2019版高考数学第3章导数及其应用5第5讲利用导数研究含参数不等式教案理.docx

第5讲利用导数研究含参数不等式分离参数求参数范围 典例引领 (2018安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)ln x.(1)求函数g(x)f(x1)x的最大值；(2)若对任意x0，不等式f(x)axx21恒成立，求实数a的取值范围【解】(1)因为f(x)ln x.所以g(x)f(x1)xln(x1)x，x1.所以g(x)1.当x(1，0)时，g(x)0，所以g(x)在(1，0)上单调递增；当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减所以g(x)在x0处取得最大值g(0)0.(2)因为对任意x0，不等式f(x)axx21恒成立所以在x0上恒成立，进一步转化为a.设h(x)，则h(x)，当x(1，e)时，h(x)0；当x(e，)时，h(x)0，所以h(x).要使f(x)ax恒成立，必须a.另一方面，当x0时，x2，要使axx21恒成立，必须a2，所以满足条件的a的取值范围是.利用分离参数法来确定不等式f(x，)0(xD，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式；(2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值；(3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min，得到的取值范围 等价转化法求参数范围 典例引领 函数f(x)x22axln x(aR)(1)若函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，求a的值；(2)若不等式2xln xx2ax3在区间(0，e上恒成立，求实数a的取值范围【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2a，f(1)32a，由题意f(1)(32a)1，解得a.(2)不等式2xln xx2ax3在区间(0，e上恒成立等价于2ln xxa.令g(x)2ln xxa，则g(x)1，则在区间(0，1)上，g(x)0，函数g(x)为增函数由题意知g(x)ming(1)1a30，得a4，所以实数a的取值范围是(，4根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围 含全称与存在量词的不等式问题 典例引领 设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围【解】(1)存在x1，x20，2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0，或x，令g(x)0得0x，又x0，2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径(1)f(x)a恒成立f(x)mina；存在x使f(x)a成立f(x)maxa.(2)f(x)b恒成立f(x)maxb，存在x使f(x)b成立f(x)minb.(3)f(x)g(x)恒成立F(x)min0.(4)任意x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；任意x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；存在x1M，存在x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；存在x1M，任意x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max. 1设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)解析：选A.设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，所以 g(x)0，x1，所以 使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)，故选A.2已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22，3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca2Da2解析：选A.由题意知f(x)ming(x)min(x2，3)，因为f(x)min5，g(x)min4a，所以54a，即a1，故选A.3(2018贵州适应性考试)已知函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成立，求a的取值范围解：(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0，f(x)在R上单调递减；当a0时，令f(x)0得xln a.由f(x)0得f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0得f(x)的单调递减区间为(ln a，)(2)因为x0(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，则ax，即a.设h(x)，则问题转化为a()max，由h(x)，令h(x)0，则x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)单调递增极大值单调递减由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a.4(2017高考全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解：(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1，x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增，而g(0)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0，1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，)1已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f(x1)g(x2)成立，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数；所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2，0)的最小值由(1)知当a1时f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2，0时，g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以e(a1)，所以a的取值范围为.2(2018兰州模拟)已知函数f(x)ax2bxxln x的图象在(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(1)求实数a，b的值；(2)设g(x)x2x，若kZ，且k(x2)f(x)g(x)对任意的x2恒成立，求k的最大值解：(1)f(x)2axb1ln x，所以2ab13且ab1，解得a1，b0.(2)由(1)与题意知k对任意的x2恒成立，设h(x)(x2)，则h(x)，令m(x)x42ln x(x2)，则m(x)10，所以函数m(x)为(2，)上的增函数因为m(8)42ln 842