数学第二章《平面向量教学设计》教案(新人教A版必修4).docVIP

人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计一、教材分析 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力1本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。 （2）向量的线性运算 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义。 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。本章知识结构如下：平面向量、实际背景向量及其基本概念 线性运算向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容 向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排： 向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析平面向量的实际背景及基本概念标准表述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示如：用向量a表示向东走了，则-a表示_一辆汽车从A地出发向西行驶了100，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（ ）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且，则向量a+b与向量a的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量向量的线性运算标准表述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要求通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义了解向量的线性运算性质及其几何意义如：若向量a表示向东走了，b表示向南走了，则ab表示_已知下列各式；其中结果为零向量的个数为（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4 已知向量a，b满足a+2b，5a+6b，7a2b，则一定共线的三点是（ ）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D如：在中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设a，b，用a，b表示向量掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件会进行向量的线性运算平面向量的基本定理及坐标表示标准表述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要求了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？ 如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为_如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_已知向量，且A，B，C三点共线，则_了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算理解两个向量共线的充要条件平面向量的数量积标准表述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要求通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义体会平面向量的数量积与向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系如：用两根夹角为角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10，则每根绳子的拉力大小是_如：已知点，则在上的投影的值为_如：a=（3，2），b=（4，k），若（5ab）（3ab）=55，求实数k的值如：两单位向量a，b的夹角为，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_换垂直的题明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义 明确向量b在向量a的方向上的投影掌握数量积的公式，能进行数量积的运算明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件向量的应用标准表述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力如图，在平行四边形中，与交于，用向量的方法证明：实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从一岸边的处出发驶向对岸，已知船速为，水速为，欲使航行最短，则所用时间为_掌握平面两点间的距离公式、 掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题（2）本单元变化之处删繁就简，降低了知识的难度调整章节，凸显了知识的框架贴近生活，重视了知识的应用（3）人教B版向量一章的教材特点 强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位 向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(+)又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形ABCD中，ADBC，ABCD，).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起. 几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为 形到数数的运算数到形，则向量方法可简单地表述为 形到向量向量的运算向量和数到形.教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。二、教学方式概述人教B版教材对教师的教学方式，教师驾驭课堂的能力，教师把握教材的程度提出了更高的要求。讲授启发式、自主探究式向量是以往高中课程中已经出现的内容，新课标教材考虑的是通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，教师改进教学方式，可以提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力1引导学生用数学模型的观点看待向量内容 2加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路3引导学生认真体会向量法的思想实质掌握向量法的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 4注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比三、教学资源概述教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规四、课时建议本单元教学约需12课时2.1平面向量的实际背景及基本运算 2课时2.2平面向量的线性运算 2课时2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时2.4平面向量的数量积 2课时2.5平面向量应用举例 2课时小结 2课时数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第一学时第二学时 2.1.1 向量的概念一. 学习目标1.关于向量的概念 (1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何表示; (2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力. (3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和钻研精神.2.关于向量的线性运算(1) 通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;(2) 让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.(3) 通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二. 重点难点1.关于向量的概念 (1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示; (2)难点是对向量概念的理解;2.关于向量的线性运算 (1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解及其几何意义;(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,并利用向量方法解决几何问题.三. 教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课对向量全章的的介绍:通过对书上章前话的解读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间的关系.(2)概念引入与形成概念应用（1）通过具体的例题1体会向量的概念和几何表示;通过例题2和例题3巩固向量的几何表示,相等,共线向量等概念让学生了解大致内容和小学习本章的重要性概念形成1从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有大小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出向量概念;2类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识. 3让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓住向量的特点.(3)表示方法 再次类比数的表示方法,引出用有向线段表示向量;(几何表示) 用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小,赋予向量的几何意义; 提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向量的运算做好准备. (4)相关概念辨析 从向量的模引出零向量和单位向量的概念; 让学生了解相等向量规定的合理性,可利用计算机演示向量的平行移动,体会向量的相等,体会向量与有向线段之间的关系; 由向量的平行移动体会平行向量和共线向量的等价性;例1船向南航行100海里和向西航行100海里的位移相等吗?选择适当的比例尺,用有向线段表示这两次航行.例2某人从点出发向西走200到达点,然后朝西偏北45方向走300 到达点,最后又向东走200到达点. (1)按1:10000的比例作出向量和;（2）求和的值.(精确到1)例3在图中的4的方格纸中有一个向量,分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.(1)其中与相等的向量有几个?（2）与长度相等的共线向量有多少个?归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置作业：P79练习A,B2.1.2向量的线性运算教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课1)引入 数因为有了运算而使数的威力无穷,与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?从向量的物理背景和数的运算中应该可以得到一些启发探究向量加法的定义法则 教师提出问题:怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），让学生小组讨论以后,出现两种不同定义方式三角形法则和平行四边形法则. 针对两种方式,教师引导学生理解它们的本质的一致性;同时提出思考问题那种定义更加严密？根据学生的回答，启发学生注意到平行四边形法则对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？最后看书上相关内容,补充对零向量的运算规定.(5) 向量加法定义的运算律 请学生类比实数加法运算律，猜测一下运算律是什么？ 由学生提出探究的途径,并分组验证,交流作图思路 教师投影学生设计，并根据情况进行归纳点评,总结探究过程和探究结论,让学生有一个完整的认识. (6)应用举例 通过例5体会向量加法的实际应用; 通过例6体会向量加法在几何中的应用.例5一架飞机向南飞行400,然后改变方向向东飞行300,试求飞机飞行的路程和位移.例6在平面内能否构造三个非零向量 使.根据构造结果还可以继续提出若,则三点共线是否正确?3.关于向量的减法运算部分教学内容(1)类比数的减法运算,提出相反向量的概念,定义减法运算;(2)根据减法的定义,探索做出两个向量的差的方法,总结出向量减法的三角形法则;(3)比较加法和减法的三角形法则的区别(4)应用举例 通过例7体会向量的加法和减法的三角形法则的混合应用; 通过例8体会向量减法的实际应用.例7在五边形中, 若,求作向量例8已知一艘船从点出发,以的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度为4,求河水的流速的大小.实验准备 情景1:让两个学生中的甲从教室的某地位移到地,再从地位移到地,乙从直接到达地,观察比较.结论:前者是位移的合成, 两次位移的结果为,而与后者从点直接到点的位移相同;情景2:观看事前由学生做的力的合成的实验经过要求用二个互相垂直的力把橡皮条拉长一定的距离，再撤去，用一个力作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录的大小和方向;改变的大小和方向，重复以上实验，探究与的关系.得出结论：排除误差，合力的方向在以为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形该对角线的长.例4如图，已知向量，用三角形法则和平行四边形法则求作向量通过实际例子，使学生学会用向量解决实际问题的方法归纳小结：使学生理解并掌握向量加法的就几何意义。作业1：P83练习A,B作业2：P85练习A,B数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第三学时第四学时 2.1.4数乘向量(新教改B版教材)教学目标:(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义； (2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果； (3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。教学重点、难点： 重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。 难点：正确运用法则解决几何问题。教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问复习提问(1)前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握“三角形法则”和“平行四边形法则”；例如：平面内有向量和，： 和 当顺次首尾连结时： ，和向量即为图中所示；(副板书)当重合起点或终点时，图略，和向量应用“平行四边形法则”求得；而且向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。例如：（2）下面我们来看这么一道题：1例：已知如图向量为非零向量，试用作图方式表示和+（） （投影） 师生互答与教师讲解结合师生互答与教师讲解结合复习旧知识,引出新知识复习旧知识引出新知识定理形成运算率的形成及证明一.向量数乘的相关概念及性质:1.向量数乘（实数和向量相乘）的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长.(而且我们可以根据刚才的例题总结出这样的结论:)(0)的方向当2.实数和向量相乘所满足的运算率:(1); (2);(3) (分配率).(以上各运算律证明方法见后面，(3)的证明类似于例1,略,由学生自己证明) 首先我们抓住它的特点，是区别于一般情况下的三个相同的向量的加法，显然顺次连结首尾，我们依照加法规律可以很容易的得到3的几何表示这一点学生是容易理解并接受的，而+（）也是两个和等模反向的向量的和。这时我们会发现：当有非零实数和非零向量相乘时我们只需相应扩大或缩小向量的线段长度，“例如3是将的线段扩大为的三倍”，并且应注意所乘的常数是正数时得到的新向量方向不变，负数时变为和原向量相反即可。若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。并且：特殊地，当实数0和一个向量相乘时，得到的仍为一个向量，且模为0，即“零向量”。（因为零向量的方向不固定且模为0，所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向量”没有几何表示方法，它的代数形式为。）学生通过对老师利用向量加法的讲解,能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换,通过观察、比较、抽象、概括出实数与向量相乘的几何表示与代数表示法。发展学生的理性思维的能力。对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并且能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了应用举例应用举例1.计算下列各式:(1);(2);(3).解: ;例2.设是未知向量,解方程: 解:原式可变形为: (例1和例2所需要注意的是书写格式要正确,箭头不要丢掉)例3.如图所示,已知说明向量与的关系.解:因为=+=3+3=3(+)=3 所以与共线且方向相同,长度是的3倍. 例3作图是学生需要锻炼的能力之一,督促学生画好,其次是注意回顾和正确使用向量加法法则,亦可以使用相似先得到线段长度的关系,判断方向,从而得到结论 通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力布置作业书后练习A组题目和B组1,2小题.学生独立完成巩固所学知识方法三.教学资源建议:可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。四.教学方法与学习指导策略建议:本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则,对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。课文一开始的引入是从图形的放大和缩小是否能使用向量的手段进行解决这个问题入手的，是从向量和实数相乘的用法的角度切入的，可能相当一部分学生对这个问题不怎么感兴趣。而从向量的数乘是向量加法的一种特殊情况入手不仅复习回顾了前面向量的加减运算，而且从加法的特例（即几个相同的向量相加）入手，使得学生能自然地接受几何表示，不会觉得很突兀。其次牢记实数与向量相乘的结果是向量,而不是数,也比较重要，尤其是当向量为零或实数为零时，是讲解的重点。并且对于代数形式，稍加归纳总结即可。运算率可以让学生自己来证明。最后就是在解题的过程中，要强调格式的正确性，因为是高中的新知识，初中没有接触过，所以正确的格式要坚持强调。2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算(新教改B版教材)教学目标：使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用该定理解题,掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标,利用向量的坐标解题。教学重点难点：重点是平行向量基本定理; 难点是平行向量基本定理的应用.教学内容安排：教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问在学习向量概念的时候,我们已经定义了什么是向量共线(即平行).而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时,向量都称为共线(或平行)向量,。它的表示方法是，而且由于零向量觉得方向不定，所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量。师生互答与教师讲解结合复习旧知识,引出新知识定理形成定理形成定理形成1.平行向量基本定理:如果,则/;反之,如果/,且,则存在唯一一个实数,使得.(这样我们给出的这个平行向量的基本定理,根据它就可以判断两个向量是否共线了,实际上,给出的这种判断方法是一种代数的判断方法,后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的.)2.单位向量:给定一个非零向量,与同方向且长度等于1的向量,叫做向量的单位向量.如果的单位向量记作,由数乘向量的定义可知:=或=.二.轴上向量的坐标及其运算:(对于数轴定义的回忆)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴.取单位向量,使的方向与同方向,根据向量平行的条件,对轴上任意向量,一定存在唯一实数,使=.反过来,任意给定一个实数,我们总能作一个向量=,使它的长度等于这个实数的绝对值,方向与实数的符号一致.这里的单位向量叫做轴的基向量, 叫做在上的坐标(或数量). 的绝对值等于的长,当与同方向时,是正数,当与反向时, 是负数.1.数轴上两点间的距离公式: ,2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标:同学们要牢记基本定理,而且这样以来实数与这条轴上的向量建立起一一对应的关系,至此,我们就可以用数值来表示向量.给我们奠定了向量的数量化的基础,也是我们将来平面向量空间向量数量化的基础.那么我们由数轴上两点的距离可以用右边的点的坐标减去左边点的坐标这种方法来计算两点间的距离,所以以这两点为起终点的向量的所在线段的长度就应为下面的公式学生通过对老师利用向量加法的讲解,能够很自然地接受向量和实数相乘的这样一种从一般的加法到乘法的变换,通过观察、比较、抽象、概括出向量的坐标表示，为以后向量平面的坐标做好准备，是向量坐标非常重要的坐标表示的引理。另一方面有助于发展学生的理性思维的能力，从简单的向量的知识开始，逐步深入，为平面向量的基本定理做好充分的准备。应用举例例1.已知数轴上三点的坐标分别是4,-2,-6,求:的坐标长度.过程见课本92页学生需要锻炼的能力之一,注意回顾和正确使用定理,是平面向量坐标的基础定理。通过设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生利用现讲的定理解题的能力。三.教学资源建议:可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。四.教学方法与学习指导策略建议: 本节的知识是在老教科书向量的坐标的基础上为学生能够更顺利的了解向量坐标的相关知识而最新设立的。本小节的开始首先介绍向量共线（即平行）的判定定理。即向量之间有线性关系即表示两个向量共线（即平行），它也是我们今后利用向量证明相关向量结论的基础定理，更是在立体几何使用空间向量来证明时的有力辅助工具。在学习时要注意体会引入的过程，并且记牢。总之，本小节所介绍的内容仍为向量的基本知识，是我们后边学习向量相关知识的基础和保证，一定要重视对这块知识的讲解和对学生的落实。数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第五学时第六学时（一）学习目标11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.14.了解平面向量的基本定理及其意义.22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻研精神.（二）重点难点 1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用2.难点是平面向量的基本定理及其意义.（三）教学过程教学内容师生互动设计意图复习引入前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的坐标表示.从而对平面上的任一方向的向量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗?让学生回忆轴上向量及其坐标表示相关的概念及思想方法从一维向二维,从已知到未知，引入新课题新课探究借助已经学过的平面直角坐标系.(1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e1、e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3 e1、3e2(2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向量的线性组合。即：a=xe1+ye2）(3)取平面上两条互相垂直的单位向量e1、e2，那么对该平面内的任意向量a，都存在唯一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2。例如 课本103页练习A第一题证明 课本96页，97页(4)这里e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组正交基底；xe1+ye2叫做a关于基底e1，e2的分解式；（x,y）叫做a关于基底e1，e2下的坐标，即a（x,y）；x(y)是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在(横纵)轴上的坐标。显然0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1)(5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y）就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。(6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积。即：如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么ab=(x1x2,y1y2),a=(x1,y1)ab的充要条件是x1y2=x2y1(需要证明)(7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示。即a=xe1+ye2.这里x、y是唯一确定的一对有序实数。e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底e1，e2的分解式.例如 课本96页图234，证明同(3)。师生共同探究, 对平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受.确认坐标表示向量的可行性,及其具体表示方法这里给出了课本97页的两个概念，学生知道这些名词就可以了向量的直角坐标表示及其运算性质，学生应该容易接受，甚至给出证明。一些学生可能不理解证明的必要性和合法性（不易深究）。一般学生以了解为主，重在以具体问题为载体，落实基本定理的思想方法（消点法）。感受正交分解产生的合理性.使学生容易接受平面向量的坐标表示,使部分学生感受数学证明的严谨性和必要性.深化理解例11.课本100页例1。在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示。分别求它们的坐标。所有例题，以教师为主导，关注优秀生是否能从想得通到写得通再到讲得通适当的给他们机会锻炼展示；关注一般同学是否能从想不通到想得通再到写得通给他们充分时间来思考学习教师协调全班讨论复习巩固初中特殊角三角函数，学会用坐标表示向量，为数量积作准备例12. 课本102页例5，含101页例2、4已知 ABCD的三个顶点A(-2,1),B(0,3),C(3,4)，求(1)向量BA的坐标、方向和长度；(2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去向量起点的坐标。即ABAO+OBOBOA(x1x2,y1y2)可以进行多种解法，以达到复习巩固向量的坐标表示，并用于向量的加减及数乘运算，使学生加深理解例13课本102页例6，含101页例3已知A(-2,1),B(4,4)，求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标。注：OMOAAMOA0.5AB0.5(OA+OB)，这里的向量分解变形是重点也是难点。注：例题到此，应进行学生独立练习巩固这里，初中学生已经接触过中点坐标公式。学生基础好，可以另用向量的方法给出证明例21课本104页例1已知 向量AB=(2,5),向量a=(1,y),若 向量ABa.求a的纵坐标y.例22课本104页例2 直角坐标系xOy内，已知 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)。求证 A,B,C三点共线例31课本97页例1已知 ABCD的两条对角线相交于点M，试用基底AB,AD表示向量MA,MB,MC,MD.例32课本97页例2已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O。以OA，OB为基底，写出向量OP的分解式熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体情况而定课堂练习练习1：课本103页练习A2,4,5;B1,2,3,4练习2：课本105页练习A1,2,3；B1,2练习3：课本98页练习A1,3,5;B1,3,4对于部分习题师生可以在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不同的发展归纳小结今天学会了：向量的坐标表示坐标表示的向量的加减及数乘运算向量平行的坐标条件平面向量的基本定理师生共同完成这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈时间作业作业1：课本105页习题2-2A2,3,4,5,6.作业2：课本106页习题2-2B2,3.127页9，11，19学生自主完成温习巩固，逐步理解课后反馈板书设计一1相关名词介绍插入课本图2382坐标表示的向量3向量坐标运算的性质222平面向量的正交分解及其坐标表示例1 例3例2板书设计二223用平面向量坐标表示向量共线条件向量共线条件： 平面基本定理介绍例1 例3例2 例4归纳小结： 归纳小结：（四）教学资源建议教材、电子版教参中提供的教学课件、人教社网站（）（五）教学方法与学习指导策略建议将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑：（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。（2）从教学功能上，平面向量的正交分解可以替代基本定理。正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。(3)从学生的主体作用看，先有平面向量的正交分解，再有基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。（4）如果允许，可以用三课时完成这部分内容的教学。基础差的班级可以介绍平面向量基本定理，并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示；基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法（六）备注：文中“向量AB”，符号不规范（少上面的前头线），需用正常的公式编辑器修改，为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底”。标准表述标准要求的具体化和深广度分析大纲相应的要求了解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件如：某人在静水中游泳，速度为每小时，水流的速度为每小时，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？（实际速度的正交分解）如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为_（向量的坐标表示）如：已知，且点在的平分线上，若，则向量_（定比分点）已知向量，且A，B，C三点共线，则_（向量共线）了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算理解两个向量共线的充要条件数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第七学时第八学时:第一方案课题：向量数量积的定义及运算率教学目标1、知识与技能理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。体会平面向量的数量积与向量投影的关系。掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。2、过程与方法通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力3、情感态度价值观利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系，从中感受数学的应用价值。教学重点本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量积的运算律教学难点对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用教学关键利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义教学方法将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。教学环节教学内容师 生 互 动设计意图时间反思引言教师介绍数学发展历程。注意情感教育，教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足，正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实数的运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然，幸运的是，我们有了“交换率、结合率、分配率”等等，当向量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，“向量是数吗？”“能算吗？ ”调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性1复习提问承前启后回顾已学习的向量运算由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按照怎样的顺序研究这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用还可能定义什么运算？期望学生回答：向量相乘复习向量有关运算2引入新课以物理背景引入实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（1）力F所做的功W= 。 （2） 请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，SFS（位移）是 量，是 。我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；问题1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。回答问题1后定义夹角： P107设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，概念。4定 义 给 出数量积的定义定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos在此可以强调“请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位移的数量积”学生应用公式完成例1已知： |a|=5，|b|=4，a，b=1200，求ab注意：=0=0“”并非实数运算中的乘号，既不能写成“”也不能省略在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角的范围090=900180的符号不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素， “补充”通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。对角的范围做好分类讨论的准备5数量积的性质探究数量积的性质设a、b为两个