩阵可表示为.同(1)，可以计算的逆矩阵为，则，即原方程组的解为5.设A，Z，B，试解方程组AZB. 【导学号：30650044】【解】det(A)12(1)(2)100，所以矩阵A存在逆矩阵A1，且A1，ZA1B.6.已知二元一次方程组AZB，其中A是可逆矩阵，B，试证明该方程组的解只能是.【证明】因为A是可逆矩阵，则原方程组的解为ZA1BA1，因A1是惟一存在的，所以Z是原方程组的解且是惟一的.7.试从几何变换的角度分析方程组AZB解的情况，这里A，Z，B.【解】由于A对应的是沿y轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为，即A1，于是原方程组的解Z为向量B在A1作用之后的向量，即ZA1B.因为A1是惟一存在的，因此也是