江苏2018版高考数学复习三角函数解三角形4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用教师用书理苏教版.docx

第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数yAsin(x)的图象及应用教师用书 理 苏教版1.yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x) (A0，0)的图象的步骤如下【知识拓展】1.由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度.2.函数yAsin(x)的对称轴由xk，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的.()(2)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象.()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(4)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(5)把ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(6)若函数yAcos(x)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()1.(教材改编)y2sin(x)的振幅，频率和初相分别为_.答案2，解析由题意知A2，f，初相为.2.(教材改编)将ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)_.答案sin x解析将函数ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)2sin xsin x的图象.3.(2016全国甲卷改编)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则函数的表达式为_.答案y2sin解析由图可知，T2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.4.(2016南通模拟)已知函数f(x)Acos(x)的图象如图所示，f()，则f()_.答案解析由题图知，函数f(x)的周期T2()，所以f()f()f().5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)sin(2x)，g(x)sin(2x)，h(x)cos(x)的部分图象(如图)，则a，b，c对应的函数依次是_.答案h(x)，f(x)，g(x)解析由于函数f(x)，g(x)，h(x)的最大值分别是，1，1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；又g(x)，h(x)的最小正周期分别是、2，因此结合图形可知，曲线a，c分别是h(x)，g(x)的图象.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.引申探究在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心.解由(1)知f(x)5sin(2x)，因此g(x)5sin2(x)5sin(2x).因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2xk，kZ，解得x，kZ.即yg(x)图象的对称中心为(，0)，kZ.思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.把函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是_.答案ycos 2x解析由ysin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为ysin 2x，再向左平移个单位得ysin 2(x)，即ycos 2x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2如图是函数yAsin(x)(A0，0，|0，0)解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.(2016徐州模拟)已知函数f(x)sin(x) (0，|)的部分图象如图所示，则yf(x)取得最小值时x的集合为_.答案x|xk，kZ解析根据所给图象，周期T4()，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点(，0)，代入有2k(kZ)，再由|，得，f(x)sin(2x)，当2x2k (kZ)，即xk(kZ)时，yf(x)取得最小值.题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3(2015陕西改编) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.答案8解析由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_.答案(2，1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根.y和ysin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为(1，)，故m的取值范围是(2，1).引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_.答案2，1)解析由例4知，的范围是，2m0，)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x0，时，求函数yf(x)的最大值和最小值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，由0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为_.答案解析f(x)sin xcos x2sin(x)(0).由2sin(x)1，得sin(x)，x2k或x2k(kZ).令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.4.(2017江苏通州中学月考)函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图象如图所示，则，的值分别是_.答案2，解析由题中图象可知T()TT，则2.又图象过点(，2)，f()22sin()2sin()1.，0)的部分图象如图所示，若AB5，则的值为_.答案解析如图，过点A作垂直于x轴的直线AM，过点B作垂直于y轴的直线BM，直线AM和直线BM相交于点M，在RtAMB中，AM4，BM，AB5，由勾股定理得AM2BM2AB2，所以16()225，3，.8.(2016南通质检)设函数ysin(x)(0x)，当且仅当x时，y取得最大值，则正数的值为_.答案2解析因为0x0，所以x(，)，又函数当且仅当x时取得最大值，所以解得2.9.(2016扬州期末)已知函数f(x)sin(2x)(0x)，且f()f()()，则_.答案解析因为0x0，0，0)的图象如图所示，则当t秒时，电流强度是_安.答案5解析由图象知A10，100，I10sin(100t).图象过点，10sin(100)10，sin()1，2k，kZ，2k，kZ，又00)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x00，则x0_.答案解析两条相邻的对称轴之间的距离为，所以T.而T，得2.因为f(x)的图象关于点(x0，0)成中心对称，所以sin(2x0)0.又因为x00，所以2x0，所以2x0，即x0.12.(2016江苏扬州中学月考)将ysin 2x的图象向右平移个单位(0)，使得平移后的图象仍过点(，)，则的最小值为_.答案解析由题意得sin(2)，22k(kZ)或22k(kZ)，k (kZ)或k (kZ)，又0，的最小值为.13.设函数f(x)Asin(x) (A，是常数，A0，0).若f(x)在区间，上具有单调性，且f()f()f()，则f(x)的最小正周期为_.答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，由f()f()f()，且，可作出示意图如图所示(一种情况)：x1()，x2()，x2x1，T.14.设函数f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.依题意知4，0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.*15.函数