关于圆锥曲线切线问题的一些思考(东南大学,徐文平).doc

椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理徐文平（东南大学 南京210096）摘要：针对椭圆内接四边形开展极点与极线问题研究，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，即椭圆内接四边形的对边延伸线交点调和分割对角线极点。运用极点与极线的知识，并采用椭圆问题化圆处理方法，进行了新定理的简单证明。关键词：椭圆切线、内接四边形、极点与极线、调和分割、尺规作图椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。一、新定理的提出新定理1：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD2/AB。 图 1新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即ACCB。图 2二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。我们首先证明新定理在圆的情况下成立，然后采用坐标变换和坐标旋转方法，可以快速地证明新定理在椭圆情况下也成立。如图3，圆O内接四边形KLMN，对边KN与LM交于A，对边KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点。将极点C、B关于圆O的切线延伸交叉，构成圆O的外切四边形EHFG，连接F、Q、E、B四点连线，连接A、G、Q、H四点连线。运用经典几何定理以及射影几何的极点极线知识进行新定理证明，具体步骤如下：1） 需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；2） 需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；3） 需证明GD、CH、FB三线共点于E点；4） 需证明A、B、C、D四点是调和点列。 图 3定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足，则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。图 4调和点列的等价判定形式：(1)点A、B调和分割线段CD；(2) ；（3）引理1： 从圆O外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线与圆的交点，弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。图 5假设N点为AB的中点，分析得知，ABON，Q、M、N、O四点共圆，POT与PMT是相似三角形， ；或 PQ调和分割AB。定义2：如图5，P点称为ST切点弦线关于圆O的极点，ST切点弦线称为P点关于圆O的极线，极点与极线是相互对应的。引理2：从圆O外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，与圆交于 A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC交于Q点，AC与BD延伸交于R点，则 S、T、Q、R四点共线。 图 6如图6，联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。 欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理, 只须证明 PBDPCA，PTCPDT，PASPSB，则 ， ， 又 ， 因此，BC、AD、ST三线共点，S、Q、T三点共线，Q点在以P点为极点的ST极线上。 在三角形RCD中，假设M点为RQ与CD的交点， 由赛瓦定理得： RCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得： 将上面两个式子相乘得:即： 或 CD被PM调和分割，同时PM也被CD也调和分割。依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线，M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。定义3：如图6，依据射影几何知识，可以证明三角形PQR每个顶点是其对边的极点。即：P点是QR的极点，R点是QP的极点，Q点是PR的极点，PQR称为自配极三角形。引理3（帕斯卡定理）：设六边形ABCDEF内接于椭圆，直线AB与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线。如图7，当椭圆内接六边形ABCDEF在两处各有2个顶点重合，即当B（C）点重合，E（F）点重合，椭圆内接六边形ABCDEF退化为椭圆内接四边形AB（C）DE（F），BY与EY退化为切线，帕斯卡定理仍然成立，即圆内接四边形的对边两交点与对角线极点共线。图 7 引理4（布列安桑定理）：布列安桑定理是一个射影几何中的著名定理，是帕斯卡定理的对偶定理，它断言圆锥曲线外切的六边形的三条对角线共点。图 8引理5（牛顿定理3）：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。图 9证明一：牛顿定理3是布列安桑定理的一个特殊情况，即当圆的外切六边形的一组对角顶点的内角为180时，这一组对角点转化为两个切点，牛顿定理3成立。证明二：如图9，AD与QS交于M点，设AD与PR交于点，证明点M与点重合。 由切线性质，知ASMBQM，则 即： 同理可得： ， 由合比定理得，M与点重合。即知AD、PR、QS三线共点。同理可知BF、PR、QS三线共点，所以直线AD、BF、PR、QS四线共点，牛顿定理3成立。引理6：如图10，MA和MB是圆O的切线，M点是AB弦线的极点，P是直线AB上的一点，则。图 10联接MO交AB于点K，则有： 即 则 引理7：如图11，圆O的外切四边形ABCD，外切点为E、F、G、H四点，EH、FG相交于P点，则OPAC，即AC是P点的极线。图 11证明一：AE、AH是A点关于圆O的切线，EH是A点的极线，所以P、A两点共轭，同理P、C两点共轭，故AC是P点的极线，所以OPAC。证明二：要证明OPAC，依据等差幂线定理，只需证明由引理6得： ， OPAC，即AC是P点关于圆O的极线。引理8 (麦克马林定理)：如图12， 假设K、L、M、N四点是圆O的外切四边形FGEH的4个切点，圆O的内接四边形KLMN的对角线KM、LN相交于Q点，则F、Q、E、B四点共线，A、G、Q、H四点共线。图 12证明：由牛顿定理3可知，LN、KM、FE三线共点于Q，则F、Q、E三点共线。 依据引理6、7可知，FQE是A点关于圆O的极线。依据引理2和定义3可知，QB也是A点关于圆O的极线。因此，F、Q、E、B四点共线，麦克马林定理成立。同理可知，A、G、Q、H四点也共线。新定理证明：依据前面的引理的推导分析，可以构造出图13，新定理证明如下：图 13如图13，椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点。K、L、M、N四点为椭圆外切四边形EHFG的四个切点，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。由帕斯卡定理，依据引理3，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。由牛顿定理，依据引理5可知，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。由麦克马林定理，依据引理6、7、8可知，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线。又依据引理2和定义3可知，QB也为A点关于椭圆的极线。因此，F、Q、E、B四点共线。同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。图14中，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，AQB为自配极三角形。推理分析图14可知，FCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，由赛瓦定理得： FCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得： 由上面两个式子得: 整理得： 或 A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理1证明成立。 由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ调和分割GH，当LN通过椭圆圆心，极点D在无穷远处，依据调和点列性质可知，此时，新定理2也成立。三、新定理的运用例1（过椭圆上一点作切线）：已知椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、A是椭圆Y的象限点，作JA、BK延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。证明：依据新定理2，可快速进行证明。图 14例2（椭圆内割线找极点）：已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点， N点就是AB割线关于椭圆的极点，连线NA、NB与椭圆相切。图 15 证明一：椭圆内接四边形AKBJ的其中一条对角线JK通过椭圆圆心，N点为EF的中点，依据新定理2，N点就是AB的极点，NA、NB与椭圆相切。AB与JK交于Q，EQF为自配极三角形，因为极点Q在水平向x轴上，Q点的极线EF必定与水平轴垂直。证明二：也可采用坐标线性变换，椭圆切线问题化圆处理，简化证明方法。图 16如图16，在JEF中，由于JK为圆O的直径，且A、B、J、K四点共圆，AKJE，BKJF，K点是EFF垂心，那么 JKEF，EF为竖向直线。AFJE，BEJF，A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。N点为EF的中点，N点为圆心，易知 FANNFAEBAKJAJAO，OANOAKFANOAKJAOJAK90，NAOA ，直线NA与圆O相切。同理可知：直线NB与圆O相切于B点，N点就是AB的极点。综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性。那么将图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，即证明新定理2 成立。分析可知，OQEF， A、K、E、M四点共圆，K、B、F、M四点也共圆，所以M点是完全四边形ABJKEF的密克尔点。例3：（极点极线与密克尔点）：M点是完全四边形ABCDEF的密克尔点，ABCD四点共圆，对角线AC、BD交于Q，圆O内接四边形ABCD的AB、DC对边延伸交于E，BC、AD对边延伸交于E，连线EF是Q极点关于圆O的极线，则M点必定在极线EF上，且O、Q、M三点共线，OMEF。图 17上例2中，图16是本例的一种特殊情况，当对角线通过圆心时，证明本结论非常简单。如图17，极点Q与EF极线是对应关系，即极点Q决定了EF极线位置，与对角线方向位置变化无关。由极点与极线性质可知，OQEF。假如作BCE的外接圆与EF极线交于M点，A、B、C、D四点共圆， ADC=CBEB、C、E、M四点共圆， CBE=CMF ADCCMF， CMFCDF=180 D、C、M、F四点也共圆，所以EF极线上的M点是完全四边形ABCDEF密克尔点。要证明OMEF，可采用等差幂线定理，只需证明：依据圆的幂定义， ， OMEF，因为OQEF，所以O、Q、M三点共线，密克尔点M在极线EF上。参考文献：1李建华.射影几何入门M，科学出版社，2011.62张觉.过椭圆上一点作椭圆切线的一种方法J，数学通讯，2010.6 3徐峰.圆内接四边形的两个性质J，中学数学月刊，2011.74刘铮.椭圆与圆的变换关系应用J，数学通讯，2001.24 5沈文选.线段调和分割的性质及应用J，中学教研，2009.954椭圆切线尺规作图法及其简证徐文平（东南大学 南京210096）摘要：探讨了多种椭圆切线的尺规作图方法，在此基础上，发现了椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点的新定理。采用坐标线性变换方法，椭圆问题化圆处理，并运用极点与极线的知识，进行了椭圆切线尺规作图法的简单证明。关键词：椭圆切线、尺规作图、坐标线性变换、极点与极线、调和分割一、过椭圆上一点作切线方法1：已知椭圆Y和椭圆上一点A，以椭圆Y的长轴a为半径作圆G，过椭圆上已知点A做竖向垂线，与圆G相交于B点。过B点作圆G的切线T1，相交水平x轴于N点，连接N点与椭圆上A点，直线NA就是所求的椭圆切线T2。证明：依据坐标线性变换原理，令 , ，椭圆Y转换为圆G，椭圆上A点转换到圆上切点B。切线T1与圆G相切于B点，只有唯一解，坐标线性变换后，直线NA与椭圆Y也只有唯一解，即直线T2与椭圆Y相切于A点。图 1方法2：过椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、K是椭圆Y的象限点，JA、BK两条延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。图 2证明：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简易证，如果将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。如图3， CNKKAC90，A、C、N、K四点共圆，易知 KANKCNCBAKJAJAO。OANOAKKANOAKJAOJAK90，NAOA ，直线NA与圆G相切。图 3采用坐标线性变换方法，圆G转换为椭圆Y，圆切线转换为椭圆切线，分析得知，对于过椭圆上一点的作切线问题，方法2也成立。图 4方法3：椭圆的斜向割线AB，作JA、 BK延伸线相交于C点。直线AB1与A1B相交于D点，过D点的水平线与过C点的竖向垂线相交于N点。NA就是椭圆的切线。图 5证明：首先证明过圆上一点作切线的方法3成立，然后证明对于椭圆方法3也成立。 图 6 如图7，过椭圆外一点P作两条切线，S、T为切点，依据极点与极线知识，点P为极点，切线弦ST为极线。采用赛瓦定理可以证明，S、D、T三点共线。图 7如图8，圆O的割线AB与水平x轴交于Q点，割线AB与竖向y轴交于P点，从点P作两条切线，S、T为两个切点，切点弦ST为点P关于圆O的极线，J、K是圆O的象限点，直线JA与BK交于E点，直线JB与AK交于F点，ST与直线EF相交于N点。则STEF，且交点N点平分竖向直线EF。现证明如下：图 8在JEF中，由于JK为圆O的直径，且A、B、J、K四点共圆，AKJE，BKJF，K点是EFF垂心，那么 JKEF，EF为竖向直线，水平直线STEF。设O圆的方程为，直线AB的方程为（），容易得出，点坐标，。设与圆交于点，则他们满足方程组 （1）依据极点与极线知识，EFQ是典型的自配极三角形，直线EQ为点F对应的极线，直线FQ为点E对应的极线。对于EOF分析可知，极点E与圆心O的连线EO必定与极点E的对应极线FQ垂直，即EOFQ,，同理，FOEQ ，Q点是EOF的垂心。圆O方程为：，则圆外任意一点对应的极线方程为： （2）设极点 ，EF是竖向垂线，则：极点 对应的极线FQ方程 (3)则：极点 对应的极线EQ方程 (4)极线EQ与极线FQ交于点Q，且坐标已知，由（3）或（4）式，可得： (5)可以解得N点坐标： 通过坐标点，作直线JA和AK直线，直线JAE方程为: (6)直线AKF方程为: (7)将(5)式代入（6）、（7）式得： （8）其中： ，则 （恒定值） （9）坐标点，则竖向垂线EF中点N坐标为，水平直线STN与垂直线EF的交点为，与坐标重合，水平直线STEF，且交点N点平分竖向直线EF。事实上，想要证明过圆上一点作切线的方法3的正确性，就必须证明图9中直线NA与圆O相切。图 9AFJE，BEJF，A、B、F、E四点共圆，且以N点圆心，易知 FANNFAEBAKJAJAO，OANOAKFANOAKJAOJAK90，NAOA ，直线NA与圆O相切。同理可知：直线NB与圆O相切于B点。综上所述，证明了过圆上一点作切线方法3的正确性。通过坐标线性变化方法，圆转化为椭圆，可以证明过椭圆上一点作切线方法3也是正确的。方法4：已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点， N点就是AB割线关于椭圆的极点，连线NA、NB与椭圆相切。图 10证明：可以采用坐标线性变换方法，椭圆切线问题化圆处理，先证明圆的情况下命题成立，然后证明椭圆的情况也成立，以便简化证明方法。图 11如图11，在JEF中，由于JK为圆O的直径，且A、B、J、K四点共圆，AKJE，BKJF，K点是EFF垂心，那么 JKEF，EF为竖向直线。AFJE，BEJF，A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。N点为EF的中点，N点为圆心，易知 FANNFAEBAKJAJAO，OANOAKFANOAKJAOJAK90，NAOA ，直线NA与圆O相切。同理可知：直线NB与圆O相切于B点，N点就是AB的极点。综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性，在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，方法4命题成立。方法5：已知椭圆Y的一斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK，与椭圆Y相交于J、K两点。JA、BK交于E点，作AK、JB交于F点。确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。图 12证明：在方法4中，已经证明，圆内接四边形的其中一条对角线通过圆心，则另一条割线的极点必定位于圆内接四边形的二组对边延伸线交点连线的中点。那么将圆图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。在此基础上，采用坐标变换方法，圆的切线问题转化为椭圆切线问题，那么作切线方法仍然成立，方法5命题成立。二、过椭圆外一点作切线方法1：虚拟椭圆法已知椭圆Y1和椭圆外一点A，以椭圆Y1的长轴a为半径作圆G1，过A点做竖向垂线L1，与水平轴相交于C点，在竖向垂线L1截取一点B，使得，过B点，作小圆G1的切线T1，相交于圆G1于切点D，相交于水平轴于N点，连接N点与A点连线，NA即所求小椭圆Y1的切线T2。图 13证明：分析可知，圆G1和G2是同心圆，椭圆Y1和Y2是离心率相同的同心椭圆，A点在虚拟大椭圆Y2上，B点在虚拟同心圆的大圆G2上。采用坐标线性变换方法，椭圆切线问题转化为圆切线问题。过B点，作同心小圆G1的切线T1，相交于小圆Y1于切点D，相交于水平轴于N点。NB切线与小圆G1相切，只有唯一解，坐标线性变换后，NA直线与小椭圆Y1也只有唯一解，即NA与小椭圆Y1相切，切线T2与椭圆Y1相交于切点E。方法2：极点与极线法1）勒姆柯尔方法勒姆柯尔过椭圆外一点P，引四条割线PAiBi（i=1,2,3,4）,直线A1B2与A2B1 交于Q点，直线A3B4与A4B3交于R点，直线Q R交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的两个切点，直线PS、PT就是所求的切线（图14）。 图 14 图 15 图 162）舒马赫方法大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。（图15）。3）高斯方法高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。就可以作椭圆切线的简捷方法（图16）。证明：高斯等三位大数学家的过椭圆外一点作切线方法，其实质就是利用P极点与ST极线对应的关系，以P极点寻找ST极线上的两个点 Q与R，连接Q与R连线并延伸与椭圆相交，交点S与T就是两个切点。对于这个命题，可以采用坐标线性变化方法，椭圆切线问题化为圆处理，并运用极点与极线知识，进行S、T、Q、R四点共线的特性证明，证明如下：引理1： 从圆外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线与圆的交点，切点弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。 图 17 如图17，假设N点为AB的中点，分析得知，ABON，Q、M、N、O四点共圆，则 POT与PMT是相似三角形， 或 PQ调和分割AB。引理2：从圆外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，与圆交于 A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC直线交于Q点，AC与BD延伸交于R点，则 S、T、Q、R四点共线。 图 18联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。 欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理, 只须证明 PBDPCA，PTCPDT，PASPSB，则 ， ， 又 ， 因此，BC、AD、ST三线共点, S、Q、T三点共线。 在三角形RCD中，假设M点为RQ与CD的交点， 由赛瓦定理得： RCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得： 将上面两个式子相乘得:即： CD被PM调和分割，同时PM被CD也调和分割。依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线,M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。引理3(侯明辉三割线定理)： PAB、PCD为过椭圆外一点P引出的两条任意割线，AD与BC交于Q，直线PQ交椭圆于E、F，则PQ调和分割EF，即1/PE+1/PF=2/PQ。由引理2可知，AD与BC交于Q，则Q点在以P点为极点的ST极线上。由引理1可知，因为Q点在ST极线上，则PQ调和分割EF。因此，对于在圆的情况下，三割线定理成立。依据坐标线性变换原理，令 , ，圆转换为椭圆，直线段仅是线性变换其位置，线段比例关系不变，因此，对于在椭圆的情况下，三割线定理也成立。图 19三、椭圆极点与极线的性质徐文平新定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD2/AB。 图 20证明：如图21，椭圆外切四边形EHFG的四个切点为K、L、M、N，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。图 21由帕斯卡定理，将其椭圆内接六边形化简为椭圆内接四边形，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。由牛顿定理，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。由麦克马林定理，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线，由完全四边形KLMNAB性质可知，QB也为A点关于椭圆的极线，因此，F、Q、E、B四点共线。同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，AQB为自配极三角形。FCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，由赛瓦定理得： FCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得： 由上面两个式子得: ， 或 A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理证明成立。由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ也调和分割GH。由射影几何知识可得，D点为射影点，B、E、Q、F四点共线，BQ也调和分割EF。推理1：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。推理1是徐文平新定理的一种特殊情况，如图22，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即ACCB。图 22至此，本文过椭圆上一点作椭圆切线方法2、3、4、5有了快速证明的理论依据。参考文献：1吉众.椭圆的切线问题研究J，数理天地，2008.122张觉.过椭圆上一点作椭圆切线的一种方法J，数学通讯，2010.6 3熊星飞.椭圆问题圆处理J，中学数学教学，2004.44张子路.调和分割的基本性质及其应用初探J，中学数学研究，2009.75王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线J，中学数学教学，2006椭圆焦点弦的优美性质及其简证徐文平（东南大学 南京210096）摘要：针对椭圆焦点弦，发现了一组优美的性质，运用极点与极线的知识，进行了快速简捷证明。关键词：圆锥曲线、椭圆焦点弦、椭圆切线、极点与极线、调和分割文献1李康海老师发现了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质，读后深受启发。笔者感觉李老师的证明方法比较繁琐，通过思考，作者找到了快速简捷证明，并又发现了椭圆焦点弦的一些优美的性质，供大家参考。定理1：过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于P、Q点，点A、B为椭圆长轴上的顶点，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，点C为MN的中点，则有以下一些优美的性质。1） MFNF；2） MN的中点C为焦点弦PQ的极点，即PC、QC与椭圆相切；3） FCPQ；4） MF平分PFB角，NF平分QFB角。图 1 针对定理1中的4个性质，进行简捷证明，具体如下：性质1：假设，。设椭圆的方程为，直线PQ的方程为（），依据极点与极线的基本知识，MNF为自配极三角形，极点M与NF极线对应，极点N与MF极线对应，极点F与MN极线对应。椭圆外任意一点，对应的极线方程为：当椭圆焦点为极点时，极点F对应的MN极线方程为：，因此 ，。极点M对应的NF极线方程为： （1）由于M极点对应的NF极线通过点， 则： （2）整理得： （3）由（3）式可知，MNF满足直角三角形斜边上的高的平方等于它分斜边两部分的乘积的条件，所以MNF是直角三角形，所以MFNF。性质2：对于椭圆切线问题，可以先进行圆的切线命题证明，然后采用线性坐标压缩变换方法，证明椭圆情况下成立。如图2中，圆O的任意割线PQ与水平x轴交于F点，A、B是圆O的象限点，直线AP与BQ交于M点，直线AQ与BP交于N点，C点为直线MN的中点，则PC、QC为圆O的切线。图 2在AMN中，由于AB为圆O的直径，A、B、P、Q四点共圆，PBAM，QBAN，B点是AMN垂心，那么 ABMN，MN为竖向直线。PNAM，QMAN，P、Q、M、N四点共圆，且以MN为直径。C点为MN的中点，C点为圆心，易知 NPCCNPMQPBAPAPO，OPCOPBNPCOPBAPOAPB90，PCOP ，直线PC与圆O相切。同理可知：直线QC与圆O相切于Q点，MN的中点C点就是PQ的极点。在此基础上，采用线性坐标压缩变换方法，圆转化为椭圆，圆的切线就转化为椭圆切线。如图1，MN的中点C为PQ的极点，即PC、QC与椭圆相切，性质2成立。性质3：如图3，延伸PQ与y轴交于R点，在射影几何中，则点R、C调和共轭。图 3设椭圆的方程为，直线PQ的方程为（），可得： ，R点的极线方程为：即 ，依据极点与极线知识可知，点R的极线通过C点，则点则： 直线PQ的方程可以变换为 ： ， 则： ， FCPQ，因此，性质3成立。性质4：在图3中，又 MFNF，FMN为直角三角形，则：，FCPQ，可知PQ与FMN的外接圆C相切，则：弦切角PFMFNM， FNMMFBPFM，因此：MF平分PFB角，同理NF平分QFB角，性质4成立。定理2：过椭圆一个焦点F的任意两条焦点弦PQ与AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，点C为PQ的极点，点D为AB的极点，则有以下一些优美的性质。1)MF平分PFB角，NF平分QFB角。2)MFNF；3)FCPQ，FDAB；4)CD调和分割MN，即1/NC+1/ND2/NM。图 4针对定理2中的4个性质，进行简捷证明，具体如下：性质5：PQ、AB为两条椭圆焦点弦，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，则FM平分PFB角，FN平分QFB角。图 5如图5，由A、P点分别作水平线与F焦点的极线MN交于A1、P1 ，由椭圆第二定义可得： ， 因此， 又因为 MPP1MAA1相似由三角形外角平分线定理可知，则FM平分PFB角。同理，FN平分QFB角。性质6：如图5中，PQ、AB为两条椭圆焦点弦，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，连接MF和NF线段，则MFNF。 由性质7可知，MFBMFP，NFBNFQ所以，MFNF。性质7：椭圆的极点与极线是对应的，在图4中，焦点F不变，点F的极线MN位置不变。PQ位置不变，PQ的极点C位置不变，即FCPQ。同理可知，FDAB。引理15：如图6，若下列命题中任意两个为真, 则第三个也对A、B、C、D成调和点列XB是AXC的内角平分线；XBXD。图 6性质8：如图4，已证明MF平分PFB角,则：MFBMFP前面已经证明，FCPQ，FDAB，则：CFM90MFP90MFBDFM90MFB90MFP CFM DFM 前面已经证明，MFNF，如图4，符合引理1的二个条件 M、N、C、D是调和点列，CD调和分割MN，性质8成立。参考文献：1李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质J，数学通报，2001.52张觉.过椭圆上一点作椭圆切线的一种方法J，数学通讯，2010.6 3李建华.射影几何入门M，科学出版社，2011.64王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线J，中学数学教学，2006.65金磊.交比调和点列阿波罗尼斯圆极线极点J，中学数学，2011.3 圆锥曲线切线的尺规作图法及其简证徐文平（东南大学 南京210096）摘要：依据极点与极线的基本知识，探讨圆锥曲线切线的性质，提出了圆锥曲线切线的尺规作图简明方法，完全解决了椭圆、双曲线和抛物线的切线尺规作图问题，并给出了简单证明。关键词：圆锥曲线切线、椭圆、双曲线、抛物线、尺规作图、极点与极线近年来 ，一些学者提出了的借助焦点的圆锥曲线切线的几何作图法，但其实用性不强。本文依据圆锥曲线的极点与极线的性质，针对圆锥曲线上一点或圆锥曲线外一点作切线的两种情况，提出了圆锥曲线切线的尺规作图简明方法，完全解决了椭圆、双曲线和抛物线切线的尺规作图问题，供大家鉴析。下面以引理的形式给出圆锥曲线中极点与极线的两个重要结论：引理1：椭圆，则点对应的极线方程为：；双曲线，则点对应的极线方程为：；抛物线，则点对应的极线方程为：引理2：圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于P相应的极线。反之亦然，称为极点与相应极线对偶性。一、过圆锥曲线上一点作切线命题1：已知椭圆的斜向割线AB，点J、K是椭圆的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。图 2证明：假设割线AB与x轴交于Q点，割线AB与y轴交于P点。由帕斯卡定理可知，E、N、F三点共线。由圆锥曲线的极点与极线知识可知，EQF为自配极三角形，极点E与QF极线对应，极点F与QE极线对应，极点Q与EF极线对应。设椭圆的方程为： ， （1）直线PQ的方程为： （2）假设点坐标，易知： ，由于P、A、Q、B四点共线，所以四点的极线交汇共点于N点。P点的极线方程为：， 即：Q点的极线方程为：，即：则坐标N点为： 。假设： ，极点 ，则：极点 对应的极线FQ方程： (3)则：极点 对应的极线EQ方程： (4)极线EQ与极线FQ交于点Q，且坐标已知，由（3）或（4）式，可得： （5）EF是竖向垂线。通过坐标点，作直线JA和AK直线，直线JAE方程为: (6)直线AKF方程为: (7)将(5)式代入（6）、（7）式得： 其中： ，则 （8）竖向垂线EF中点坐标为，与坐标重合，命题成立。命题2：已知双曲线的斜向割线AB，点J、K是双曲线的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是双曲线的切线。证明：可采用类似椭圆切线证明方法，略。 图 2 命题3：已知抛物线的斜向割线AB，点J是抛物线的顶点，JA与B点竖垂线交于F点，JB与A点竖垂线交于E点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是抛物线的切线。图 3证明：假设直线AB与y轴交于Q点。由圆锥曲线的极点与极线知识可知，EQF为自配极三角形，极点E与QF极线对应，极点F与QE极线对应，极点Q与EF极线对应。设抛物线的方程为： ， （9）割线AB的方程为： （10）假设点坐标, 由图3可知：点为E，F的中点，由于A、Q、B三点共线，所以三点的极线交汇共点于N点，Q点的极线方程为：则：，即： ，则坐标N点为： 。假设：极点 ，则：极点 对应的极线FQ方程： (11)则：极点 对应的极线EQ方程： (12)极线EQ与极线FQ交于点Q，且坐标已知，由（11）或（12）式，可得： ， EF是水平线。 假设： 抛物线上点坐标 ，则： ，A点切线方程为: (13)B点切线方程为: (14)抛物线A、B点切线相交于点由于（13）-（14）式得： (15)则EF中点坐标为，与坐标A、B点切线相交于点坐标重合，命题成立。二、过圆锥曲线外一点作切线采用射影几何思想用于圆锥曲线，可得到许多新颖的结果。大数学家笛沙格采用一种有效的方法投射取截法来实现二次圆锥曲线的连续变化。只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲。因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次圆锥曲线也成立这就提供了一种相当简便的方法。从圆锥曲线外一点P作切线，关键是想办法寻找P点极线上的两个点，圆锥曲线的切线问题也就迎刃而解了。引理3：二次圆锥曲线的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。命题4：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。 图 4证明：由圆锥曲线的极点与极线知识可知，PQR为自配极三角形，极点P与QR极线对应，极点R与QP极线对应，极点Q与PR极线对应。因此，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。本命题也可以采用初等几何证明，首先采用赛瓦定理和梅涅劳斯定理，证明圆的情况下本命题成立。然后，采用坐标线性压缩变换原理，证明椭圆情况下命题也成立。命题5：已知双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，PS、PT就是双曲线的切线。证明：采用圆锥曲线的极点与极线知识，类似椭圆方法，可以证明命题成立，略。图 5命题6：已知抛物线外一点，过P点作PAB与PCD二条任意抛物线割线，AD、CB交于Q点，在y轴上确定一点，连线QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。图 6证明：依据圆锥曲线的极点与极线知识可知，抛物线内接四边形ABCD的对角线AD、CB交点Q在P的极线上。抛物线方程为，则点对应的极线方程为：，则点满足P的极线方程，R点也在P的极线上，QR为P的极线，命题成立。命题7：已知抛物线外一点，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作竖向垂线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作竖向垂线与AC交于Q点。在y轴上确定一点，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。图 7证明：点满足P的极线方程，R点在P的极线上。依据射影几何理论，抛物线封闭于无穷远点处，本命题中抛物线内接四边形ABCD中的D点在无穷远处，四边形ABCD的对角线BD退化为一条竖向垂线而已。过B点作竖向垂线与AC交于Q点，Q点也在P的极线上。QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线，命题成立。命题8：已知抛物线外一点，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。在x轴上确定一点，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。证明：采用类似命题7方法，可以证明命题成立，略。图 8参考文献：1刘瑞美.与圆锥曲线切线有关的几个结论及其应用J，中学数学研究，2009.11 2郑新春、连春兴.关于圆锥曲