《相似图形》复习要点.docVIP

相似图形复习要点福建周奕生图形的相似是几何的重要内容之一，同平移、翻折、旋转这些全等变换一样，相似也是一种变换，主要研究图形的形状关系性质对应角相等，对应边成比例两角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例位似成比例的线段比例的性质图形相似三角形相似应用黄金分割判定一、知识结构二、复习目标认识物体和图形的相似，了解相似图形的概念；了解线段的比、成比例的线段概念和黄金分割；能够判定两个三角形相似，并能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；了解位似图形的概念，能用位似变换将一个图形进行放缩；能够利用直角坐标系来描述图形的位置三、知识要点本章的重点是相似三角形的性质和三角形相似的判定；运用图形相似的性质解决简单的实际问题是本章的难点，也是重点之一主要知识点是：线段比：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做线段比这里要特别注意两条线段的长度单位要统一比如：线段ABc，CD，那么应先把线段AB与CD的长度单位化为统一，如果以c为单位，则，如果以为单位，则可见，线段比与所采用的度量单位无关比例尺：在地图或图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的比叫做比例尺，通常写成的形式这里也要注意图上距离与实际距离的长度单位也是要统一的事实上，比例尺是特殊的线段比比例线段：如果四条线段，其中两条的比等于另外两条的比，那么称这四条线段成比例线段，简称比例线段可见比例线段是线段之间的一种数量关系例如：已知线段A，B，C，D，由，可得，从而可知A，B，C，D是比例线段；另一方面，如果从，也可知这四条线段成比例这里也特别注意：如果A、B、C、D成比例，那么比例式是，不能随意更改比例式；比例的性质：（）基本性质：如果，那么ADBC；反过来，如果ADBC（A，B，C，D都不等于），那么可见比例式与等积式可以相互转化（）合比性质：如果，那么此性质可以记作：在一个比例式中，比的分子分别加上或减去各自比的分母，所得比例式仍然成立（）等比性质：如果（BD），那么这里要特别注意BD这个条件（）黄金分割：如果点C把线段AB分成AC和BC，且（或ABBC），那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比值为（约等于0.618）叫做黄金比注意：一条线段有两个黄金点；相似的图形：形状相同，大小不一定相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形；相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，其中对应边的比叫做相似比全等多边形就是相似比为的相似多边形； 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例注意：各角对应相等的多边形不一定相似，比如两个矩形，它们的四个角对应相等，但不一定相似；相似三角形：相似多边形中最简单的特例相似三角形的判定：（）两角对应相等的两个三角形相似；（）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；（）三边对应成比例的两个三角形相似；注意：三角相似的判定与三角形全等的判定十分类似相似三角形的性质：若两个三角形相似，则（）对应角相等，对应边成比例；（）对应高、中线和角平分线的比都等于相似比；（）周长的比等于相似比；（）面积的比等于相似比的平方；注意：运用相似三角形可以解决许多实际问题位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似，该交点叫做位似中心可见，位似是特殊的相似，其相似比又叫做位似比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比利用位似变换可以轻易地将图形放大或缩小四、典例剖析例如图，CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，则图中共有几个三角形？这些三角形相似吗？为什么？你能从中得出什么结论？分析：要判定三角形是否相似，先从最简单的“两角对应相等”入手，寻找是否存在两个角对应相等？在ABC与ACD中，显然有ACBADC，A为公共角，故ABCACD；同理，ABCCBD，因此，图中三个三角形都相似由此可得这样的结论：直角三角形斜边上高分三角形所得两个直角三角形与原三角形都相似例已知ABC，求的值分析：先求出ABC的值，再运用参数法，用表示A、B、C已知的等式三边同时除以、的最小公倍数，得，设A，B，C，则例已知点C是线段AB上一点，AC，BC，试判断点C是不是线段AB的黄金点？为什么？分析：欲知点C是不是AB的黄金点，只须判断AC或BC与AB的比值是不是等于黄金比？因此，应先求出AB的长因为ABACBC，所以，故点C是AB的黄金点例已知矩形OABC顶点的坐标分别为O（，），A（，），B（，），C（，），现把各点的坐标乘以，得到矩形OD，求证：矩形OABC矩形OD分析：欲证矩形OABC矩形OD，只须证明四个角对应相等，四条边对应成比例由于ABC与OD都是矩形，所以四个角都是直角，从而对应角相等已满足由已知，点D，的坐标分别是D（，），（，），（，），故有，因此，矩形OABC矩形OD例如图是学校的旗杆，小明带着一条卷尺和一面镜子，他想借助这两样工具测量旗杆的高，请你为他设计测量的方法分析：由于旗杆的顶端不能到达，故可利用相似形对应边成比例来进行测量首先把镜子放在一个与旗杆底部有一定距离，且在同一水平线上的点C的位置；然后量一下旗杆底部B到C的距离BC的长，记为A米；接下来沿着BC这条射线从镜子C往后退，退到点，使站在点处恰好能够从镜子里看到旗杆的顶端A；然后量一下点到C的距离，记为B米；最后再量一下眼部D到地面上的高D的长，记为C米图此时在ABC和DC中，它们除了都有一个直角B外，根据光的反射原理，入射角等于反射角，又可知DCACB，从而ABCDC；接下来根据相似三角形对应边成比例，得，即，解得AB（米）例一块直角三角形余料，直角边BCc，ACc，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长分析：最大限度利用余料，说明加工出来的正方形的顶点应全部都在三角形的边上，其中有两个顶点在同一边上，此时的这两个顶点出现了两种情况：在直角边上和在斜边上，究竟在什么边上的面积最大？应加