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第四章 刚体的运动规律 习 题 4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴 的转动惯量, 等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之 和, 即 Iz=Ix+Iy 分析：沿平面薄板建立 xy 坐标，垂直于薄板方向作 z 轴建 立坐标系。 解：依题意作右图所示,由定义求得: y I x Idm 2 ydm 2 x dm) 2 y 2 x(dm 2 r z I +=+= += +=+= += 4-2 计算由三根质量均为 lm 长为的均匀细杆组成的正三角形绕通过一顶点并垂直于三 角形平面的轴的转动惯量. 分析：转动惯量具有可加性，首先求每个杆的单独的转动惯量，然后相加，即可。 解：OA 相对于 O 点的转动惯量: 2 ml 3 1 1 I= = OB 相对于 O 点的转动惯量: 2 ml 3 1 2 I= = AB 相对于 O 点的转动惯量: 2 ml 6 5 2 ) l 2 3 (m 2 ml 12 1 3 I=+=+= 或 =+= =+= 2/ l 2/ l 2 ml 6 5 dL l m ) 2 l 4 3 2 L( 3 I 总的转动惯量为: 2 ml 2 3 3 I 2 I 1 II=+=+= 4-3 一半圆形均匀细杆，其半径为 R，质量为 m，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和 端点的轴 AA的转动惯量. 分析：直接用转动惯量的定义求解。 解： r R d A Rddl = = A z x y dm x y r l l 2 3 O O A AB B l l Rd 2 )sinR(dm 2 rdI=Q 2 mR 2 1 2 3 R d 0 2 sin 3 RdII= 4-4 计算一个内半径为 R1，外半径为 R2 的圆筒对其几何中心轴的转动惯量 分析：直接用转动惯量的定义求解。 解：设圆筒质量为 M，高为 h，体密度为 ，则 ) 2 1 R 2 2 R( h M = =dm 2 rdII rdr2hdm = = ) 2 2 R 2 1 R(M 2 1 ) 4 1 R 4 2 R(h 2 1 dr R R 3 rh2 rdr2h 2 rdm 2 rI 2 1 += = = += = = 4-5 以垂直于盘面的力 F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上， 使其制动,如图所示.飞轮 可以看作是质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘, 盘面与粗糙平面间的摩擦系数为 , 轴的粗细可略,飞轮的初始角速度为 . (1)求摩擦力矩. (2)经过多长时间飞轮才停止转动？ 分析：根据角动量定理，合外力矩等于角动量的时间变化率。本题中首先要求力矩，而 力矩是力与力的作用距离的乘积。然后再利用角动量定理求出飞轮的角加速度。 解： FR 3 2R 0 dMM dNrdM rdr2 2 R F dN = = = = F4 0 mR3 M 0 2 mR 2 1 t t 0 ) 2 mR 2 1 (IM = =又 = =又 Q 0 R r dr 4-6 如图，两物体的质量分别为 m1 和 m2，滑轮的转动惯量为 I，半径为 R。 (1) 如果 m2与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中张力 T1和 T2 . (2) 如果 m2与桌面之间的摩擦系数为 ,求系统的加速度和及绳中张力 T1和 T2 .绳子与 滑轮间没有相对滑动。 分析：用隔离体法分别分析物体与滑轮所受的力。对每一个物体列动力学方程，然后求 解方程即可。 解： (1) 如图所示分为三个隔离体求解。 = = = = = = R a IR) 2 T 1 T( a 2 m 2 T a 1 m 1 Tg 1 m += += += += += += ) 2 m 1 m 2 R I () 2 m 2 R I (g 1 m 1 T ) 2 m 1 m 2 R I (g 2 m 1 m 2 T ) 2 m 1 m 2 R I (g 1 ma (2) = = = = = = R a IR) 2 T 1 T( a 2 mg 2 m 2 T )g 2 mg 1 m( a 1 m 1 Tg 1 m 时时 += += += += += += ) 2 m 1 m 2 R I () 2 m 1 m 2 R I (g 1 m 1 T ) 2 m 1 m 2 R I (g 2 m) 2 R I 2 m 1 m( 2 T ) 2 m 1 m 2 R I (g) 2 m 1 m(a 4-7 有一个半径为 R=0.2 米，质量 m1=2.5 千克的匀质圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略， 当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳上缀一个质量 m2=0.51 千克的物体。试计算施在圆盘 上的力矩从静止开始，在 2 秒之内所作的功和 2 秒时物体 m2 的动能。 分析：本题中的滑轮是定轴转动，从刚体定轴转动的角动量定理，及力矩做功的角度去 m2 T2 I T1 m1 解： R v 2 MR 2 1 mRvLmgRtmgRdt +=+=Q 2 M m mgt v + = + = J2 . 8 2 ) 2 M m mgt (m 2 1 2 mv 2 1 m,k E= + = + = )J(2 .20 2 ) m2M mgt (M 2 ) R v )( 2 MR 2 1 ( 2 1 2 I 2 1 WRT = + = = = + = = 4-8 两个飞轮 A 和 B 可以接合起来，使它们以相同的转速一起转动。已知 AB 两飞轮的 轴在同一直线上，A 轮的转动惯量为 I1=10 千克米 2 ，B 轮的转动惯量为 I2=20 千克米 2，开始时 A 以转速 n1=600 转分-1匀速转动，B 轮静止. 求 (1) 两轮接合后的转速； (2) 结合过程中机械能的损耗。 分析：在整个过程中，无外力矩。因此，角动量守恒。 解： (1) 已知 1=2n 接合过程中,摩擦属内力, 又无其他外力矩，角动量守恒 I1 = (I1+I2) 所以 200 1 n 2 I 1 I 1 I 2 n= + = + = （转/分） (2) )J( 4 1032. 1 2 I 1 I 2 I 2 1 n 2 1 I2 2 ) 2 I 1 I ( 2 1 2 1 1 I 2 1 E + =+= + =+= 4-9 质量为 mA和 mB, 半径为 RA和 RB的两个圆盘同心地粘在一起, 小圆盘边缘绕有绳 子, 上端固定在天花板上, 大圆盘也绕有绳子, 下端挂以质量为 m 的物体,如图所示. 求: (1) 要使圆盘向上加速、向下加速,静止或匀速运动的条件? (2) 在静止条件下两段绳中的张力。轴处摩擦和绳的质量忽略。绳与滑轮之间没有 m2 R m1 A A B B 相对滑动发生。 解：圆盘的运动属于纯滚动.小圆盘与绳的切 点 O为 瞬时轴，则有： B gR) B m A m() B R A R(T+=+= (1) 圆盘静止或匀速运动,则 m 也匀速运 动或静止 ,则有 T = mg B gR) B m A m() B R A R(mg+=+= B gR) B m A m() B R A R(mg+当+当 圆盘向上加速运动 B gR) B m A m() B R A R(mg+2）的自由度为 6。 分析：要分析一个系统的自由度，首先把自由度分为平动自由度、转动自由度和振动自 h A BC C f r R x y N r gmr A r R 惯惯 F r x y 由度，然后分别去加以讨论。 答：对于刚体，由于各质点之间距离固定不变，因此没有相对运动，也就是没有振动， 那么刚体中没有振动自由度。无论刚体由几个质点组成，它都有 x、y、z 三个平动 自由度。对于 N=2 的系统，有 2 个转动自由度，当 N2 时，转动自由度为 3。所以， N=2 的系统，自由度为 5；对于 N2 的系统，自由度为 6。 4-17 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一点在转轴与边 缘之间的一半处，试问：在 t 时间内，哪个点运动的路程比较长？哪个点转过的角度 比较大？哪个点具有较大的线速率、角速率、线加速度和角加速度？ 分析：本题考查匀速圆周运动中角速度、线速度、角加速度、线加速度以及路程等等的 概念。 答：假设飞轮边缘上的点为 A 点，转轴与边缘之间一半处的点为 B 点。那么，在飞轮 旋转过程中，t 时间内，A 点运动的路程较长；A 点和 B 点转过的角度一样大；A 点的线速率较大；两点的角速率相同；角加速度相同，均为 0；线加速度：切向加 速度均为 0；法向加速度 AB。 4-18 计算物体的转动惯量时，能否将物体的直来那个看作集中在质心处？ 分析：应该从转动惯量的定义来分析。 答： 计算物体的转动惯量时， 由于dmrdI 2 =,通常不能将物体的质量看作集中的质心处。 如果我们知道所求物体的回转半径 k，那么我们可以认为物体质量集中在质心处， 此时我们不需用转动惯量的定义式，只要用公式 2 mkI =即可求出转动惯量。 4-19 在工程技术中， 人们常给出质量为 m， 对指定轴的转动惯量为 I 刚体的回转半径 k， 其定义为 k=(I/m)1/2。试说明; (1) k2是什么物理量关于质量分布的平均值； (2) k 是什么物理量的平方的平均值的平方根（简称方均根值） 。 分析：首先根据转动惯量的定义，求一个质量为 M 的系统的转动惯量。将所求结果与题 目中的k=(I/M)1/2相比较。 答：根据转动惯量定义：dmrdI 2 = 得： =dmrI 2 已知： 2/1 )/(MIk=， 得： 2 MkI=。比较上述两式，得 (1) k2是转动惯量关于质量分布的平均值。 （2）所有质量微元与转动轴的距离的方均根值。 4-20 在某一瞬间， 物体在力矩作用下， 其角速度可以为零吗？其角加速度可以为零吗？ 分析：根据角动量定理，物体所受的合外力矩等于它的角动量随时间的变化率。所以外 力矩的作用是产生角加速度而不是角速度。 答：在某一瞬间，物体在力矩作用下，其角速度可以为零。但其角加速度不为零。 4-21 陀螺转速愈快，它站得愈稳，即愈能够保持转轴的方向不变。这一性质称为陀螺 的稳定性。试由此说明枪筒或炮膛内来福线的作用。 （提示：枪筒内刻上的一道道螺旋 形的小槽能使子弹射出时具有一定的转速。 ） 分析：枪筒中的来福线的作用是使出射的子弹具有一定的转速度。 答：枪膛内的来福线使子弹射出时具有一定的转动速度，如果没有来福线，子弹出射时 只有平动，没有转动。根据陀螺的稳定性原理：陀螺转速越快，越能保持转轴的方向不 变。实际上是由于对于没有转动只有平动的物体，只要受到一个与运动方向不同的力， 其运动方向就会发生改变。而对于有转动的物体，只有它受到力矩的作用时，其运动方 向才会发生改变。所以，由于来福线的作用，子弹出射时具有一定的转速，这样可以保 证子弹沿预定轨迹发射，提高命中率 4-22 质点系统的动能的改变与外力和内力都有关， 为什么刚体绕定轴转动时动能改变只 和外力有关，而与内力无关吗？ 分析：动能的改变是与作功相联系的，而不是单纯与力有关的。 答：在质点系统中，内力和外力都做功，所以，内力和外力都会引起系统动能的改变。 但是在刚体定轴转动问题中，内力不做功，所以，内力不改变刚体系统的动能。 对刚体定轴转动问题，也可以从力矩做功的角度来考虑，由于内力部队系统提供力 矩，所以内力不对刚体做功。 4-23 从能量角度讨论具有相同半径。相同质量的匀质圆环，圆柱和空心球，沿同一斜 面从同一高度由静止开始下滚时， 哪个将首先到达底部？顺序如何？一个塑料球和一个 同样半径的铁球，沿同一斜面