2019届高考数学二轮复习三角函数、向量与解三角形第5讲向量与三角函数的综合问题学案.docx

第5讲向量与三角函数的综合问题 1. 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件，提供解题的工具2. 高考主要涉及的题型：(1) 以平面向量为工具，进行三角恒等变换运算；(2) 以平面向量为工具，进行解三角形运算；(3) 利用平面向量解决几何问题，特别是三角形问题1. 设向量a(cos 10，sin 10)，b(cos 70，sin 70)，则|a2b|_答案：解析：|a2b|(cos 102cos 70，sin 102sin 70)|.2. 设向量a(cos ，1)，b(2，sin )，若ab，则tan()_答案：解析：由已知可得ab2cos sin 0， tan 2，tan().3. 在ABC中，点M是边BC的中点，|4，|3，则_答案：解析：()()(|2|2)(916).4. (2018株州模拟)在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是_答案：直角三角形解析：由()|2，得()0，即()0，20，所以，所以A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形,一) 平面向量与恒等变换,1) (2017镇江期末)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中(0，)，且mn.(1) 求cos 2的值；(2) 若sin()，且(0，)，求角的大小解：(1) 由mn，得2cos sin 0，所以sin 2cos ，代入cos2sin21，得5cos21，且(0，)，则cos ，sin ，则cos 22cos212()21.(2) 由(0，)，(0，)，得(，)因为sin()，所以cos().则sin sin()sin cos()cos sin().因为(0，)，则.点评：平面向量与三角函数综合问题的求解主要利用向量数量积运算的坐标形式，多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值问题相结合，计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点(2018南通中学月考)已知向量a，b，且x.(1) 求ab及|ab|；(2) 若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值解：(1) abcoscossinsincos 2x. ab， |ab|2|cos x|. x， cos x0， |ab|2cos x.(2) f(x)cos 2x2cosx2cos2x2cos x12. x， cos x1， 当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.,二) 平面向量与解三角形,2) (2018苏州暑假测试)在平面直角坐标系中，设向量m(cos A，sin A)，n(cos B，sin B)，其中A，B为ABC的两个内角(1) 若mn，求证：C为直角；(2) 若mn，求证：B为锐角证明：(1) 易得mn(cos Acos Bsin Asin B)cos(AB)因为mn，所以mn0，即cos(AB)cos. 因为0AB，且函数ycos x在(0，)内是单调减函数，所以AB，即C为直角. (2) 因为mn，所以cos A(sin B)sin Acos B0，即sin Acos B3cos Asin B0. 因为A，B是三角形内角，所以cos Acos B0，于是tan A3tan B，因而A，B中恰有一个是钝角，所以AB，从而tan(AB)0，即证B为锐角. 注：(2) 解得tan A3tan B后，得tan A与tan B异号， 若tan B0，则tan Ctan(AB)0，即证B为锐角(2018淮安期中)设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.向量m(a，b)，n(sin B，cos A)，且mn.(1) 求A的大小；(2) 若|n|，求cos C的值解：(1) 因为mn，所以mn0，即asin Bbcos A0. 由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A0.在ABC中，B(0，)，sin B0，所以sin Acos A. 若cos A0，则sin A0，矛盾若cos A0，则tan A.在ABC中，A(0，)，所以A.(2) 由(1)知，A，所以n .因为|n|，所以.解得sin B(负值已舍)因为sin B，所以0B或B.在ABC中，又A，故0B，所以cos B0.因为sin2Bcos2B1，所以cos B.从而cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B.,三) 利用向量解与三角形有关的问题,3) (2018南京学情调研)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，则实数_答案：解析：，()(1)，所以(1)22(12)1912，所以.如图，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，求的取值范围解：设BAO，(0，90)，则B(0，2sin )，C(2cos 2cos(120)，2sin(120)，则(0，2sin )(2cos 2cos(120)，2sin(120)2sin 2sin(120)2sin cos 2sin22sin(230)1.因为(0，90)，所以(0，31. (2018浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是_答案：1解析：设e(1，0)，b(x，y)，则b24eb30x2y24x30(x2)2y21, 如图，a，b，其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，AOx.min11.(其中CDOA)2. (2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b3，6，SABC3，求A和a的值解：因为6，所以bccos A6.又SABC3，所以bcsin A6.因此tan A1.又0A0，所以cos B.又B(0，)，所以B.(6分)(2) 因为|，所以|，即b.(7分)根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)(10分)故ABC的面积Sacsin B，即ABC面积的最大值为.(14分)1. 已知向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x，3)(0)，函数f(x)ab的图象与直线y2相邻两个交点之间的距离为.(1) 求的值；(2) 求函数f(x)在0，2上的单调增区间解：(1) 因为向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x，3)(0)，所以函数f(x)ab4sin(x)cos x4()sin xcos xcos x2cos2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2x2cos(2x).由题意可知f(x)的最小正周期为T，所以，即1.(2) 由(1)知f(x)2cos(2x)，当x0，2时，2x，4，故2x，2或2x3，4时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为，和，2. 已知ABC的周长为6，|，|，|成等比数列，求：(1) ABC面积S的最大值；(2) 的取值范围解：设|，|，|依次为a，b，c，则abc6，b2ac.在ABC中，cos B，故有0B.又b，从而0b2.(1) Sacsin Bb2sin B22sin，当且仅当ac，且B，即ABC为等边三角形时面积最大，即Smax.(2) accos B(b3)227. a，b，c为ABC的边， acb，即(ac)2b2. abc6，b2ac， b2(ac)24ac， b2(6b)24b2，b23b90， b.又 0b2， b2， (b3)225， 2(b3)227， 2，即的取值范围是.3. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知2，cos B，b3.(1) 求a和c的值；(2) 求cos(BC)的值解：