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基于数学教学解题中的创新思维能力培养研究 摘要：培养学生的创新思维是数学素质教育的核心内容之一创新思维能力的培养有多种途径：挖掘新知识的奇，引发创新思维；抓住学生在面对新知识时出现的无所适从，创设一个问题情景，激发创新思维；对同一道题，采取多种解法，开拓学生的解题思路和视野，培养创新思维的变通性；对一些典型题目进行适当的变化，培养创新思维的发散性；从一道题的分析入手，提出解决问题的关键所在，从而得出解决这类问题的方法，培养思维的灵活性；对同一道题，引导学生从不同角度去思考、联想，培养创新思维的多向性；鼓励学生大胆学习、大胆猜想、大胆怀疑，通过一些探索，得出有用的结论 关键词：数学教学 创新思维素质教育 中图分类号：G642.421文献标识码：A文章编号： Abstract: The cultivation of students creative thinking is mathematics quality education is one of the core conte many kinds of ways: mining of strange new knowledge, trigger innovative thinking; Caught in the face of new knowledge to students have not know what to do, create a problem situations, inspire innovative thinking; The same question, to take a variety of solutions, enlarge student trains of thoughts and vision, cultivate the innovative thinking of flexibility; Some typical subject to the appropriate changes, cultivate the innovative thinking the divergent; From the analysis of a problem, and puts forward the key problem, and concluded that solve the problem of the methods, training the flexibility of thinking; The same question, and guide students from different perspective to think, Lenovo, cultivate the innovative thinking of diversity; Encourage students to learn to think big, bold, bold suspect, through some exploration, draw useful conclusiing, quality education 1引言 “国家的竞争，社会的竞争，归根结底是人才的竞争，而人才的培养，关键在于思维的培养，在于科学的思维”高士其老人这段精粹的论述，从培养人才的需要出发，强调了培养创新思维能力的重要性二十一世纪的数学教育应当以注重学生良好的个性品质和创新思维的培养为根本目标因此，教师应当把这一思想贯穿在教学的始终，要有意识、有目的地充分应用各种方式对学生进行创新思维的训练，从而达到培养学生创新思维的目的 创新是运用已知信息，产生出新颖独特的产品，这种产品可能有个人价值，也可能有社会价值可以是物化产品，也可以是精神产品数学中的创新既具有个人价值，又具有社会价值，是一种精神产品创新思维是指打破事物间的原有联系，对事物进行前所未有的思考，从而创造出新事物或寻找到事物间新的联系的思维方法是一切具有崭新内容的思维总和具体的说，创新思维是指人们通过对所掌握的知识和经验的运用，以及对客观事物的观察、类比、联想、分析、综合、探索新的思想和规律，以产生新的思想、新的概念、新的理论、新的方法、新的成果的一种思维形式在数学学习中，创新思维主要表现为依据已学过的数学知识，思维朝着各种可能的方向扩散前进，从不同角度、不同方式寻找解决问题的不同途径 2激发学生的好奇心，引发创新思维 “好奇”是青少年学生的心理特征思维是从问题开始的，而 “好奇”则是保持问题的探研意识的磁石，因此当学生这个思维主体，感觉到有一种内在的自觉的要求时，思维的主动性才能充分发挥所以，我们在教学中要有意识的安排一些问题来诱发学生的好奇心理，激发他们积极思考，主动钻研，以克服思维的惰性，发展思维的主动性 例对于任意自然数n是否能存在使等式 恒成立的正整数a、b的值，若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由 对于本题，几乎所有的学生都会这样解：假设存在使等式恒成立的正整数a、b的值先取n=1、2，列出方程组，求出a、b的值；是否对nN 恒成立再用数学归纳法证明这是一种常规的思维本题能否应用一些技巧，使求值、论证二者归一，启发学生注意观察，等式的左端是一个和式，而右端却是一个独立的式子，如果能运用一定的方法把左端加起来成为一个式子，再与右端比较就可得出a、b的值那么，应该运用什么方法才能达到目的这时，学生感到问题的奇，通过思索、探讨，很快就会得出奇异而简捷的解法 因为 所以左端= 对照右端可得a=b=1. 3创设问题情景，激发创新思维 挖掘隐含于教材中的矛盾因素，抓住学生的认知结构不和谐，以及学生面对新问题时出现的无所适从之处，设置陷阱等，都可以创设一个问题情景，进而激活学生的创新思维。 例已知且，求的值 由两边平方整理得，此时发现它在实数范围内不可能为-1，但解法又不会错，那么问题出在什么地方呢？走到这一步由于中学生的心理特征，一定会产生解决矛盾的强烈愿望此外，数学教材中也有许多有趣的知识和事例，教师要注意挖掘、善于利用，充分调动学生学习的主动性和创造性，使学生的思维能够最大限度的活跃起来，发挥学生的创造精神例如：我们在讲 “解直角三角形”一章的引言时，除了课本上的引例外，还可以设计一个这样的问题： “同学们，如果你想知道操场边最高那棵树有多高，你有些什么方法？” 鲁莽的学生回答： “砍倒量!” “是一个办法，但乱砍乱伐要违法呀!” 调皮的学生回答： “爬上去量!” “也是一个办法，但嫩绿的树尖怎能承受你强壮的身躯？” 基础好的学生回答： “量出身高、人影、树影，用相似三角形的性质计算出来” “充满智慧的回答，但需要阳光或月光的配合，还有没有其他的办法呢？” 当大家冥思苦想、兴趣正浓、可想不出更好的办法时把握时机给他们介绍本章将要学习的知识及其在日常生活中的应用这样引入既提高了学生的兴趣，同时又活跃了学生的思维 4加强数学思想方法的训练，培养创新思维 教师在平时的教学中，注意引导学生学习与掌握联想、类比、归纳、猜想等研究问题的方法，对培养学生的创新思维与创新意识是很有帮助的 41导学生大胆探索 在数学教学中，激发学生的主体意识，引导学生大胆探索，勇于创新，这对培养学生的创新思维是至关重要的学生进入中学以后，由于自我意识的发展，因而，他们在获取前人总结的经验的同时，也常常有自己新的看法，或试图进一步去发展前人的结果，并以此作为自己成熟的体现这种求异的探索知识的心理，在数学方面常表现为创新思维的变通性，这就需要老师引导他们发展思维，开拓思路，从不同的方面，不同的角度去分析问题，解决问题 4.1.1一题多解，培养思维的变通性 创新思维的变通性，又称灵活性指的是思维灵活多变，不受旧有经验的限制和心理定势的束缚，能从不同的角度思考问题，随机应变，举一反三，触类旁通 例求函数的最大值和最小值 分析1利用三角函数的有界性来解决 解法1 从而： 于是 分析2利用变量代换，转化为有理分式函数来解决 解法2令 则： 即 在1，3内有解，从而 分析3利用解析几何中的斜率公式转化为图形的几何意义来解决 解法3 y可以理解为点(2，0)与点连线的斜率， 而动点的轨迹是单位圆，由图形知： 分析4 利用复数知识转化为辐角正切值来解决 解法4 令 z=2-cosx+isinx，则y是z的辐角的正切值，而z是圆上的动点，所以z的辐角的正切值的范围是： 这一问题，引导学生从三角函数，分式函数，解析几何，复数等众多角度寻求解法沟通了知识间的联系对于同一道题，引导学生从多角度，多种途径去分析思考，从而寻求多种解法，这样，可使学生思维活跃，思维开阔，从而对问题进行更深层次的思考这对培养学生创新思维的变通性起着积极的作用 4.1.2 一题多变，培养思维的发散性 数学习题浩如烟海，昼夜演算，也难以做完在数学教学中，利用典型题目，巧妙的进行一题多变，使一道题变成一类题，这样既省时省力，事半功倍，又可培养创新思维的发散性 例过抛物线的焦点的一条直线与抛物线相交于两点， 其交点的纵坐标分别为、 ， 求证： 分析观察求证结论，形如两根之积的等式，联想到韦达定理因为抛物线的焦点为， 所以可设过焦点的直线方程为，代入得关于y的一元二次方程，由韦达定理即可得证 然后，改变命题的条件和结论，或对命题进行引申，可得如下变题，供学生学习和练习 变题1求证：以过抛物线的焦点的弦为直径的圆与它的准线相切 变题2P是抛物线上的一点，F是焦点 求证：以PF为直径的圆与Y轴相切 进行一次适当的变式训练，学生相当于作了一套 “思维体操”，它不仅能巩固学生的知识，开阔学生的视野，而且还能活跃学生的思维，提高学生的应变能力，从而培养创新思维的发散性 4.1.3一题多用，培养创新思维的深刻性 “问题是数学的心脏”，学数学，离不开解答各类问题但如果为了会解题而成天盲目的练题，往往欲速则不达，只能事倍功半数学中由一道题的分析入手，指出解决问题的关键所在，让学生掌握解决这类问题的有效方法从而达到一题多用，灵活解决问题的目的 例有含盐8%的盐水40克，变成含盐20%的盐水，需加盐多少克？ 分析40克盐水含盐+x克盐 = (40+x) 克盐水中所含的盐 引申解决浓度问题的关键是根据 “溶质之间的度量关系”列方程 解设需加盐x克，由题得408%+x=(40+x)20% 解方程， 得x=6 (克) 变试题1浓度为20%的酒精溶液300克，要配制浓度为15%的酒精溶液，需加水多少克？ 解设需加水x克， 由题得 30020%=(300+x)15% 解方程，得x=100 (克) 变试题2浓度为13.5%的盐水200克，要配制成浓度为22.5%的盐水，需蒸发掉水多少克？ 解设需蒸发掉水x克， 由题得20013.5%=(200-x)22.5% 解方程得x= 80(克) 变试题3两种铜块分别含铜60%和80%，这两种铜块各取多少千克，熔化后才能得到含铜74%的铜块500千克？ 解由题得x60%+(500-x)80%=50074% 解方程，得x=150 (千克)，500-x=350 (千克) 变试题4现有盐2千克，加入若干千克浓度为10%的盐水，再加入水8千克，混合后的盐水浓度为15%，则加入浓度10%的盐水多少千克？ 解设加入浓度为10%的盐水x千克， 由题得 2+x10%=(2+x+8)15% 解方程，得x=10(千克) 像以上这种训练既有利于帮助学生建立起完整的知识结构,培养他们创新思维的深刻性和灵活性,又可加强学生对已有知识的深刻理解和记忆,使学生建立起新的知识结构 4.1.4一题多思，培养思维的多向性 提出问题时只给条件，不给结论，要求学生自己去寻找结论这样的问题给学生的思维提供了广阔的天地，他们可以充分发挥自己的聪明才智，运用已掌握的知识，去得出不同的结论，借以增强或实现创新思维的多向性 例 已知抛物线的过焦点的弦为AB,、 分别是A、B两点的切线 、 有哪些性质？把他们写成命题的形式. 根据你所找出的性质，尽可能多地引申出其它命题 解( 1 )经研究它们有下列三条性质： 命题1若AB是过抛物线焦点的弦，则过A、B两点的切线互相垂直 命题2若AB是过抛物线焦点的弦，则经过A、B两点的切线相交于准线上的一点，且两直线交点的轨迹是准线 命题3若AB是过抛物线焦点的弦，则经过A、B两点的切线的交点和抛物线焦点的直线与AB垂直 ( 2 )可以另外引申出六个命题： 命题1抛物线的两条切线互相垂直，则两切点与焦点这三点共线 命题2在抛物线的准线上任取一点，引抛物线的两条切线，则两切点的连线必经过焦点 命题3在抛物线的准线上任取一点，引抛物线的两条切线，则两切线互相垂直 命题4已知AB是过抛物线焦点的弦，若经过A点作抛物线的切线交准线于M，则MB也是此抛物线的切线 命题5过抛物线的焦点F作它的弦AB的垂线交准线于点M，若AB过焦点，则MA，MB必是抛物线的两条切线，且它们互相垂直 命题6经过抛物线的准线上一点P引抛物线的两条切线，则连接点P与抛物线焦点F的线段PF与准线所成的两个角分别被两切线平分 创新思维的多向性是以发散思维为前提的，没有良好的发散思维的人，创新思维的多向性就无从谈起所以要培养创新思维的多向性，教师就必须在教学过程中，遇到合适的题材时，抓住时机，利用学生的心理特点，提出问题,以培养学生的发散思维能力 在数学教学中，充分发挥学生的聪明才智，让学生大胆探索一题多解、一题多变、一题多用、一题多思，学生是能够有所作为，有所创新的 4.2鼓励学生大胆学习，大胆猜想 “观察归纳猜想证明”是数学中又一重要方法猜想对于创新思维的产生和发展有着积极的作用 例在学习简便运算时，让学生探索个位数字是5的数的乘方的简捷计算方法 ( 1 ) 让学生通过计算，然后观察归纳 ( 2 ) 让学生猜想： 如果用a表示不大于9的自然数，那么一个两位数的平方() () 如果用b表示百位数字，a表示十位数字，那么一个三位数的平方() (，其中表示一个两位数) 练习： ( ) ( ) ( )( ) 4.3提倡学生敢于怀疑 怀疑常常是创新的开始学生有疑问，这正是求知欲和好奇心的流露，它将推动学生不断去思考、探索，从而有所发现、有所创新创造性思维由此而产生，所以教师在教学过程中要善于启发学生创设问题情景，鼓励学生大胆怀疑，大胆猜想，敢于发表不同意见，甚至 “异想天开”例如，在学习了2的一次方等于2， 2的平方等于4之后，可能就有学生会提出2的立方是否等于6呢？ 对于学生提出这样的问题，答案虽然是否定的，但对于学生的这种联想，教师应该给予肯定、给予鼓励、加以保护、循循善诱、引导学生自己得出正确的结论这样学生在课堂上才会勇于表达、相互鼓励，自然能够绽开创造的花朵 5、结论 综上所述，在解题教学中要培养学生的创新思维，就要求教师更新教育观念：在数学教学意识上要重视学生创新思维习