《大学物理学》习题解答第11章静电场.pdfVIP

1 第第 11 章章 静电场静电场 【11-1】有两个相距为 2a，电荷均为+q 的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上悬挂另一个点电荷 q， q 与连线相距为 b。试求： （1）q所受的电场力； （2）q放在哪一 位置处，所受的电场力最大？ 解解 （1）如图 jiF 2222 22 0 1 )(4 1 ba b ba a ba qq jiF 2222 22 0 2 )(4 1 ba b ba a ba qq q 所受的合力为 jFFF 2322 0 21 )(2ba qbq 如果电荷 q与q同号，F 方向与y轴同向；如果 q与q异号，F 方向与 y 轴反向。 （2）令0 d d b F ，即 2 22 3 222 5 2 0 d13 0 d2()() Fqqb babab 可得 2 a b 由于 222 2227 2 0 2 d3 (23) 0 d2()a b Fqqbba bab ，所以，当 2 a b 时， q 所受的电场力最大。 11-2 如图所示，质量为 m 的两小球带等量同号电量 q，现用长为l的细线悬挂于空间同点。 （1）试证明： 当很小且两球平衡时，则有 31 0 2 2 mg lq x ，式中x为两球间的距离。 （2） 试求：当120l cm，150mg，5x cm时，q的值？（3）如果每个球都 以 91 1.0 10C s 的变化率失去电荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率（即 d d x t ）是多少？ 解解 （1）如图所示，小球平衡时， FTsin , mgTcos, 2 0 2 4x q F 则 2 0 2 4 tan x q mg ，很小时， tansin 2 x l ，因此 31 0 2 2 mg lq x （2）由上式解出 3 0 2 x qmg l q q a a F F1 F2 q b x q q l F mg T 2 以1.2l m，0.15mkg，0.05x m代入上式得 3 128 0.05 2 3.14 8.85 100.15 9.829.23 10 1.2 q C (3) 3 2 2 00 941 8 2 233 20.05 ( 1.0 10 )3.61 10m s 3 9.23 10 dxdx dqq lqldqx dq v dtdq dtmgmg dtq dt 负号表示x减小，即两球彼此趋近。 【11.3】两个点电荷所带电荷之和为 Q，问它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大？ 解解 两点电荷之间的库仑力 2 0 1() 4 Qq q F r 由极值条件0 d d q F ，得 1 2 qQ 因0 2 1 d d 2 0 2 2 rq F ，这表明两电荷平分电荷Q时，相互作用力最大。 【11.4】若电荷 Q 均匀地分布在长为 L 的细棒上。求证： （1）在棒的延长线，且离棒中心为 r 处的电场强度大小为 22 0 1 4 Q E rL （2）在棒的垂直平分线上，离棒为 r 处的电场强度大小为 22 04 2 1 Lr Q r E 若棒为无限长（即L ） ，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。 证证 （1）延长线上一点P，取x L Q qdd，则 2 222 2 000 1111 4()4224 L P L QdxQQ E L rxL rLrLrL （2）若点 P 在棒的垂直平分线上，因对称性， E 沿 x 轴方向的分量叠加为零，因此， E 的方向沿 y 轴， 大小为 2 0 sin 4 L dq E r 由于sinr r， 22 rrx ，则 2 22 3 2 222 00 1d1 4()2 4 L L rQ xQ E L xrr Lr 当L 时，若棒单位长度所带电荷为常量，则 22 00 1 lim 22 14 L Q L E rr rL x dE dE y dx 3 【11.5】一半径为 R 的半圆细环上均匀的分布电荷 Q，求环心处的电场强度。 解解取坐标Oxy，电荷元dddRlq，由点电荷场强公式 2 0 4 R dq dEe R 由于电荷对称分布，场强也对称，则：0 xx EdE 0 0 dd sinsin 4 yy EEEd R 22 0 2 Q R 负号表示 E 方向沿 y 轴负方向。 【11.6】 一半径为 R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 解解 将半球壳分割为一组平行细圆环，取任一个微元圆环，所带电荷 2 dd2sin dqSR 在点O激发的电场强度为 iE 23 22 0 4 d d rx qx 由于cosxR，sinrR，则 22 2 22 3 23 00 00 2 0 00 11cos 2sin 4()4 sincos 24 xdqR EdERd xrR d 【11.7】半径为R的带电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线性变化，为 0(1 ) r R 。试求在圆盘轴 线上距圆盘中心O为x处的场强E。 解解 把圆盘分为许多同轴圆环带，取一与原点相距为r，带宽为dr的圆环带，其上带电量为 dd2dqsr r ，利用均匀带电圆环轴线上的场强公式，有 0 22 3 222 3 222 3 2 000 (1/)22 4()4()4() Px r Rrdrxdqxrdr x dE rxrxrx 对于整个带电圆盘来说，有 22 00 22 3 2 0 00 (1/) d d1ln 2()2 R PPxPx xr R r rxRRx EEE rxRx 【11.8】有一无限长带电直线，电荷线密度为 1 ，另有一长为l的均匀带电 细棒，电荷线密度为 2 。棒与直线在同一平面内，且棒垂直于直线，如图 所示。棒的一端与直线距离为d，求它们的相互作用力。 【解】【解】无限长带电直线产生的场强为 1 0 2 E r l d 习题 118 图 1 2 dE x y dl d x R d dS 4 在距长直带电线为r处取电荷元 2 ddqr，则 1 2 0 ddd 2 FE qr r 整个带电细棒所受的电场力为 1212 00 d ddln() 22 d l d rdl FFE q rd 【11-9】两条无限长平行直导线相距为 0 r，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。试求： （1）两导线 构成的平面上任一点的电场强度（设该点 p 到其中一线的垂直距离为x） ； （2）每一根导线上单位长度受到另一根导线上电荷作用的电场力。 【解】【解】 （1）E+ 、E分别表示正，负带电导线在 P 点的电场强度，则有 0 0000 11 22() r EEEii xrxx rx （2）设 F+ 、F分别表示正，负带电导线单位长度所受的电场力，则有 2 0 0 2 FEi r ； 2 0 0 2 FEi r 显然有 F+ = F，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 【11.10】设匀强电场的电场强度 E 与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度 通量。 【解】【解】垂直 E 方向作半径为R的平面S，根据电场线的性质，穿过平面S的电场强度通量在数值上等于 穿出半球面S的电场强度通量。因而 22 cosddRERE SS SESE 【11.11】边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy，yz和zx平 面 ， 立 方 体 的 一 个 顶 点 为 坐 标 原 点 。 现 将 立 方 体 置 于 电 场 强 度 12 ()EkxEEij的非均匀电场中， 求立方体各表面及整个立方体表面的 电场强度通量。 【11.11 解】解】如题图所 0 OABCDEFG 2 221 d)(daESEkxE SS ABGF jjiSE 2 2CDEOABGF E a 2 121 )d()(daESEE SS AOEF ijiSE 2 121 )(d)(dakxESEkxE SS BCDG ijiSE 因此，整个立方体表面的电场强度通量 3 ka 【11.12】设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 kr， （0rR） ； 0， （rR） k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。 习题 1111 图 x O y z A B C D E F 5 【11.12 解】解】球体内 (0)rR， 224 0 00 1 ( )44d r k E rrkrrrr ， r kr reE 0 2 4 )( 球体外 ()rR， 224 0 00 1 ( ) 44d R k E rrkrrrR ， r r kR reE 2 0 2 4 )( 【11.13】一球壳体的内半径为 1 R，外半径为 2 R，壳体内均匀地分布着电荷体密度为的电荷。求离球心 为 r 处的 E ，并画出Er曲线。 【11.13 解】解】由高斯定理，球壳内 1 rR，该高斯面内无电荷0q ，故 0 1 E 球壳间 12 ()RrR，高斯面内电荷 33 1 4 () 3 qrR ，故 r r Rr eE 2 0 2 1 3 2 3 )( 球壳外 2 ()rR，高斯面内电荷 33 21 4 () 3 qRR ，故 r r RR eE 2 0 2 1 3 2 3 3 )( 【11.14】一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的圆孔。求圆孔中心轴线 上与平板相距为x的一点P的电场强度。 解解 用补偿法求解，把小圆孔看作有等量的正，负电荷重叠而成。 在带电平面附近 n eE 0 1 2 ， n e为沿平面外法线的单位矢量； 圆盘激发的电场 n rx x eE) ) 1 ( 2 22 0 2 合电场为 n rx x eEEE ) 2 22 0 21 在圆孔中心处0x，则 0E 在距离圆孔较远时 xr ，则 nn xrx eeE 0 222 0 2 1 2 【11.15】 如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔， 若将带电体球心O指向球形空腔球心O的矢量用 a 表示。试证明球形空腔中任一 点的电场强度为 aE 0 3 证证 用补偿法求解。挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的，电 荷体密度为的均匀带电球和一个电荷体密度为， 球心在 O 的带电小球 （半径 等于空腔球体的半径） 。利用带电球体内部一点的电场强度公式 rE 0 3 习题 11.15 图 O O a p x r 6 大球在空腔内任一P点的电场 1 0 1 3 rE ；小球在空腔内任一P点的电场 2 0 2 3 rE ；则P点的电 场强度 )( 3 21 0 21 rrEEE 根据几何关系arr 21 ，上式可改写为 aE 0 3 【11.16】半径为R的无限长圆柱，柱内电荷体密度 2 arbr，r为某点到圆柱轴 线的距离，,a b为常量。试求带电圆柱内外电场分布。 【11.16 解】解】作长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面S。 当rR时，高斯面S内 2 0 ( ) d()2d r V S qVarbrrl r 34 2() 34 ab lrr 由高斯定理可得： 23 0 43 12 arbr E ， （rR） 当rR时， 2 0 ( ) d()2d R V S qVarbrrl r 34 2() 34 ab lRR 由高斯定理可得 34 0 43 12 aRbR E r ， （ rR） 【11.17】一个内外半径分别为 1 R和 2 R的均匀带电球壳，总电荷为 1 Q，球壳外同心罩一个半径为 3 R的均 匀带电球面，球面带电荷为 2 Q。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。 【11.17 解解 】 1 rR，该高斯面内无电荷，0q ，故 1 0E 12 RrR，高斯面内 33 11 33 21 () () Q rR q RR ，由高斯定理得 33 11 2 233 021 ()1 4() Q rR E rRR 23 RrR，高斯面内电荷为 1 Q，由高斯定理得 1 3 2 0 4 Q E r 3 rR，高斯面内电荷为 12 QQ，由高斯定理得 12 4 2 0 4 QQ E r 在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴 3 rR的带电球面两侧， 电场强度的跃变量 2 43 2 030 4 Q EEE R a r1 r2 7 【11.18】两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为 1 R和 2 R（ 21 RR） ，单位长度上的电 荷为。求离轴线为r处的电场强度： （1）rR， （2） 12 RrR， （3） 2 rR。 【11.18 解】解】取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理，得 1 rR， 0q ， 1 0E 12 RrR， qL ， 2 0 1 2ErLL ， 2 0 2 E r 2 rR， ()0qL ， 3 0E 在带电面附近，电场强度大小不连续， 21 000 22 L EEE rrL 【11.19】如图所示，有三个点电荷 1 Q、 2 Q、 3 Q沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均 为零，且 13 QQQ。试求在固定 1 Q和 3 Q的情况下，将 2 Q从点O移到无穷远处外力所做的功。 【11.19 解】解】由题意 1 Q所受的合力为零 32 11 22 00 0 44(2 ) QQ QQ dd 可得 ： 23 11 44 QQQ 由电势的叠加得 13 ,Q Q在点O的电势 31 0 000 442 QQQ V ddd 将 2 Q从点O推到无穷远处的过程中，外力做功 2 20 0 8 Q AQ V d 【11.20】半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，分别以柱面及轴线为电势零点，求 电势的分布。 【11.20 解解】由高斯定理得， 当rR时， 0 ( ) 2 r E r ；当rR时， 2 0 ( ) 2 R E r r （1） 取棒表面为零点时，空间电势的分布有 当rR时 22 00 ( )d() 24 R r r V rrRr 当rR时 22 00 ( )dln 22 R r RRR V rr rr （2）取轴线处电势为零，由电势的定义可得 Q1 Q2 Q3 d d O 习题 1119 图 8 当rR时 2 0 00 ( )d 24 r rr V rr 当rR时 222 0 0000 ( )ddln 2224 R rR RrRRR V rrr rr 【11.21】如图所示，有一薄金属环，其内外半径分别为 1 R和 2 R， 圆环均匀带电，电荷面密度(0) 。 （1）计算通过环心垂直于 环面的轴线上一点的电势； （2）若有一质子沿轴线从无限远处射向 带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为多 少？ 【11.21 解】解】 （1）取半径为r，宽度为dr的带电细圆环， dd2dqSr r dq 在轴线上产生的电势为 22 1 222 1 2 00 dd 4()2() qr r dV xrrx 薄金属环的电势 2 1 2222 21 22 1 2 00 d 2()2 R R r r VRxRx rx （2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心,其动能应满足0 k E，即 2 00 1 mv -e(V -V)0 2 则： 021 0 () e vRR m 【11.22】两个同心球面的半径分别为 1 R和 2 R，各自带有电荷 1 Q和 2 Q。求： （1）各区域电势分布，并画 出分布曲线； （2）两球面间的电势差为多少？ 【11.22 解解 1】 （1）由高斯定理可求得电场分布 0 1 E ， （ 1 rR） ； r r Q eE 2 0 1 2 4 ， （ 12 RrR） ； r r QQ eE 2 0 21 3 4 ， （ 2 rR） ； 各区域的电势分布：当 1 rR时，有 12 12 11212 1123 012020102 11 0 4444 RR rRR QQQQQ VE dlEdlEdl RRRRR 当 12 RrR时，有 2 2 11212 223 0202002 11 4444 R rR QQQQQ VEdlEdl rRRrR 习题 1121 图 x O v p R1 R2 9 当 2 rR时，有 12 33 0 4 r QQ VEdl r （2）两个球面间的电势差 210 1 212 11 4 d 2 1RR Q U R R lE 【11.22 解解 2】 （1）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，即 1 rR，则 12 1 0102 44 QQ V RR 若该点位于两个球面之间，即 12 RrR，则 12 2 002 44 QQ V rR 若该点位于两个球面之外，即 2 rR，则 12 3 0 4 QQ V r （2）两个球面间的电势差 2 11 1212 0102 44 r R QQ UVV RR 【11.23】 电荷q均匀分布在长为2L的细直线上，试求： （1）中垂线离带电直线中心O为x处的电势和场 强； （2）带电直线延长线上离中心O为y处的电势和场强； （3）离带电直线端点处为x的场点的电势和场 强的x分量。 【11.23 解解】（1） 取直角坐标系， 取带电直线中心为坐标原点O， 在带电直线上取电荷元ddd 2 q qyy L ， 在P点产生的电势为 22 0 d d 4 P q V xy 整个带电系统在P点产生的电势为 2222 00 d d 2 d 44 L PP qL q y q L VV xyxy 22 0 ln 4 qLLx Lx 则该点的场强为 22 0 4 x Vq E x x Lx ；0 y E 所以，P点的场强为 iiE 22 0 4xLx q Ex （2）带电直线延长线的电势，设P点位于yL处，同样取电荷元 dq，则有 00 dd 442 y Ly L P y Ly L qqy V yLy 0 ln 8 qyL LyL 10 则相应的场强大小为 0 x V E x ； 22 0 4() y Vq E yyL 同理，在yL 处的电势为 00 dd 48 y Ly L P y Ly L qqy V yy 0 ln 8 qyL LyL 场强为： 0 x E； 22 0 4() y Vq E yyL （3）坐标原点O处于带电直线的端点处。则P点电势为 22 222 222222000 00 00 d dd24 2 ln() 88 44 LLL P q y qqyqLLx L V LLx xyxyxy 相应的P点场强的x分量为 2222 0 1 8 (24)4 x Vqx E xL x LLxLx 22 0 1 4 4 q x Lx 【11.24】半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的直线上一点P 到盘心的距离为L。试求： （1）P点的电势； （2）P点的场强。 【11.24 解】解】 （1）如图所示，取坐标OX轴过盘心垂直于盘面，原点O位于盘心处。在圆盘上取一距原 心为r，宽度为rd的圆环带 dS，rrSd2d为圆环带的面积，其上带电量为 2 dd2d Q qSr r R 。 dq在P点产生的电势为 222222 00 d2d d 44 qQr r V LrRLr 所以，整个带电圆盘在P点产生的电势为 2220 0 d d 2 R Q Qr r VV RLr 22 2 0 () 2 Q RLL R （2）X轴上电势与坐标的函数关系为 22 2 0 ( )() 2 Q V xRxx R 场强 2 22 0 d12 ( )(1) d22 VQx E x xR Rx 2 22 0 (1) 2 Qx R Rx 则P点场