湖南省2017中考数学第二部分重难题型突破题型三图形动态探究题试题.docx

题型三 图形动态探究题 类型一 线段问题针对演练1. 在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EFAB交AC的延长线于点F.(1)如图，当1时，求证：AFEFAB；(2)如图，当2时，直接写出线段AF，EF，AB之间满足的数量关系：_；(3)如图，当k时，请猜想线段AF，EF，AB之间满足的数量关系(含k)，并证明你的结论第1题图2. (2016甘孜州)如图，AD为等腰直角ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG、AE.(1)求证：BGAE；(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时(如图所示)求证：BGGE；设DG与AB交于点M，若AGAE34，求的值第2题图3. (2016南平)已知在矩形ABCD中，ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点(其中EP5时，S与t的函数关系式3. (2016名校招生试题)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C均在坐标轴上，且OA4，OC3，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒(0x4)时，过点N作NPBC于点P，连接MP.(1)直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标(用含x的式子表示)；(2)当x为何值时，OMP的面积最大？并求出最大值；(3)在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由4. (2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设ySOPB，BPx(0x2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值第4题图5. (2016名校招生试题)如图，已知在ABC中，ACB90，ACBC4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度(090)后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与ABC的重叠部分，那么，在上述旋转过程中：(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，设BHx.当CKH的面积为时，求出x的值；试问OKH的面积是否存在最小值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由第5题图6. 提出问题：(1)如图，在正方形ABCD中，点E、H分别在BC、AB上，若AEDH于点O，求证：AEDH；类比探究：(2)如图，在正方形ABCD中，点H、E、G、F分别在AB、BC、CD、DA上，若EFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)条件下，HFGE，如图所示，已知BEEC2，EO2FO，求图中阴影部分的面积第6题图答案类型一 线段问题1. (1)证明：如解图，延长AD，EF交于点G，当1时，DEBD，EFAB，BADEGD，在ABD和GED中， 第1题解图ABDGED(AAS)，ABGE，又AD平分BAC，BADDAC，DACFGD，AFGF，AFEFGFEFGEAB，AFEFAB；(2)解：AFEF2AB；【解法提示】如解图，延长AD，EF交于点G，当2时，DE2BD，EFAB，BADEGD，又BDAEDG， 第1题解图ABDGED，即GE2AB， 又AD平分BAC，BADDAC，DACFGD，AFGF，AFEFGFEFGE2AB.AFEF2AB. (3)解：AFEFkAB.证明：如解图，延长AD、EF交于点G，当k时，DEkBD，EFAB，BADEGD，又BDAEDG，ABDGED，即GEkAB，又AD平分BAC，BADDAC，DACFGD， 第1题解图AFGF，AFEFGFEFEGkAB. AFEFkAB.2. (1)证明：AD为等腰直角ABC的高，ADBD，BDG90，四边形DEFG为正方形，GDE90，DGDE，在BDG和ADE中，BDGADE(SAS)，BGAE；(2)证明：如解图，四边形DEFG为正方形，DEG为等腰直角三角形，1245，ADGBDGADGADE90，BDGADE，DEDG，由(1)得ADBD，BDGADE，3245，13454590，即BGE90， 第2题解图BGGE； 解：设AG3x，则AE4x，即GE7x，DGGEx，BDGADE，BGAE4x，在RtBGA中，AB5x，ABD为等腰直角三角形，445，BDABx，34，BDMGDB，DBMDGB，BDDGDMBD，即xxDMx，解得DMx，GMDGDMxxx，.3. (1)证明：由旋转性质得GPFHPD90，GPHFPD，DE平分ADC，ADC90，PDFADP45，HPD为等腰直角三角形，DHPFDP45，且PHPD，HPGDPF，PGPF；解：DGDFDP.证明：由知HPD为等腰直角三角形，HPGDPF，HDDP，HGDF，HDDGHGDGDF，DGDFDP；(2)解：(1)中结论不成立，它们所满足的数量关系式应为DGDFDP.证明：如解图，过点P作PMPD交射线DA于点M，PFPG，GPFMPD90，GPMFPD，DE平分ADC，ADC90，MDPEDC45，MPD为等腰直角三角形， 第3题解图DMPEDC45，且PMPD，DMDP，GMPFDP18045135，MPGDPF，MGDF，DMDGMGDGDF，DGDFDP.4. 解：(1)AFAE；【解法提示】四边形ABFD是平行四边形，ABDF，ABAC，ACDF，DECE，AEEF，AEFCED90，AEF为等腰直角三角形，AFAE.(2)AFAE.证明：如解图，连接EF.BAC90，ABAC， 1C45，在ABFD中，ABDF，ABDF，2145，DFAC，又DEC90，345C，又DECE， 第4题解图DEFCEA，EFAE，FEDAEC，AECAEDDEFAED，即AEFDEC90，AEF为等腰直角三角形，AFAE；(3)不变证明：如解图，延长FD交AC于M，连接EF， 第4题解图在 ABFD中，ABDF，ABDF，且ABAC，DFAC，FMCBAC90，又DEC90，ACE180MDCCDE135MDC，FDE180CDEMDC135MDC，FDEACE，CEDE，DEFCEA(SAS)，EFAE，DEFCEA，又AEFDEADEFDEAAEC90，AEF是等腰直角三角形，AFAE.5. 解：(1)BCCF；BCCDCF；【解法提示】BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABC45，ACB45，BCF90，即BCCF；ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF.(2)结论仍然成立，不成立证明：BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABD18045135，ACB45，BCF90，即BCCF；结论为：BCCDCF.证明：ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF；(3)如解图，过点E作EMCF于点M，作ENBD于点N，过点A作AHBD于点H，则CNME，CMEN，ABAC2，BC4，AHBC2，CDBC， 第5题解图CD1，BACDAF90，BACCADDAFCAD，即BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF，ACFABC45，ACB45，BCF90，ABCAGC45，BCCG4，ADE90，ADHEDNEDNDEN90，ADHDEN，又AHCDNE90，ADDE，AHDDNE，DNAH2，ENDH523，CMEN3，MECN3，则GMCGCM431，EG.6. (1)证明：在RtFCD中，点G为DF的中点，CGDF.同理，在RtDEF中，EGDF，CGEG；(2)解：(1)中结论仍然成立，即EGCG.证明：如解图，连接AG，过G点作MNAD于点M，与EF的延长线交于N点，则四边形AENM是矩形在DAG与DCG中，ADCD，ADGCDG，DGDG，DAGDCG，AGCG.在DMG与FNG中，DGMFGN，FGDG，MDGNFG，DMGFNG，MGNG.在矩形AENM中，AMEN.在RtAMG与RtENG中，AMEN，MGNG，RtAMGRtENG， 第6题解图AGEG，EGCG；(3)解：(1)中的结论仍然成立，即EGCG，其他的结论还有EGCG.【解法提示】如解图，连接AC、BD交于点M，过点E作EHBF于点H，连接GH、GM，四边形ABCD是正方形，ACBD，ACBD，AMCMBMDM，BEF是等腰直角三角形，EHFHBH，G是DF的中点，GHBD，GHBMDMAMCM， 第6题解图GMBF，GMBHFHEH，FHGFBMGMD，EHG90FHG，GMC90GMD，EHGGMC，在EHG和GMC中，EHGGMC(SAS)，EGGC，EGHGCM，GHBD，ACBD，ACGH，HGMGMA90，HGMGCMMGC90，EGHHGMMGC90，即EGCG.类型二图形形状问题1. 解：(1)如解图，过点P作PHAC于点H， C90，ACBC，PHBC，APHABC， AC4 cm，BC3 cm，AB5 cm， 第1题解图，PH3t，SAQPAQPHt(3t)(t)2，当t为秒时，S最大值为 cm2；(2)如解图，连接PP交QC于E，当四边形PQPC为菱形时，PE垂直平分QC，即PEAC，QEEC， APEABC，AEt4，QEAEAQt4tt4， 第1题解图又QEQC(4t)t2，t4t2，解得t，04，当四边形PQPC为菱形时，t的值是 s；(3)由(1)知，PHt3，与(2)同理得：QHAHAQt4，PQ ，在APQ中，当AQAP，即t5t时，解得t1s；当PQAQ，即t时，解得t2 s，t35 s；当PQAP，即5t时，解得t40，t5 s；0t4，t35，t40不合题意，舍去，当t为 s或 s或 s时，APQ是等腰三角形2. (1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，EAOFCO，AC的垂直平分线为EF，OAOC，在AOE和COF中，AOECOF(ASA)，OEOF，OAOC，EFAC，四边形AFCE是菱形AFFC，设AFx cm，则CFx cm，BF(8x)cm，四边形ABCD是矩形，B90， 第2题解图在RtABF中，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5，即AF5 cm； (2)解：显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上也不能构成平行四边形因此只有当P点在BF上，Q点在DE上时，才能构成平行四边形，此时如解图，PCQA，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，t1，PCPFFCPFAF5t，QA8(4t4)124t，5t124t，解得t.当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t s.3. 解：(1)DAC30，ACD90，AD8，CD4，AC4.又四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD的面积为4416； 第3题解图 (2)如解图，当EMC90时，四边形DCEF是菱形理由如下：EMCACD90，DCEF.BCAD，四边形DCEF是平行四边形，由(1)可知，CD4，点M为AC的中点，EFCD，F是AD的中点，DFAD4CD，四边形DCEF是菱形；(3)点E在运动过程中能使BEM为等腰三角形理由：如解图，过点B作BGAD于点G，过点E作EHAD于点H，连接DM.DCAB，ACD90，CAB90，BAG180309060，ABG30. 第3题解图AGAB2，BG2.点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，CEt，BE8t.在CEM和AFM中，CEMAFM.MEMF，CEAFt.HFHGAFAGBEAFAG8tt262t.EHBG2，在RtEHF中，MEEF.M为平行四边形ABCD对角线AC的中点，D，M，B三点共线，且DMBM.在RtDBG中，DGADAG10，BG2，BMBD42，要使BEM为等腰三角形，应分以下三种情况：当EBEM时，则(8t)212(62t)2，解得t.当EBBM时，则8t2，解得t82.当EMBM时，由题意可知点E与点B重合，此时点B、E、M不构成三角形综上，当t或t82时，BEM为等腰三角形4. 解：(1)由折叠的性质，可得OEOA15，ADDE，在RtOCE中，CE12，E(12，9)，又BEBCCE3，在RtBED中，DE2BE2BD2，即DE232(9DE)2，DEAD5，D(15，5)；(2)存在如解图，作点D关于x轴的对称点D(15，5)，点E关于y轴的对称点E(12，9)，连接DE，分别交x轴、y轴于点M、N，则点M、N即为所求，设直线DE的解析式为ykxb(k0)，将D(15，5)、E(12，9)分别代入得，解得，直线DE的解析式为yx， 第4题解图 令x0，得y，令y0，得x，M(，0)、N(0，)，在RtBED中，BD14，BE27，由勾股定理得DE5，四边形MNED周长最小值DEENMNMD55；(3)若OE为等腰三角形的腰，当点P在x轴的正半轴上，OP1OE15时，点P1与A重合，P1(15，0)； 当点P在x轴的负半轴上时，OP2OE15时，P2(15，0)；如解图，当OEEP3时，过点E作EHOA于点H， 第4题解图OHCEHP312，P3(24，0)；若OE为等腰三角形的底，当OP4EP4时，由勾股定理得P4H2EH2P4E2，(12P4E)281P4E2，OP4EP4，P4(，0)满足条件的P点有四个，分别是P1(15，0)，P2(15，0)，P3(24，0)，P4(，0)5. 解：(1)折叠后点A落在AB边上的点D处，EFAB，AEFDEF.SAEFSDEF.S四边形ECBF3SEDF，S四边形ECBF3SAEF.SACBSAEFS四边形ECHF，SACBSAEF3SAEF4SAEF.EAFBAC，AFEACB90，AEFABC.在RtACB中，ACB90，AC4，BC3，AB2AC2BC2，即AB5.，AE；(2)四边形AEMF是菱形证明：折叠后点A落在BC边上的点M处，CABEMF，AEME，又MFCA，CEMEMF.CABCEM.EMAF.四边形AEMF是平行四边形AEME，四边形AEMF是菱形；连接AM交EF于点O，如解图，设AEx，则MEx，EC4x.CEMCAB，ECMACB90，RtECMRtACB.，AB5，解得x.AEME，EC.在RtECM中，ECM90， 第5题解图CM 2EM 2EC 2，即CM.四边形AEMF是菱形，OEOF，OAOM，AMEF.S菱形AEMF4SAOE2OEAO.在RtAOE和RtACM中，tanEAOtanCAM，.CM，AC4，AO3OE，S菱形AEMF6OE2.又S菱形AEMFAECM，6OE2；OE，EF；(3)如解图，过点F作FHCB于点H，在RtNCE和RtNHF中，tanENCtanFNH，NC1，EC，设FHx，则NHx，CHx1. 第5题解图BC3，BHBCCH3(x1)4x.在RtBHF和RtBCA中，tanFBHtanABC，即，解得x.经检验，x是原分式方程的解HF.BB，BHFBCA90，BHFBCA.，即HFBACABF.54BF.BF2.AF3.6. (1)证明：ECFBCD，ECFECDBCDECD，即DCFBCE.四边形ABCD是菱形，DCBC，在DCF与BCE中，DCFBCE(SAS)BEDF；(2)解：66，12； 【解法提示】点到直线的所有线段中，垂线段最短如解图所示，过点B作BEDA交其延长线于点E，四边形ABCD为菱形，ADBC，则ABCBAE，tanABCtanBAE2，即BE2AE，又AB6， 第6题解图BE12，AE6，DF的最小值为12，此时t66.(3)解：CECF，CEQ90.当EQP90时，如解图，ECFBCD，BCDC，ECFC，BCDECF，CBDCEF.BPCEPQ，BCPEQP90. 第6题解图在RtCDE中，CED90，ABCD6，tanABCtanADC2，DE6，t6秒； 当EPQ90时，如解图，菱形ABCD的对角线ACBD，EC和AC重合DE6，t6 秒 第6题解图综上，当t为6或6秒时，EPQ是直角三角形7. (1)证明：连接AH，如解图，四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，ABC是等边三角形，ABBC，AHBC， 第7题解图在RtABH中，AH 2AB2BH 2，AHBC， OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF，EFBC；由得AHBC，AHEF，BCEF，EFBC；(2)解：EFBC仍然成立，EFBC；【解法提示】如解图，连接AH，四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF，ABC是等腰直角三角形，AHBC，AHBHBC，OAAE，OHHF， 第7题解图AH是OEF的中位线，AHEF，AHEF， EFBC，EF2AHBC. (3)解：EF BC.【解法提示】如解图，连接AH，四边形OBFC是平行四边形，BHHCBC，OHHF， 第7题解图ABC是等腰三角形，ABkBC，AHBC，在RtABH中，AH2AB2BH 2(kBC)2(BC)2(k 2)BC2，AH BC，OAAE，OHHF，AH是OEF的中位线，AH EF，AHEF，EFBC， BCEF，EF BC.类型三图形面积问题 1. 解：(1)根据题意得，BM2t，BNBCt，而BC5tan605.当BMBN时，2t5t，解得t1015；t的值为(1015)s；(2)分类讨论：当BMNACB90时，MBNCBA，cosBcos30，解得t.当BNMACB90时，MBNABC，cosBcos30，解得t.因此当t是 s或 s时，MBN与ABC相似；(3)ABC的面积是定值，当四边形ACNM的面积最小时，MBN的面积最大，BM边上的高为BNsinB，SMBNBMBNsinB2t(5t)t2t(t)2，a0，当t时，MBN的面积最大，最大值为，因此四边形ACNM面积的最小值为55cm2.2. 解：(1)四边形ABCD是矩形，ABC90，由勾股定理得AC10(cm)；(2)由题意可得0t8，对t进行如下分类讨论：当0t5时，点A、C、N三点共线，此时点A、C、M、N无法构成四边形，因此舍去；当5t6时，点M在BC边上，点N在CD边上，点A、C、M、N为顶点的四边形不可能是平行四边形，因此舍去；当65时，S与t的函数关系式分为两种情况：如解图，当5t6时，点M在BC边上，点N在CD边上，SCMN3t 225t50；如解图，当6t8时，点M在AB边上，点N在CD边上，SCMN8t40.综上，S. 3. 解：(1)在矩形OABC中，OA4，OC3，B点的坐标为(4，3)如解图，延长NP，交OA于点G，则PGAB，OGCNx.PGAB，OPGOBA，即，解得PG x，点P的坐标为(x，x)；(2)在OMP中，OM4x，OM边上的高为 x， 第3题解图S(4x)xx2x，S与x之间的函数表达式为Sx2x.配方，得S(x2)2(0x4)，当x2时，S有最大值，最大值为；(3)存在某一时刻，使OMP是等腰三角形理由如下：如解图，若POPM，则OGGMCNx，即3x4，解得x，M(，0)； 第3题解图 第3题解图 第3题解图 如解图，若OPOM，则OPx，即 x4x，解得x，M ( ，0)；如解图，若OMPM时，PGx，GMOGOMx(4x)2x4，PM 2PG 2GM 2(x)2(2x4)2，OM4x，(4x)2(x)2(42x)2，解得x，M(，0)综上，M的坐标为(，0)或(，0)或(，0)，且x的值分别为，.4. 解：(1)四边形APQD是平行四边形；【解法提示】在正方形ABCD中，ADBC，ADBC，根据平移的性质可得PQBC，PQAD，PQAD，四边形APQD是平行四边形(2)OP与OA的数量关系和位置关系分别为OAOP，OAOP.证明：当PQ向右移动时，由题意得，OBC45，OQBD，故BOQ为等腰直角三角形，则BOOQ，OQB45，在ABO和PQO中，ABOPQO，OAOP，AOBPOQ，AOPAOBBOPPOQBOP90，OAOP，且OAOP；当PQ向左移动时，由