2018_2019高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用学案苏教版.docx

3.4.2基本不等式的应用学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识点用基本不等式求最值思考因为x212x，当且仅当x1时取等号所以当x1时，(x21)min2.以上说法对吗？为什么？答案错显然(x21)min1.x212x，当且仅当x1时取等号仅说明曲线yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错梳理基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是非负数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足1当a0，b0时，有.()2由于sin2x24，所以sin2x的最小值为4.()类型一基本不等式与最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0x2，求x的最小值；(4)已知x0，y0，且1，求xy的最小值考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解(1)当x0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时，取等号函数yx(x0)在x2处取得最小值4.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立，函数y4x(32x)的最大值为.(3)x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6.(4)方法一x0，y0，1，xy(xy)1021061016，当且仅当，1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)由1可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时，上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为非负数；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备跟踪训练1(1)已知x0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时，取等号，f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，y0，x80，y，xyxx(x8)1021018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)1021018.当且仅当，即x2y12时，等号成立xy的最小值是18.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解(1)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy100，篱笆的长为2(xy) m.由，可得xy2，2(xy)40.当且仅当xy10时，等号成立所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xym2.由9，可得xy81，当且仅当xy9时，等号成立所以这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件跟踪训练2以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解如图，设RtABC的斜边AB2，ACb，BCa，CD为斜边上的高，则CD，且a2b24.则以AB所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为VCD2ADCD2DBCD2AB22(ab)2.由a2b24与a2b22ab得ab2，当且仅当ab时，取“”所以V(ab)222.即当ab时，Vmax.此时该几何体的表面积为SCDACCDBCCD(ACBC)()2.即几何体的表面积为2.命题角度2生活中的最优化问题例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)900618009x1080921080910989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x1，x215，)，且x1x2.则9(x1x2)900(x1x2)(x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0，即y9x10809在15，)上为增函数当x15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解跟踪训练3一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100时，等号成立，所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.1已知0x1，则f(x)2log2x的最大值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案22解析当0x1时，log2x2得，f(x)1.当且仅当x2，即x3时等号成立，f(x)min1.3将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，则直角三角形周长的最小值为_m.考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案42解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab242当且仅当ab且ab4，即ab2时，取等号，周长最小值为42.4设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析由题意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因为a0，b0，所以(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立1用基本不等式求最值：(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答一、填空题1已知x1，y1且lgxlgy4，则lgxlgy的最大值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析x1，y1，lgx0，lgy0，lgxlgy24，当且仅当lgxlgy2，即xy100时取等号2已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析点P(x，y)在直线AB上，x2y3，2x4y224.当且仅当2x4y，即x，y时，等号成立3函数ylog2(x1)的最小值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案3解析x1，x10，x5x16268，当且仅当x1，即x2时，等号成立log23，ymin3.4已知a0，b0，ab2，则y的最小值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案解析ab2，1.2，故y的最小值为.5若xy是正数，则22的最小值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析22x2y21124，当且仅当xy或xy时，取等号6已知直线axbyc10(b0，c0)经过圆C：x2y22y50的圆心，则的最小值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案9解析将圆C：x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因为b0，c0，所以24，当且仅当时，等号成立由此可得b2c且bc1，即b，c时，取得最小值9.7周长为1的直角三角形面积的最大值为_考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时，取等号，所以直角三角形的面积Sab，即S的最大值为.8某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案20解析总运费与总存储费用之和f(x)4x44x2160，当且仅当4x，即x20时取等号9设0x2，则函数y的最大值为_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案4解析0x2，03x20，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号当x时，y有最大值4.10设x1，则函数y的最小值是_考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案9解析x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值9.二、解答题11已知不等式x25axb0的解集为x|x4或x1(1)求实数a，b的值；(2)若0x1，f(x)，求函数f(x)的最小值考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解(1)依题意可得方程x25axb0的根为4和1，即(2)由(1)知f(x)，0x1，01x0，0，x(1x)5259，当且仅当，即x时，等号成立，f(x)的最小值为9.12某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4000平方米的楼房经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)300050x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)Q(x)50x3000(x12，xN*)，f(x)50x3000230005000(元)当且仅当50x，即x20时，上式取等号，所以当x20时，f(x)取得最小值5000元所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元13为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知an为等差数列，相关信息如图所示(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an62(n1)2n4(nN*)，所以y25n36n22