2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题11数列求和及数列的简单应用理.docx

专题11 数列求和及数列的简单应用【考向解读】 数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题. 从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大.【命题热点突破一】分组转化法求和例1、(2016浙江卷)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解：(1)由题意得则又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，Tn【变式探究】等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nlnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意.因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1(nN*).(2)因为bnan(1)nlnan23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn【方法技巧】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.【命题热点突破二】 裂项相消法求和例2、设数列an的前n项和为Sn，对任意正整数n都有6Sn12an.求数列an的通项公式；【变式探究】【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q0， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【答案】（）；（）详见解析.【解析】（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 由解得.因为，所以.于是，故.【方法技巧】裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如(n2)或.【命题热点突破三】 错位相减法求和例3、已知数列an的前n项和为Sn，且Snan1n2，nN*，a12.(1)证明：数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bn(nN*)的前n项和为Tn，证明：Tn6. (2)解由Snan1n2，得Snn2an12n1，故Snn12n.所以bn.所以Tnb1b2bn1bn，2，得2Tn3，得Tn336.因为0，所以Tn66.【方法技巧】近年高考对错位相减法求和提到了特别重要的位置上，常在解答题中出现，也是考纲对数列前n项和的基本要求，错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数.【命题热点突破四】 利用数列单调性解决数列不等式问题例4、首项为正数的数列an满足an1(a3)，nN*.(1)证明：若a1为奇数，则对一切n2，an都是奇数；(2)若对一切nN*都有an1an，求a1的取值范围.(1)证明已知a1是奇数，假设ak2m1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak1m(m1)1是奇数.根据数学归纳法，对任意nN*，an都是奇数.(2)解法一由an1an(an1)(an3)知，an1an当且仅当an1或an3.另一方面，若0ak1，则0ak11；若ak3，则ak13.根据数学归纳法，0a110an1，nN*，a13an3，nN*.综合所述，对一切nN*都有an1an的充要条件是0a11或a13.法二由a2a1，得a4a130，于是0a11或a13.an1an，因为a10，an1，所以所有的an均大于0，因此an1an与anan1同号.根据数学归纳法，nN*，an1an与a2a1同号.因此，对一切nN*都有an1an的充要条件是0a11或a13.【方法技巧】涉及到数列不等式，比较大小或恒成立问题，经常用到作差法.法一用了作差法和数学归纳法；法二将an1an的符号问题转化为a2a1的符号问题，再由a2，a1的递推关系，求出a1的范围.【命题热点突破五】 放缩法解决与数列和有关的不等式例5、已知正项数列an的前n项和为Sn，且a12，4Snanan1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn. (2)证明，Tn.又，Tn.即得Tn.【方法技巧】数列与不等式的证明主要有两种题型：(1)利用对通项放缩证明不等式；(2)作差法证明不等式.【高考真题解读】1.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】（）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（）证明： 所以.2.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】（）由题意得，故，由，得，即由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是（）由（）得，由得，即，解得3.【2016高考浙江理数】设数列满足，（I）证明：，；（II）若，证明：，【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析【解析】（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，对于任意，故从而对于任意，均有由的任意性得 否则，存在，有，取正整数且，则，与式矛盾综上，对于任意，均有4.【2016年高考北京理数】（本小题13分） 设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（）的元素为和.（）因为存在使得，所以.记，则，且对任意正整数.因此，从而.（）当时，结论成立.以下设.由（）知.设.记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p不小于. 5.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q0， .（）若 成等差数列，求的通项公式；（）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.【答案】（）；（）详见解析.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率 由解得.因为，所以.于是，故.6.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）（2）不具有性质（3）见解析【解析】（1）因为，所以，于是，又因为，解得（2）的公差为，的公比为，所以，但，所以不具有性质（3）证充分性：当为常数列时，对任意给定的，只要，则由，必有充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”7.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和【答案】（）， ；（）1893.8.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.【答案】（）；（）.【解析】（）由题意知当时，当时，所以.设数列的公差为，由，即，可解得，所以.（）由（）知，又，得，两式作差，得所以9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因此，.（3）下面分三种情况证明.若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.令，则，.于是，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合得，. 10.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.【答案】（）；（）.（）由（）知，又，得，两式作差，得所以1(2015新课标全国，16)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，所以Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，得1(n1)n，所以Sn.答案2(2015福建，8)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7 C8 D9解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9，故选D.答案D3(2015浙江，3)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40 Ba1d0，dS40Ca1d0，dS40 Da1d0，dS40解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20，又S44a1d，dS40，故选B.答案B4(2015广东，21)数列an满足：a12a2nan4，nN*.(1)求a3的值；(2)求数列an前n项和Tn；(3)令b1a1，bnan(n2)，证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22ln n.(1)解a11，a12a22，a2，a12a23a34，a3.(2)解n2时，a12a2(n1)an14，与原式相减，得nan，an，n1也符合，Tn2.(3)证明n2时，bnanan故Snia1a2a3ana1a2a3anTn2，只需证明222ln n，nN*.对于任意自然数kN，令x(1，0)时，ln0，即ln(k1)ln k.k1时，ln 2ln 1，k2时，ln 3ln 2.kn1时，ln 2ln(n1)11(ln 2ln 1)(ln 3ln 2)ln nln(n1)，即11ln n，所以n2时，222ln n，综上nN时，Sn22ln n.5(2015浙江，20)已知数列an满足a1且an1ana(nN*)(1) 证明：12(nN*)；(2)设数列a的前n项和为Sn，证明：(nN*)证明(1)由题意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1)a10.由0an得1，2，即12(2)由题意得aanan1，所以Sna1an1由和12得12，所以n2n，因此an1(nN*)由得(nN*)6(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n1时，Tnb1b2b3bn(131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，经检验，n1时也适合综上可得Tn.7(2015天津，18)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和解(1)由已知，