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概率论论文点球大战中的概率班级 学号 摘要：实际罚点球时，由于守门员站位、反应时间、扑救距离以及罚球者的习惯（左右脚）、射门力度等因素的影响，不同的射门方向和力度影响甚大，如中路进球概率低于两侧，习惯右脚射门的人射左路的可能性大等，可以此为参照选择合适的射门方式或扑球策略。关键词：点球；射门；扑救；概率博弈；数学建模；控制区；多项式拟合；正态分布；旋转球；空气动力学；最优化引言：眼下，欧洲杯正如火如荼的进行，引来全世界球迷的瞩目，而点球大战是足球比赛中最惊心动魄的镜头之一。在足球比赛中，罚点球是对犯规队员的一种严重判罚和对被罚队最有威胁的判罚，同时是也攻方最容易得分的机会。另外，根据国际、国内足球运动现行竞赛规程的规定，在比赛规定的时间结束仍然踢成平局后，用踢点球来决定胜负。这样，踢点球的成败往往就成为一个队胜负的关键。而在最近的两场欧洲杯淘汰赛中，都是依靠点球决定胜负，罚点球真的只是靠直觉和运气吗？本文就将从概率和建模的角度对点球大战进行一些分析。正文：1 选择射门方向根据实际比赛中的统计，可假设：射门中路，守门员往左右扑救成功概率为0.6射门两侧，射门员扑向同侧时扑就成功概率为0.9，扑向异侧时成功概率为0.4用博弈论中的表格表示法为：射门者 守门员左右左0.40.9中0.60.6右0.9 0.4射门射中的概率 假设球员射门时随机选择方向，则射中期望 E（左）= E（右）=0.4*0.5+0.9*0.5=0.65 E（中）= 0.6 故不应选择射门向中路，据统计，在实际比赛中，选择射中路被扑出得到概率要远大于射向两侧此时将情况进一步增多首先假设不存在射飞或射高的情况。在扑对方向的前提下守门员也不会失误或脱手，不考虑补射的情况(点球大战中根本不存在)。就是说球只有两种状态：射进或被扑出。球员射门有6个方向：中下，中上，左下，右下，左上，右上如果球员射门的方向是随机选择的(类似于AI)，那么球射向这6个方向的概率均为1/6。而作为守门员，扑球有5种选择：不动，左下，右下，左上，右上动可扑出中下和中上2个方向的点球左下可扑出左下和中下下可扑出右下和中下左上可扑出左上右上可扑出右上其中3种选择可扑出2个方向的来球，换言之，这3种选择的效率是其他两种选择的2倍。所以作为一个守门员，面对一个没有经验的对手，扑球应该多选择。那么如何作一个有经验的PKer呢？如果你面对的是一个菜鸟级的守门员，那么应该清楚他的扑球方向是大致随机的，即随机选择。那么从下图可知6个射门方向被堵住的可能性是1/51/51/51/53/51/5所以这种情况下我们要少打中下，其他的四个方向可以任意选择。但如果守门员并不是菜鸟，而是一只经验丰富的老鸟，他清楚的效益是的2倍，他必然会有意识的多扑。而且至少在概率是的2倍。(否则就不能体现这个效益)就是说8次扑救中各2次，各1次。那么6个射门方向被堵住的概率就变成了1/81/41/81/43/41/4现在不仅不能射中下，而且还要有意识的多打两个上角，因为进球的概率是7/8。2. 从反应时间、防守面积，球受力等方面建立罚点球模型2.1模型假设1. 不考虑心理及其他人为因素的影响。 2. 守门员和罚球员严格遵守比赛规则，并且没有其他球员的干预。 3. 当从守门员角度建立模型时，假设其身高为180cm；从罚球员角度建立模型时，假设守门员身高为197cm。 4. 为计算简便，将不同身高的守门员起跳时加速距离和起跳速度看作是相同的。 5. 在做鱼跃动作时，守门员飞行过程中其身体中轴线与地面的夹角是均匀变化的。 6. 守门员臂展长与身高相等。 7. 在球被踢出前，守门员站在两球门柱的正中间。 8. 球被踢出后在空中的最长飞行时间是0.6s。 9. 球在空中飞行的过程中，竖直方向空气阻力忽略不计。 2.2 影响罚球员射门成功率的因素主要考虑：1.球速的大小。2.球在空中的运行路线。3.球从球门的哪个区域射入。其中第3个因素的影响几乎可以说是决定性的。扑球时机的把握 要想把球扑住，守门员须在球运动到球门附近时到达预计球入网的区域。虽然中速、慢速球要在0.4至0.6秒甚至更多的时间才能到达球门，但由于球速越快对罚球员就越有利（详见5.2.1.3），绝大多数罚球员会尽量提高球速。 2.3 扑救动作时间与球飞行时间的比较如图3所示，最快速的球穿过OA距离的时间为t1min=OAv1=1136=0.305s （1） 考虑到大多数球入网时距地面也有一段距离，并且如果射出的是斜球，以打在球门框上的极端情况为例，有 AB= OA2+OB2+h2= 112+3.662+2.442=11.85m （2） t2min=ABv2=11.8536=0.329s （3） 众所周知，人类目前的百米赛跑记录为9秒58，这个数据可以代表人体移动的最快速度，足球运动员是达不到专业短跑运动员这个速度的，他们大多在11秒左右的水平，我们姑且用这个数据计算一下守门员从球门中轴线移动到门柱处所需的最短时间 v3=st=10011=9.09m/s （4） t3min=OBv3=3.669.09=0.402s （5） 可以看出，守门员用最快速度扑到球门柱附近的时间明显大于球飞行的时间。因此，守门员必须罚球员支撑脚踏位时开始反应，并且在罚球员脚触球之前就做出动作。2.4中间区域的防守 防守中间区域的进球，有站在原地拦截和原地跳起拦截两种方式，下面将对这两种动作进行比较。由于我们建立的模型要对绝大多数守门员都适用，而守门员的身高各不相同，如果是身高较低的守门员按照此模型可以扑到的球，那么身高较高的守门员一定也可以扑到。因此在计算过程中假设守门员的身高为优秀足球门将中身高的较小值180cm。 要想计算守门员能够对球进行拦截的区域（以下简称为“控制区”），则必须对人体形态学构造进行分析。人在自然站立时，人体重心的位置大约在人体第三骶骨椎上缘前方 7cm处，如果简化为从正前方观察的平面图，则可认为是在肚脐处，关于人的肚脐位置有黄金分割公式 k=头顶到肚脐的距离肚脐到脚底的距离=1:1.618 （6） 已经假设守门员身高为180cm，则其重心距地面高度 hG=h1.6181+1.618=1801.6181+1.618=111.25cm （7） 守门员的“控制区”主要指其手及手臂可以触及到的地方，可近似认为是以双肩连线的中点为圆心，以双臂展开长度为直径的一个圆（图6）。人的双臂展开长度几乎等于其身高，下面确定圆心的位置：仍参照图5，可以看出人体从下巴到肩的距离为头部长度的1/3，而整个身体正好是8个头的长度，由此可知“控制区”圆心位置距地面的高度 ho=h81138=18081138=150.00cm （8） 而 h=hohG=150.00111.25=38.75cm （9） 守门员防守区域示意图 守门员站在原地时，也可以降低重心防守低位球，因此其“控制区”如图7蓝色阴影区域所示。 守门员在原地防守的控制区 面积： S1=12r2+hho=123.1415926 121.8 2+1.81.5=3.97m2 （10） 如果使用跪撑式接地滚球或原地扑接地滚球动作，因为守门员重心降落的加速度不可能大于重力加速度，由式子 hG12h=12gt12 （11） 可得将重心降落到可使手触地所需要的最小时间 t1= 2hGhg= 21.11251.89.8=0.208s （12） 职业运动员可以跳到1米以上的高度。以1米为例，由公式 v02=2ghj （13） hj=12gt2 （14） 可算出其起跳速度 v0= 2ghj= 29.81=4.43m/s （15） 到达最高点时间 11 t= 2hjg= 219.8=0.452s （16） 守门员原地跳起时，由于其双臂不能兼顾到下面区域，“控制区”如图8所示为蓝色阴影区域减去球门上沿以上的部分。 守门员原地跳起防守的控制区 面积： S2=12r2+ Hho h=12 121.8 2+ 2.441.5 1.8=2.96m2 （17） 由于当其两肩连线中点到达球门上沿即可完全发挥此动作的防守作用，计算运动到此点的时间 Hho=v0t12gt22 （18） t2=v0+ v022g Hh0 g=4.43+ 4.43229.8 2.441.5 9.8=0.340s （19） 比较S1与S2，t1与t2，可以看出不跳起时“控制区”范围较大，并且比跳起时节省很多时间。综合来看，当球在球门的中间区域进入（偏离球门中轴线的距离在守门员单臂展长度以内）时，守门员不跳起而是站在原地防守比较有利，可采用的原地拦截技术动作有以下几类3： （1）直腿式接地滚球。直线地滚球射门时，守门员并拢双腿，双手呈勺形接球，将球牢固地抱入怀中。 （2）跪撑式接地滚球。守门员向侧面移步接球时，将重心移动到弯曲的支撑腿上，另一腿弯曲跪地。 （3）原地扑接地滚球。扑接左侧地滚球时，右脚用力蹬地，身体向左侧顺势倒下，左侧的脚、小腿、大腿、躯干和手臂依次着地，左手在后，右手在球的侧后上方。扑接右侧地滚球时则同理反向。 （4）接平直球。接胸部以下的空中球时，两手掌心向前，手指向下张开，将球抱于胸前。 （5）接高空球。两臂上伸引球，两手拇指相靠，将球收抱于胸前。 5.1.3.2两侧区域的防守 防守两侧区域的平直球与高空球，需要比较左右移动和鱼跃两种动作。先假设时间足够，左右移动时的“控制区”面积为分别以球门长度和守门员将手举起的最大高度为长和宽的矩形面积：S3=L ho+12h =7.32 1.5+121.8 =17.568m2 （20） 下面计算鱼跃动作控制区的面积。人在准备起跳时，如果要跳得高，需要依个人身体情况抬起脚后跟离地面10cm至20cm，浅蹲20cm至30cm，本文中我们取平均加速距离sa=40cm。由前文结论，守门员起跳速度v0=4.43m/s。 由 v02=2 ag sa （21） v0= ag t （22） 可得加速度 a=v022sa+g=4.43220.4+9.8=34.33m/s2 （23） 加速时间 t=v0ag=4.4334.339.8=0.181s （24） 守门员斜着起跳时，存在一个最佳初始角度（自身加速度与地面的夹角），如图9所示，其中是实际加速度与地面的夹角，ma是ma与mg的合力，即实际加速度a是守门员自身加速度a与重力加速度g同时作用的结果。鱼跃起跳的受力分析根据几何关系，有 tan=asingacos （25） 由牛顿第二定律，可知在两坐标轴方向上的速度分量 vx=acostvy= asing t （26） 从而得出两坐标轴方向上的位移分量 x=vxtSy=y0+vytS12gtS2 （27） 二者合并，消去tS 13 y=y0+vyxvx12g xvx 2 （28） 令y=0，则 x=vxvyvx vy2+2gy0g （29） 将靠近零点的值舍去，得 xt=vxvy+vx vy2+2gy0g （30） xt即为守门员落地时的位置。守门员重心划过的弧线下的面积为重心高度对从x=0到x=xt的积分 S= y0+vyxvx12g xvx 2 xt0dx=y0xt+12vyxt2vx16gxt3vx2 （31） 将式（26）（27）（30）代入，得 原式=y0vxvy+vx vy2+2gy0g+12vy vxvy+vx vy2+2gy0g 2vx16g vxvy+vx vy2+2gy0g 3vx2=y0acost2 asing +acost asing t2+2gy0g+12 asing acost2 asing +acost asing t2+2gy0g 2acos16g acost2 asing +acost asing t2+2gy0g 3 acost 2 （32） 此式中除外其他量都是已知的，其中y0=hG=1.1125m，a=34.33m/s，t=0.181s， g=9.8m/s2，S与的关系如图所示当S取最大值13.34m2时 vx=3.34m/svy=3.47m/s （33） =1.004rad=1.004180o=57.52o （34） 在y轴上，从起跳到落地的过程可用式（35）表示 hG+vytS12gtS2=0 （35） 由此可得跳起后在空中飞行的时间 tS=vy+ vy2+2ghGg=3.47+ 3.472+29.81.11259.8=0.948s 可画出重心划过的弧线如图所示2.5确定最佳落点 由于每个守门员的跳跃高度不同，移动速度也不同，我们选择图23中由于守门员体能限制而产生的“死角区”和时间限制产生的“死角区”重合区域作为寻找最佳落点的区域。 在实际中，足球并不是按照罚球员的意愿，精确地在其想要将球踢向的方位入网，其落点位置与概率的关系服从一种二维正态分布 f1 x =122e x1 2+ y2 222，+，+ （55） 当期望1=2=0，方差=1时，其图像如图所示：因而实际足球能否入网的概率密度函数是一个二维正态分布函数f1 x 与函数g x,y 相乘的结果。在此问题中，罚球员想要将球踢向的方位即为足球落点的期望，准确程度用方差表示，理想的期望值应该能使概率密度函数的在xoy面的积分值达到最大，即给定时要找到使 h x,y = f1 x g x,y （56） 达到最大值的值。如图27所示，弧JK为“控制区”边界，直线JO，OK表示球门边界，即JOK所围区域为“死角区”。若想以最大的概率将球射入此区域，球入网位置的期望值应该在不规则形状JOK最大内切圆的圆心上。设弧线JK与内切圆的切点为D x0,y0 ，切线为AB，我们可以由弧线JK的方程算出圆P半径，从而得到点P的位置。2.6小结 综上所述，守门员扑救点球时要根据罚球员支撑脚踏位情况事先预测球飞来的方向，并在球被踢出的瞬间开始扑救动作。若球从正前方飞来，则原地扑救，并将身体适当向前移动；若球从左侧或右侧飞来，则进行鱼跃扑救，并注意时刻根据球的高度和飞行角度调整自己的动作。鱼跃扑救时，应在适当向前扑的同时沿大小为v=4.43m/s，方向与球门线夹角为=57.52o角的速度侧向跃出，这样可以使守门员的“控制区”达到最大罚球员射门的最佳区域是球门左上方和右上方的两个三角区（即“死角区”）。球的初速度越大，守门员防守“死角区”越大。当球的初速度为v时，其速度方向与地面夹角应为=tan1Hr12gt2 OD2+ Lr 2+12Fmt2，速度的水平方向与球门线的垂直平分线夹角应为=tan1LrOD，其中OD为罚球点与球门线的垂直距离11m，空气阻力F=12CSbv2（C=0.5，=1.205g/L，Sb=3.84102m2），当0.305st0.405s时“控制区”边界方程为式（52），当0.405st0.6s时“控制区”边界方程为式（53）。代入式（66）求出r，其中 x0,y0 为使内切圆p面积最大的点 xs,ys 的坐标。v与t的关系可由式（71）（72）得到。这样即可算出当球的初速度为v时其速度方向与地面夹角和速度的水平方向分量与球门线的垂直平分线夹角和飞行时间t。速度在竖直方向上的分量vy和水平方向上的分量vu可由式（71）求出。守门员按此角度和方向将球踢出，可使球以最大的几率射门成功。将各种因素综合考虑，利物浦约翰莫尔斯大学教授提姆凯布尔公布了一项“完美点球方程式”助跑5至6步、斜跑20至30度、球速104公里/小时以上及瞄准门楣与门柱的“死角”位（分别距离门楣和门柱0.5米的地方），球员按这个方式罚点球，命中率将达到百分之百。 3. 其他印象因素3.1 球员射门习惯在很多球队中，有专门负责收集对手球员信息的工作人员，他们通过对对手球员射门数据的大量统计，得出该球员最可能的射门方向以供守门员去判断。最经典的例子就是2006年世界杯1/4决赛中德国队对阵阿根廷队的比赛，在点球大战开始前守门员莱曼拿到一张纸条，上面有预测的各个阿根廷球员最有可能的射门方向，而在比赛中，莱曼的四次判断全部正确并扑出两个点球，德国队最终以4：2击败阿根廷队晋级四强。更让人惊讶的是，德国人在世界大赛上还从未在点球大战中输球，德国队在对对手的把握上所下的功夫毋庸置疑。3.2心理原因由于射点球的队员距球门这样近，现有足球球门的高度比任何篮球排球运动员的身高都高，球门横梁下沿的高度也比现今的男子世界跳高纪录尺度高公分，