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数理统计在企业营销管理优化中的应用2009710077 聂尤雪 09统计二班任何一个企业都面临着将产品推向市场，销售出去。一般的，企业下设营销部，通过营销部对企业生产的产品进行销售。由于企业生产能力的制约，需要在满足已签约的销售合同量的基础上，对意向签约量有选择的安排生产。一方面，企业会组织安排生产，完成已签约的销售合同；另一方面，企业希望营销部门尽力争取与意向签约的客户签订正式销售合同；除此之外，企业还希望营销部门努力再多销售一些产品（计划外）。对于所签约的销售合同和意向签约量（计划内），企业根据销售量向营销部发放经费（包括工资以及宣传费用等）；对于计划外销售的产品，实行承包制，营销部向企业缴纳利润。产品的生产费用由企业承担，与销售有关的费用（如产品的宣传费用等）由营销部承担。宏宇电器公司2011年计划生产三类10种小家电，其中包括：热水壶（1.5升，1.8升，2升）、豆浆机（0.9升，1.1升，1.3升）、电饭煲（2升，2.5升，3升，3.5升）。三类小家电的年最大生产能力分别为：热水壶：5万个；豆浆机：6.5万个；电饭煲6.2万个。附录中表1至表14包含了相关的各类数据。 要求分别按以下要求为宏宇电器公司制定相应的生产、销售方案： （1）使公司的利润达到最大； （2）使营销部的总收入极大化； （3）兼顾公司和营销部二者的利益； （4）兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售； （5）公司为了调动营销部的积极性，为公司多创利润，规定对于计划外销售的产品，营销部可以自行定价。统计数据显示，自行定价后每单位产品的销售价格上涨或下降5，则三类小家电的可能销售量相应的减少或增加10。试确定使营销部总收入最大的定价、生产及销售方案。二 问题分析对第（1）、（2）问中要求根据已给出的相关数据建立模型求出最佳的生产、销售方案，分别使公司的利润达到最大和营销部的总收入极大化。显然生产能力是制约公司、营销部进一步盈利的关键因素，若公司生产没有达到年最大生产能力，无论对公司或营销部来说盈利都不会达到最大，也就是说此时一定存在更好的方案能够使得二者获得更多的利润。因此，当考虑公司或营销部获得最大收益时，公司一定达到了它的年最大生产能力，即热水壶共生产5万个，豆浆机共生产6.5 万个，电饭煲共生产6.2 万个。通过证明，可以知道一定量的产品在计划内销售时带给公司的收益始终要高于将其在计划外销售所带来的收益，因此若要公司的利润达到最大必然先使计划内订单订购量达到最大，即对每个有签约意向的客户，在满足不超过生产能力的条件下，我们都按订单的最大意向签约量签订单。公司和营销部的收入支出表如下：公司营销部收入支出收入支出计划内销售额经费、成本经费宣传费计划外销售利润成本销售额宣传费、上交利润公司和营销部的收入、支出影响因素第（3）问要求根据所给定的相关数据，兼顾公司和营销部二者的利益建立模型,求出最优生产、销售方案。当将公司与营销部作为整体考虑时，公司根据计划内销售产品量发放给营销部的经费和营销部根据计划外销售产品量向公司缴纳的利润都属于二者的内部变量，对整体利润没有影响，此时二者总利润只与产品总销售额、产品总利润、产品总宣传费用有关。设为所有产品为公司和营销部带来的总利润，则其中表示第种产品订购量为时的销售额， 表示第种产品产量为时的成本，表示第种产品销售量为时的宣传费用。第（4）问要求根据题目所给定的相关数据建立模型，使得在满足兼顾公司和营销部的利益以及客户的需求，并尽量做到均衡销售条件下，制定出最优的生产、销售方案。为此引入满意度的概念，分别衡量客户对订单安排的满意情况和公司对利润收入的满意情况。客户满意度用C客来表示，公司满意度定义为公司与营销部的总利润与不考虑顾客满意情况时总利润之比，用符号C公表示。考虑到题目中要求尽量做到产品均衡销售，定义均衡销售率的概念。用表示均衡销售率，它表示各种产品销售量的方差的均值。综合考虑以上所说客户满意度、公司满意度和均衡销售率，引进综合评价指数来衡量方案的优劣。定义为： 第（5）问要求根据题目所给的相关数据，及计划外产品销售量随自行定价的变化情况，给出对计划外销售产品定价及产品的生产、销售方案，显然这个问题仍然是利用优化的思想解决，分析问题可知要利用第（2）问的结论，此时订购量为已知，所对应的每种产品的价格也为可求，而公司的生产能力有限，所以无法在降低价格来增长产品订购量，价格只能上调，以此来降低订购量。为此确定决策变量为每种产品的价格上涨率，相应的订购量和价格会适当改变，再利用MATLAB求出目标函数的最优解，即营销部的最大总收入，同时求出每种产品价格上涨率的具体值，从而确定营销部的定价方案。三 模型假设 订购量等于销售量，等于生产量； 将营销部销售计划外的所有订单看做一家客户的订单； 营销部除宣传费用和向企业上缴利润外，无其他支出； 模型一中每笔定单签订量只取给出的可能签订订购合同量；在模型二中，采取 连续的思想，订单签订量可以取可能签订订购合同量间以百为单位的任意整数； 客户签订不同订单量的概率仅表示顾客对不同产品订货量的倾向度。四 符号说明与变量符号 变量 表示第家客户对第件产品的订购量为的概率 表示第家已签客户对第件产品的订购量 表示第家意向签约客户对第件产品的订购量 表示营销部销售计划外的客户对第件产品订购量 表示第种产品计划内销售所获利润 表示计划内产品销售所获总利润 表示第种产品计划外销售所获利润 表示计划外产品销售所获总利润 表示所有产品总利润 、 表示客户满意度 、公司满意度、综合评价指数 表示产品的均衡销售率 表示综合所有客户对第类产品订购量的最大概率和 表示兼顾公司和营销部二者时的最大利润 表示第类产品的年最大生产量 表示所有客户对第种产品的订购量之和 表示第种产品订购量为时的销售额 表示第种产品产量为时的成本 表示第种产品计划外销售量为时营销部向公司缴纳的利润 表示第种产品计划内销售量为时公司向营销部发放的经费 表示第种产品销售量为时的宣传费用五 模型的建立与求解5.1 数据的预处理附录中数据比较多，为了下面模型的建立和求解方便，先对部分数据进行预处理，主要是一些简单的数据处理。5.1.1 意向和计划外签约量的上限计划内中的已签约量是已知确定的，而且三类小家电的年最大生产能力有限，所以可以得到意向签约量和计划外签约量的上限，即： 第一类：5.0-0.8-2.0-1.0=1.2 第二类：6.5-1.0-2.0-1.5=2.0第三类：6.2-1.1-1.7-1.0-0.5=1.95.1.2 不确定量的期望 五家意向签约客户和计划外对十种小家电的签约量是不确定的，求出这些不确定量的期望，可以先建立一个期望模型： 其中，、为可能的签约量，、为对应的概率。 由表7至表12再结合上面的概率模型便能够得到六组期望值，如下：订单（千）家电12345678910意向客户10.900.400.450.71.71.7意向客户21.051.050.50.61.950.81.3意向客户31.250.80.5意向客户40.82.150.3意向客户50.71.751.1计划外1.81.82.11.91.81.02.32.81.21.5总和3.753.253.053.954.751.804.308.003.703.905.2 问题一模型的建立与求解5.2.1 模型的建立 为了使公司的利润达到最大化，需要建立一个目标最大化模型，再结合相应的约束条件，利用MATLAB便可以求出公司利润最大时的生产销售方案。从题中可以得出：公司的利润=计划内销售额+计划外上交利润-营销部经费-成本 所以，便可以得到问题1的模型，如下： 5.2.2 模型的求解利用上述问题1的模型，将其用MATLAB实现，得出如下结果:Feval=-2998.3；X = -0.0000 0.0000 0 -0.0000 0 0.7481 -0.0000 0.2116 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.4000 0.1260 0 0 0.0000 0.2116 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.1259 0 0 -0.0000 0.2116 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.4000 0.1260 0 0.7481 0.0000 0.2116 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.4000 0.1260 0 0 0.0000 0.2116 0.8419 -0.00000.0000 0 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000结果说明： 公司利润的最大值是2998.3万元，五位有意向的公司对十种产品的实际签约量为x(1:5,:)（千件）。计划外对十种产品的实际签约量为x(6,:)(千件)。5.3 问题二模型的建立与求解5.3.1 模型的建立同问题1相似，问题2中，为了使销售部的利润达到极大化，同样需要建立一个目标最大化模型，再结合相应的约束条件，利用MATLAB便可以求出公司利润最大时的生产销售方案。从题中可以得出：销售部的利润=计划内经费+计划外销售额-宣传费-上交利润所以，便得到问题2的模型，如下： 5.3.2 模型的求解利用上述问题2的模型，将其用MATLAB实现，得出如下结果:Feval=-187.27 x= -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.2959 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.4520 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.4520 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0915 0 1.9085 0.0000 -0.0000 1.3237 0.5763结果说明： 销售部收入的最大值是187.27万元，五位有意向的公司对十种产品的实际签约量为x(1:5,:)（千件）。计划外对十种产品的实际签约量为x(6,:)(千件)。5.4 问题三模型的建立与求解5.4.1 模型的建立 问题3需要建立的目标最大化模型就是公司和销售部总的利润最大化模型，所以，很容易得到如下模型： 5.4.2 模型的求解利用上述问题3的模型，将其用MATLAB实现，得出如下结果:Feval=-3038.4X= 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.6667 -0.0000 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.4000 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.4000 0.0000 -0.0000 0.6667 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 0.4000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0000 0.9500 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 0.6667 0.0000 -0.0000 0.9500 0.0000结果说明： 公司和销售部总的利润的最大值是3038.4万元，五位有意向的公司对十种产品的实际签约量为x(1:5,:)（千件）。计划外对十种产品的实际签约量为x(6,:)(千件)。5.5 问题四模型的建立与求解5.5.1模型的建立 (1)满意度的量化 用综合比值量化法来量化满意度综合比值：对每类产品分别考虑，用每种情况下各种产品概率之和与对该类产品订购量最大概率和做除法运算，得到综合考虑所有客户对各类产品的满意度。第一类产品： 其中，=0.4+0.6+0.55+0.5+0.3+0.5+0.4+0.4+0.4=4.05 订购量第二类产品： 其中，=0.3+0.4+0.5+0.4+0.3+0.7+0.3+0.4+0.4=3.7 订购量 第三类产品： 其中 =0.7+0.4+0.7+0.6+0.3+0.8+0.4+0.5+0.3+0.5+0.4+0.3+0.5+0.5=6.9 (2)产品的均衡销售率 为了描述产品生产、销售的离散情况，引进产品的均衡销售率的概念。用字母 来表示均衡销售率。则：其中，即为所有客户对第种产品的订购量之和。(=1,2,3)表示第类产品的年最大生产量。显然越大产品销售越不均衡。(3)综合评价指数 定义为客户满意度，为公司和营销部满意度，为产品的均衡销售率，为综合评价指数。以综合满意度为目标函数，以第个客户对第种产品的订购量为决策变量，以公司生产能力的三个基本要求为约束条件，建立多目标非线性规划模型，同时也是一个整数规划模型。即： 其中为第三问中求得的公司和营销部最大利润5.5.2模型的求解 利用上面推导的模型，在MATLAB中编程，得出满足条