江苏专用高考数学复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理.docx

专题四 立体几何练习 理立体几何高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求.真 题 感 悟1.(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.答案2.(2016江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1.所以B1D平面A1C1F，因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.考 点 整 合1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V球R3.3.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.热点一空间几何体的有关计算问题【例1】 (1)(2016连云港调研)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1DBC的体积为_.(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_.(3)(2016南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_.解析(1)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1BDC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.(2)VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.另解(特殊点法)：让E点和A点重合，点F与点C重合，则VD1EDFSACDD1D111.(3)由题意可得正四棱锥的高为2，体积为(2)228，则正方体的体积为8，所以棱长为2.答案(1)66(2)(3)2探究提高(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题.(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.【训练1】 (1)(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_.(2)(2012江苏卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为_cm3.(3)(2016苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1r2r3_.解析(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，则，所以.(2)关键是求出四棱锥A BB1D1D的高，连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥A BB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VA BB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3).(3)由题意可得三个扇形的弧长分别为，5，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1，r2，r3，所以r1r2r35.答案(1)(2)6(3)5热点二空间中的平行和垂直的判断与证明问题微题型1空间线面位置关系的判断【例21】 (1)已知平面、，直线m，n，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中是真命题的是_(填写所有真命题的序号).(2)(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号)解析(1)若m，n，mn，则，可能平行或相交，是假命题；若，m，n，则m，n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知是真命题，故真命题序号是.(2)当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.答案(1)(2)探究提高长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.微题型2平行、垂直关系的证明【例22】 (2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.【例23】 (2016昆明统考)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBC，且AA1ABBC1，CD2.(1)求证：AB1平面A1BC；(2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N平面A1BC?若存在，求出三棱锥NAA1C的体积；若不存在，请说明理由.(1)证明因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直底面，所以A1A平面ABCD，又BC平面ABCD，所以BCAA1，因为BCAB，ABAA1A，AB平面AA1B1B，AA1平面AA1B1B，所以BC平面AA1B1B.又AB1平面AA1B1B，所以AB1BC，因为A1AAB，A1AAB1，所以四边形AA1B1B为正方形，所以AB1A1B，因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.(2)解法一在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D1N平面A1BC.证明如下：连接BN、D1N，因为ABCD，AB1，CD2，所以ABDN且ABDN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BNAD且BNAD.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1AD且A1D1AD，所以A1D1BN且A1D1BN，所以四边形A1BND1为平行四边形，所以D1NA1B.又D1N平面A1BC，A1B平面A1BC，所以D1N平面A1BC.连接A1N、AN、AC，所以SACNSBCN11，又A1A平面ABCD，且A1A1，所以VNAA1CVA1ACNSACNA1A1，即三棱锥NAA1C的体积为.法二在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D1N平面A1BC，证明如下：取C1D1的中点M，连接AN、A1M、D1N、MC，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，AB1，CD2，所以A1B1C1D1，A1B11，C1D12，所以A1B1MC1且A1B1MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，所以A1MB1C1且A1MB1C1.又BCB1C1且BCB1C1，所以A1MBC且A1MBC，所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1BCM，又D1MNC1且D1MNC，所以四边形D1MCN为平行四边形，所以CMD1N，所以D1NA1B.又D1N平面A1BC，A1B平面A1BC，所以D1N平面A1BC.连接A1N、AC，所以SACN11，又A1A平面ABCD，且A1A1，所以VNAA1CVA1ACNSACNA1A1，即三棱锥NAA1C的体积为.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练2】 (2016苏北四市模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.证明(1)法一如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.又因为E为PB的中点，所以EHAB，且EHAB.图1又ABCD，CDAB，所以EHCD，且EHCD.所以四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD.图2法二如图2，连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC，又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意S表S侧S底.2.锥体体积公式为VSh，在求解锥体体积中，不能漏掉.3.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.一、填空题1.(2016浙江卷改编)已知互相垂直的平面，交于直线l，且直线m，n满足m，n，给出下列结论：ml；mn；nl；mn.则上述结论正确的是_(填序号).解析由已知，l，l，又n，nl，正确.答案2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_.解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为426.答案63.(2016徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为_cm3.解析设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积rl10r60，解得r6，则高h8，则此圆锥的体积为r2h36896.答案964.如图所示，ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA2，AB1，求三棱锥CPED的体积为_.解析PA平面ABCD，PA是三棱锥PCED的高，PA2.ABCD是正方形，E是AC的中点，CED是等腰直角三角形.AB1，故CEED，SCEDCEED.故VCPEDVPCEDSCEDPA2.答案5.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.解析EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，又E是AD的中点，F是CD的中点，即EF是ACD的中位线，EFAC2.答案6.(2016镇江高三期末)设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号).解析中直线b，c平行或异面，则错误；中c或c，则错误；中c，的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知正确，故正确命题是.答案7.(2016苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若，则的值为_.解析棱长为a的正方体的体积V1a3，表面积S16a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2r3，侧面积S2r2，则，则ar，所以.答案8.(2016无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OAOB，且OAVO1，则O到平面VAB的距离为_.解析由题意可得三棱锥VAOB的体积为V三棱锥VAOBSAOBVO.VAB是边长为的等边三角形，其面积为()2，设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥OVABSVABhhV三棱锥VAOB，解得h，即点O到平面VAB的距离是.答案二、解答题9.(2014江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面