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课时达标检测(四十五) 椭 圆练基础小题强化运算能力1已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0),则m()A2 B3 C4 D9解析:选B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5,所以25m216,解得m3或3.又m0,故m3.2在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(1,0)的距离与P到定直线x4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选B设点P(x,y),由题意知,化简得3x24y212,所以动点P的轨迹C的方程为1,故选B.3已知椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在y轴上,离心率为,过点F2的直线交椭圆C于M,N两点,且MNF1的周长为8,则椭圆C的焦距为()A4 B2 C2 D2解析:选C由题意得|MF1|NF1|MN|MF1|NF1|MF2|NF2|(|MF1|MF2|)(|NF1|NF2|)2a2a8,解得a2,又e,故c,即椭圆C的焦距为2,故选C.4如图,椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,F1PF2120,则a的值为()A2 B3 C4 D5解析:选B由题可知b22,则c,故|F1F2|2,又|PF1|4,|PF1|PF2|2a,则|PF2|2a4,由余弦定理得cos 120,化简得8a24,即a3,故选B.5椭圆1(ab0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为_解析:由题意可知e,2b4,得b2,解得椭圆的标准方程为1.答案:1练常考题点检验高考能力一、选择题1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则椭圆C的方程是() A.1 B.1C.1 D.1解析:选D依题意,设椭圆方程为1(ab0),所以解得a29,b28.故椭圆C的方程为1.2椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2解析:选A由题意可得2|F1F2|AF1|F1B|,即4cacac2a,故e.3已知圆C1:x22cxy20,圆C2:x22cxy20,椭圆C:1(ab0),若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析:选B圆C1,C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0),上顶点(c,c)在椭圆内部,只需又b2a2c2,0.即椭圆离心率的取值范围是4已知椭圆1(ab0)上的动点到焦点的距离的最小值为1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切,则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.y21 D.1解析:选C由题意知ac1,又b1,由得a22,b21,故c21,椭圆C的方程为y21,故选C.5已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点若|AF|BF|4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析:选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a2(|AF|BF|)8,所以a2.又d,所以1b2,所以e .因为1b2,所以0e.6已知F1,F2为椭圆C:1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点, 的最大值、最小值分别为()A9,7 B8,7 C9,8 D17,8解析:选B由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1,0),F2(1,0),设E(x,y),则(1x,y),(1x,y),x21y2x218x2x27(3x3),所以当x0时,有最小值7,当x3时,有最大值8,故选B.二、填空题7若椭圆的方程为1,且此椭圆的焦距为4,则实数a_.解析:由题可知c2.当焦点在x轴上时,10a(a2)22,解得a4.当焦点在y轴上时,a2(10a)22,解得a8.故实数a4或8.答案:4或88点P是椭圆1上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为_解析:由题意知,|PF1|PF2|10,|F1F2|6,SPF1F2(|PF1|PF2|F1F2|)1|F1F2|yP3yP8,所以yP.答案:9已知椭圆1(ab0)的离心率等于,其焦点分别为A,B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在ABC中,的值等于_解析:在ABC中,由正弦定理得,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|CB|2a,而|AB|2c,所以3.答案:310.如图,椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为_ 解析:设椭圆的方程为1(ab0),B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,b)(c,b)0,即b2ac,则a2c2ac,故210,即e2e10,e或e,又0e1,所以e1.答案:三、解答题11如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值解:设椭圆的焦距为2c,则F1(c,0),F2(c,0)(1)因为B(0,b),所以BF2a.又BF2,故a,即a22.因为点C在椭圆上,所以1,解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为,直线AB的斜率为,且F1CAB,所以1.结合b2a2c2,整理得a25c2.故e2.因此e(负值舍去)12.已知椭圆E:1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x2)2(y1)2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bxcybc0,则原点O到该直线的距离d,由dc,得a2b2,解得离心率e.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M(2,1)是线段AB的中点,且|AB|.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk(
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