(2014年--2015年)教案：第一章函数与极限.doc

高等数学高等数学教案教案 第第 1、2 讲讲 章节 次数 第 1、2 讲：第一章 函数与极限，第一节 映射与函数 教学 目的 要求 1. 理解函数的概念。 2. 掌握函数的初等函数的性质及其图形。 3. 会建立简单应用问题中的函数关系式。 主要 内容 集合、映射、函数 函数的几种几何特性 反函数、复合函数、初等函数 常见的经济函数 重点 难点 理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念， 基本初等函数的性质及其图形。 教学 方法 讲授，练习 课后 作业 作业：第 1 讲：2122 页的习题 4、5、6、7、10 第 2 讲： 22 页的习题 11、12、14、15、16 备注 本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习 提高，不必再作详细讲解。 课程的性质与任务课程的性质与任务 高等数学是高等院校学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人 才所需数学素质的基本课程。它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用，它的内容、 思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。 在让学生掌握基本理论与基本运算技能的基础上，要通过各个教学环节逐步培训学生 的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼 于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第一节第一节 映射与函数映射与函数 教学目的与要求：教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立 简单应用问题中的函数关系式。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函 数的性质及其图形。 一、集合一、集合 1、 集合概念集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素。 1) , 321 aaaA 2) PxxA的性质 元素与集合的关系： Aa ， Aa 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系：A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作BA 。 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作BA 若作BA 且BA 则称 A 是 B 的真子集。 全集 I：AiI（I=1，2，3，） 。 空集： A 。 2、 集合的运算集合的运算 并集BA： Ax|xBABx或 交集BA： Ax|xBABx且 差集 BA ： |BxAxxBA且 补集（余集） C A：IA 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律：ABBA ABBA 结合律： )()(CBACBA ， )()(CBACBA 分配律： )()()(CBCACBA ， )()()(CBCACBA 对偶律： ( ccc BABA) ccc BABA)( 笛卡儿积： AB | ),(ByAxyx且 3、区间和邻域、区间和邻域 1）有限区间：开区间 ),(ba ，闭区间 ba, ，半开半闭区间 baba, 。 2）无限区间：（） ，。,a,a, a , a , 3）邻域： ),(axaxaU 注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为 ),(aU 。 二、映射二、映射 定义定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中的每一个元素 x，按法则f，在 Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从 X 到 Y 的映射，记作 YXf： 其中y称为元素x的像，并记作 )(xf ，即 )(xfy 。 注意：每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一。 三、函数三、函数 1、 函数的概念函数的概念 定义 设数集RD ，则称映射 RDf: 为定义在 D 上的函数，记为 Dxxfy, )( 。 注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性函数的几种特性 1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界） ，有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减） ，在 x1、x2点比较函数值 )( 1 xf 与 )( 2 xf 的大小（注： 与区间有关） 。 3）函数的奇偶性(定义域对称、 )(xf 与 )( xf 关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。 4)函数的周期性(定义域中成立： )()(xflxf ) 3、 函数与复合函数函数与复合函数 1）反函数：函数 )(:DfDf 是单射，则有逆映射 xyf )( 1 ，称此映射 1 f 为 f 函数的反函数。 函数与反函数的图像关 xy 于对称。 2）复合函数：函数 )(ygu 定义域为 D1，函数 )(xfy 在 D 上有定义、且 1 )(DDf 。则 )()(xfgxfgu 为复合函数。 3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数 f（x）= 1 2 ( )() ( )() f xxa fxxa 若初等数函 f1（x）和 f2（x）满足 f1（a）= f2（a） ，则 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a） 1 2 2 ()xa 1 2 2 ()xa 4、初等函数、初等函数 1）幂函数： a xy 2)指数函数： x ay 3)对数函数： )(logxy a 4)三角函数： )cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy 5)反三角函数： )arcsin(xy ， )arccos(xy )cot()arctan(xarcyxy 以上五种函数为基本初等函数。 例 1已知分段函数 2 2 , 10, ( )1,0, 2,01. xx f xx xx 1）求其定义域并作图；2）求函数值 11 22 (),(0),( ).fff 例 2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域： y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2. 例 3求函数的反函数及反函数的定义域： y=x2,（0 x0 为生产一个单位产品所需的可变成本。 5. 总收益总收益(总收入总收入)函数函数 总收益 R 是指产品出售后，所得到的全部收入。它是销量 Q 的函数，记为 R(Q)。(通 常假设产销平衡) 若产品的单位售价 p 不变， 则 R(Q)=pQ 若价格 p 是产量 Q 的单调减少函数 p(Q), 则 R(Q)=p(Q)Q 6. 总利润函数总利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即 产销平衡时， L(Q) = R(Q) - C(Q) 7. 库存润函数库存润函数 设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素， 显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 ，进货周期 Q q n 为 . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费用为 ，每次进货量相 T t n 1 C 2 C 同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，在时间 T 内的总费用 2 q E 为 12 1 2 Q ECTqC q 为储存费为进货费用。 1 1 2 CTq一一一 2 Q C q 一 第第 3、4 讲讲 章节 次数 第 3、4 讲： 1.2 数列的极限 教学 目的 要求 1. 了解数列极限的概念，性质。 2. 会用极限的分析定义证明一些简单的极限。 主要 内容 数列、数列极限的定义与几何意义 数列极限唯一性及收敛数列的有界性 重点 难点 极限的概念的理解及应用； 教学 方法以讲授为主 课后 作业 练习 作业： 第 3、4 讲：30 页的习题 1、3 备注函数极限的基本性质同数列极限的性质。 第二节第二节 数列的极限数列的极限 教学目的与要求：教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。 一、数列一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： n xxxx 321 缩写为 n x 例 1 数列是这样一个数列，其中 n 1 n x n xn 1 ， 5 , 4 , 3 , 2 , 1n 也可写为： 5 1 4 1 3 1 2 1 1 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为。0 1 lim n n 极限的极限的 N 定义定义 ，当时，恒成立，则称数列的极限为a，记成 0N Nn axn n x axn n lim 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质收敛数列的性质 定理 1 如果数列收敛，那么它的极限是唯一。 n x 定理 2 如果数列收敛，那么数列一定有界。 n x n x 定理 3 如果且 a0(a0，当 nN 时，axn x lim )0(0 nn xx 。 例 2证明数列的极限是 1。 1 n n 例 3作出数列图形，讨论其极限值。 1 ( 1)nn n 微积分教案：第微积分教案：第 5、6 讲讲 章节 次数 第 5、6 讲： 1.3 函数的极限 教学 目的 要求 1. 了解函数极限的概念，性质。 2. 会用极限的分析定义证明一些简单的极限。 3. 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 主要 内容 自变量趋于无穷大及趋于有限数时函数的极限 函数极限的几何解释 单侧极限 重点 难点 理解函数左极限与右极限，极限性质。 教学 方法 讲授，练习，讨论 课堂 练习 38 页的 1、2、3 课后 作业 38 页的 4、5、6，补充分段函数求解极限的习题。 备注函数极限的基本性质同数列极限的性质。 第三节第三节 函数的极限函数的极限 教学目的与要求：教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间 的关系。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。 极限的定义极限的定义 一、在一、在点的极限点的极限 0 x 1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在有没有定义，以及函数值 0 x 0 x 的大小。只要满足：存在某个 0 使：)( 0 xf Dxxxx),(),( 0000 。 2）如果自变量x趋于 0 x 时，相应的函数值有一个总趋势以某个实数A为极)(xf 限 ，则记为 ：。Axf xx )(lim 0 形式定义为： ，当时，恒成立。 00 0 0xx Axf)( ccxx xxfxf xxxx xx 00 0 limlim lim 0 0 一 一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 左极限与右极限 重点强调：AxfAxf xxxx 一一一一一 00 limlim 结论：AxfxfAxf xxxx xx 一一一一一一一一一一一 00 0 limlimlim 二、二、 x 的极限的极限 设 ),()(xxfy ，如果当时函数值有一个总趋势-该曲线有一条水)(xf 平渐近线 Ay -则称函数在无限远点有极限。记为：。Axf x )(lim 在无穷远点的左右极限： )(lim)(xff x ， )(lim)(xff x 关系为： )(lim)(lim)(limxfAxfAxf xxx 例 1 讨论函数在 x的极限。 x x y 0 例 2求下面函数极限： ， 。 lim n 2 21 n n ) 1 3 1 1 (lim 3 1 xx x 三、函数极限的性质三、函数极限的性质 定理 1（函数极限的唯一性） 如果存在，则这个极限唯一。 0 lim( ) xx f x 定理 2（函数极限的局部有界性） 如果存在，那么存在常数和，使得当时时，有 0 lim( ) xx f x 0M 0 0 0 |xx 。|( )|f xM 定理 3 (函数极限的局部保号性) 则存在常数，使得当时 0 lim( ),0(0), xx f xAAA 一一一0 0 0xx 。( )0 ( )0)f xf x一 定理 3 ，则邻当时， 0 lim( )0 xx f xA 一 0 x一一一一一一一 0 (,),U x 一 0 (,)xU x 。( ) 2 A f x 一一 推论 当时， 0 lim( ),0, xx f xA 一一 0 0 (, )xU x( )0( )0),f xf x一 0(0).AA一 教案第教案第 7 讲讲 章节 次数 第 7 讲： 1.4 无穷小与无穷大 教学 目的 要求 掌握无穷小与无穷大概念。 主要 内容 无穷小、无穷大 无穷小与无穷大的关系 无穷小的性质 重点 难点 理解无穷小与无穷大的关系。 教学 方法以讲授，练习，讨论为主 课后 作业 42 页的习题 2、4、5 备注 第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 教学目的与要求：教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 一、无穷小定义一、无穷小定义 定义 对一个数列，如果成立如下的命题： n x ，当时，恒成立，则称它为无穷小量，即 0N Nn n x 0lim n x x 注：1） 的意义； 2） n x 可写成 0 n x ； ), 0( n x ； 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码 N，使在这个号码以后 的所有的号码n，相应的与极限 0 的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于 n x 一个数列趋于 0 的认识。 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 xx （或 )x 中，函数具有极限 A 的充)(xf 分必要条件是，其中是无穷小。 Axf)( 二、无穷小的性质二、无穷小的性质 设 n x 和 n y 是无穷小量于是： 5） 两个无穷小量的和差也是无穷小量： 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 2）对于任意常数 C，数列也是无穷小量： n xc 0)(lim0lim n x n x xcx 3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 nn yx 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 4）也是无穷小量： n x 0lim0lim 0 0 n xx n xx xx 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 三、无穷大定义三、无穷大定义 一个数列，如果成立： n x ，当时，恒成立，那么称它为无穷大量。记成： 0GN Nn Gxn 。 n x xlim 特别地，如果，当时，恒成立，则称为正无穷大，记成 0GN Nn Gxn 。 n x xlim 特别地，如果，当时，恒成立， ，则称为负无穷大，记 0GN Nn Gxn 成。 n x xlim 注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 四、无穷小和无穷大的关系四、无穷小和无穷大的关系 定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，)(xf )( 1 xf 如果为无穷小，且则为无穷大。)(xf0)(xf )( 1 xf 即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有 0 n x ； n x n x x x 1 lim0lim0 1 limlim n x n x x x 注意是在自变量的同一个变化过程中。 教案第教案第 8、9 讲讲 章节 次数 第 8、9 讲：2.5 极限运算法则 教学 目的 要求 掌握极限的四则运算法则。 主要 内容 极限的四则运算法则 重点 难点 会用四则运算法则求极限； 教学 方法 讲授、练习 课堂 练习49 页 习题： 1， （1） 、 （2） （3） （4） 课后 作业 49 页 习题： 1， （5）（14） 2, 3 备注 第五节第五节 极限的四则运算极限的四则运算 教学目的与要求：教学目的与要求：掌握极限的四则运算法则。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：会用四则运算法则求极限。 1）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 2）函数 f 在点 0 x 有极限，则对任何常数a成立 )(lim)(lim 00 xfaxfa xxxx 3）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 4）函数 f 和g在点 0 x 有极限，并且，则 0)(lim 0 xg xx )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0xg xf xg xf xx xx xx 极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g在点 0 x 有极限。 定理 3 设函数 )(xgfy 是由函数 )(ufy 与 )(xgu 复合而成， )(xgf 在点 0 x 的某去心邻域内有定义，若，且存在，当 0 )(lim 0 uxg xx Auf uu )(lim 0 0 0 ),( 00 0 xu x 时，有 0 )(uxg ，则 例 1下面函数在 x 趋向什么时是无穷小，又当 x 趋向什么时是无穷大： 。21,x sin 1 cos x x 例 2 求下面函数极限： 教案第十讲教案第十讲 章节 次数 第 10 讲： 2.6 极限存在准则 两个重要的极限 教学 目的 要求 1. 知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。 2. 熟练掌握两个重要极限。 3. 了解一些常见的等价无穷小量，并会用等价无穷小量代换定理求解极限。 主要 内容 夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理 两个重要极限： e xx x x xx ) 1 1 (lim, 1 sin lim 0 等价无穷小量代换定理 Aufxgf uuxx )(lim)(lim 00 9 3 lim 2 3 x x x45 32 lim 2 1 xx x x 重点 难点 极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极限。 教学 方法讲授，练习，讨论 课后 作业 作业： 1, 2, 4 备注 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 教学目的与要求：教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极 限。 定理 1（夹逼定理） 三数列、和，如果从某个号码起成立： n x n y n z 1） nnn zyx ，并且已知和收敛， n x n z 2） n x n x zax limlim ，则有结论： ayn x lim 定理 2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 一、一、 极限极限1 sin lim 0 x x x 该极限的证明，关键是证不等式:sinx1- 1/n=（2(1/2)+（n-2） ）/n （1/2）21n-2=（1/4）1/n 则 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n 即数列An有上界。 于是，极限存在，并记为数 e。 例 1 。 2 0 1 cos lim x x x 一 解： 2 2 0 2sin 2 lim x x x 一一 2 0 2 sin 1 2 lim 2 ( ) 2 x x x 2 0 sin 1 2 lim() 2 2 x x x 2 1 1 2 1 . 2 例 2 1 lim(1) . x x x 一 解： 2 24 11 lim(1) (1) 22 x x xx 一一 2. e 补充知识：三、连续复利补充知识：三、连续复利 设一笔贷款（称为本金） ，年利率为 r，则 0 A 一年后本利和 10(1 )AAr 两年后本利和 2 210 (1)(1)AArAr k 年后本利和 0(1 )k k AAr 计息，年利率为仍为 r，则每期利率为，为n一一一一一一 r n 一一一一一一一一一 10(1 )n r AA n k 年后本利和 0(1 )nk k r AA n 如果计息期数即每时每刻计算复利（称为连续复利） ，则 k 年后本利和n 一 教案第十一讲教案第十一讲 章节 次数 第 11 讲： 1.7 无穷小的比较 教学 目的 要求 理解无穷小阶的概念。 掌握无穷小的比较方法。 掌握等价无穷小代换方法。 主要 内容无穷小的阶 无穷小的比较 等价无穷小代换 重点 难点 无穷小的比较 等价无穷小代换 教学 方法 讲授，练习，讨论 课堂 练习59 页的习题 1、2 课后 作业 59 页的习题 3、4 000 1 lim(1)lim1 rk n r nkrk k nn r AAAA e n n r 备注 第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较 教学目的与要求：教学目的与要求：理解无穷小阶的概念；掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换 方法。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换方法。 一、无穷小的比较一、无穷小的比较 定义 若 , 为无穷小，且 1lim 0lim 0lim lim 0lim c c K 则与的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（） 例 1证明下面各无穷小量之间的关系： 与 x（x +） tanx-sinx 与 sinx（x ） 。sinxx00 二、等价无穷小量代换二、等价无穷小量代换 1）若为等价无穷小，则 )( 。 , 2）若、且存在，则：= lim lim lim 例 1 求下面函数极限： x x x tan lim 0 ， 2 0 cos1 lim x x x ，x x x arcsin lim 0 例 2证明有界，并求 的极限。 x x x ) 1 1 (lim x x x ) 1 1 (lim 例 3求下面函数极限 x x x 5sin 2tan lim 0 ， xx x x 3 sin lim 3 0 ， 1cos 1)1 ( lim 3 1 2 0 x x x 。 教案第十二、三讲教案第十二、三讲 章节 次数 第 12、13 讲： 1.8 函数的连续性与间断点 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 教学 目的 要求 1. 了解函数连续性的概念，函数间断的概念。 2. 掌握函数间断点的分类。 3. 掌握讨论简单分段函数连续性的方法。 4. 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。 5. 会利用函数的连续性求函数极限。 主要 内容 函数连续性的概念，间断点的分类 连续函数的性质 重点 难点 判断函数连续。 教学 方法讲授，练习，讨论 课堂 练习 64 页的习题 1、2 69 页的习题 1、2 课后 作业 64 页的习题 3、4 69 页的习题 3、4、5 备注 第八节第八节函数的连续性函数的连续性 第九节第九节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的与要求：教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点，理解连续函数的性质和初等函数的连 续性，并会利用函数的连续性求函数极限。 教学重点（难点）：教学重点（难点）：判断函数连续。 一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性 函数 f 在点 0 x 连续，当且仅当该点的函数值 )( 0 xf 、左极限 )0( 0 xf 与右极限 )0( 0 xf 三者相等： )0()()0( 000 xfxfxf 或者：当且仅当函数 f 在点 0 x 有极限且此极限等于该点的函数值 。 )()(lim 0 0 xfxf xx 其形式定义如下： )()()(0 00 xfxfxxx 函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间a,b连续时包括端点。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。 二、间断点二、间断点 若： )0()()0( 000 xfxfxf 中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、第一类间断点、第一类间断点 )0()0( 00 xfxf 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2、第二类间断点、第二类间断点 0 x 左极限 )0( 0 xf 与右极限 )0( 0 xf 两者之中至少有一个不存在。 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 1、连续函数的四则运算、连续函数的四则运算 1） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 )()(lim 0 0 xgxg xx ， )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx 2） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 )()(lim 0 0 xgxg xx ， )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx 3） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 0)()(lim 0 0 xgxg xx ， )( )( )( )( lim 0 0 0xg xf xg xf xx 2、反函数连续定理、反函数连续定理 如果函数 f Dxxfyf)(: 是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反 函数 1 f ： f Dyyfx )( 1 也是严格单调增加（减少）并且连续。 注：1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用 X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成 1 )( 1 f Dxxfy 3、复合函数的连续性定理：、复合函数的连续性定理： 设函数和满足复合条件，若函数在点 x0连续；，又若fg g Z f Dg 00) (uxg 函数在点连续，则复合函数在点连续。f 0 u)(xgf 0 x 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： )(lim()(lim 00 xgfxgf xxxx 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函 数，并且初等函数在其定义区间内连续。 例 1讨论函数在 x=0 处的连续性： ,0, ( ) 1,0. x x f x x 例 2求下面函数的间断点，判断其类型： 。 1 (1) , x yx 1 cos x yx 例 3