全国高考数学复习第八篇平面解析几何第6节曲线与方程习题理.docx

第6节曲线与方程【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1,12直接法求轨迹(方程)4,6,11定义法求轨迹(方程)3,7,9,13相关点法求轨迹(方程)2,5,10参数法求轨迹(方程)8基础对点练(时间:30分钟)1.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是(C)解析:原方程可化为或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选C.2.(2016银川模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(D)(A)2x+y+1=0 (B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0 (D)2x-y+5=0解析:设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得Q点的轨迹方程为2x-y+5=0.3.(2016湖南东部六校联考)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆+=1上,且满足|-|=2,则为(D)(A)-12 (B)12 (C)-9 (D)9解析:由|-|=2,可得点P(x,y)的轨迹是以两定点A,B为焦点的双曲线的上支,且2a=2,c=2,所以b=,所以P的轨迹方程为y2-=1(y1).又P在椭圆+=1上,所以由解得则=(x,y+2)(x,y-2)=x2+y2-4=9+4-4=9,故选D.4.平面上有三点A(-2,y),B(0,),C(x,y),若,则动点C的轨迹方程是(A)(A)y2=8x(B)y2=-8x(C)y2=4x(D)y2=-4x解析:由题意知=(2,-),=(x,).因为,所以=0.得2x-=0得y2=8x.故选A.5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则PF1F2的重心G的轨迹方程为(C)(A)+=1(y0) (B)+y2=1(y0)(C)+3y2=1(y0)(D)x2+=1(y0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标公式可得即且y00,代入椭圆C:+=1,得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y0),故选C.6.已知|=3,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为原点,=+,则动点P的轨迹方程为(A)(A)+y2=1 (B)x2+=1(C)+y2=1 (D)x2+=1解析:设A(0,a),B(b,0),由|=3,得a2+b2=9.设P(x,y),由=+,得(x,y)=(0,a)+(b,0),所以又a2+b2=9,所以9y2+x2=9,即+y2=1,故选A.7.ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是.解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6,根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x3).答案:-=1(x3)8.(2015聊城一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中tR,则点C的轨迹方程是.解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.答案:y=2x-29.导学号 18702484设动圆C与两圆C1:(x+)2+y2=4,C2:(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为 .解析:设圆C的圆心C的坐标为(x,y),半径为r,由题设知r2,于是有或所以|CC1|-|CC2|=4,A1(-,0),A2(,0),则有直线A1P的方程为y=(x+), 直线A2Q的方程为y=(x-), 联立,解得所以所以x0,且|x|0,y0)(B)x2-3y2=1(x0,y0)(C)3x2-y2=1(x0,y0)(D)3x2+y2=1(x0,y0)解析:设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.(*)点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将(*)代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).11.导学号 18702486已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若=,其中为常数,则动点M的轨迹不可能是(C)(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线解析:以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0).因为=,所以y2=(x+a)(a-x),即x2+y2=a2,当=1时,动点M的轨迹是圆;当0且1时,动点M的轨迹是椭圆;当0时,动点M的轨迹是双曲线;当=0时,动点M的轨迹是直线.综上,动点M的轨迹不可能是抛物线.故选C.12.(2015东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1).映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是(D) 解析:当P沿AB运动时,x=1,设P(x,y),则(0y1)所以y=1-(0x2,0y1).当P沿BC运动时,y=1,则(0x1),所以y=-1(0x2,-1y0),由此可知P的轨迹如D所示,故选D.13.导学号 18702487已知定点F(3,0)和动点P(x,y),H为PF的中点,O为坐标原点,且满足|OH|-|HF|=2.(1)求点P的轨迹方程;(2)过点F作直线l与点P的轨迹交于A,B两点,点C(2,0).AC,BC与直线x=分别交于点M,N.试证明:以MN为直径的圆恒过点F.解:(1)取F(-3,0),连接PF,因为|OH|-|HF|=2,所以|PF|-|PF|=4,点P的轨迹是以F,F为焦点的双曲线的右支,所以a=2,c=3,所以b2=c2-a2=9-4=5,所以点P的轨迹方程为-=1(x2).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(,m),N(,n),直线l方程为x=ty+3,联立整理得(5t2-4)y2+30ty+25=0,因为A,C,M三点共线,所以=,所以m=-,同理n=-.M(,-),N(,-),=(-3,-)(-3,-)=+=+=+=+=+(-)=-=0.所以FMFN,即MFN=90,所以以MN为直径的圆恒过点F.好题天天练1.(2016泉州模拟)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是(B)(A)x+y=5 (B)x2+y2=9(C)+=1 (D)x2=16y解题关键:先确定M的轨迹,再研究各选项与M的轨迹的交点情况,即可得结论.解析:因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x4).A.直线x+y=5过点(5,0),满足“好曲线”定义;B.x2+y2=9圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足“好曲线”定义;C.+=1的右顶点(5,0)满足“好曲线”定义;D.将方程x2=16y代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,此方程有解,满足“好曲线”定义.故选B.2.坐标平面上有两个定点A,B和动点P,如果直线PA,PB的斜率之积为定值