2016_2017学年高中数学第2章数列2.3.2.1等比数列的概念及通项公式学案苏教版.docx

第1课时等比数列的概念及通项公式1理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系(重点)2会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题(重点)3会证明一个数列是等比数列(难点)基础初探教材整理1等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零()(2)数列a，a，a一定是等比数列()(3)等比数列an中，a1，a3，a5一定同号()【答案】(1)(2)(3)教材整理2等比数列的通项公式阅读教材P51P52，完成下列问题如果数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为ana1qn1(a10，q0)1在等比数列an中，已知a12，a416，则an_.【解析】a4a1q3，q38，q2，ana1qn122n12n.【答案】2n2在等比数列an中，已知a13，q3，若an729，则n_.【解析】ana1qn1，a13，q3，72933n13n，n6.【答案】6教材整理3等比中项阅读教材P54第11题，完成下列问题1若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2ab.2若数列an是等比数列，对任意的正整数n(n2)，都有aan1an1.1若2是b1，b1的等比中项，则b_.【解析】(b1)(b1)(2)2，b218，b29，b3.【答案】32若1，a,4成等比数列，则a_.【解析】1，a,4成等比数列，a2144，a2.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型等比数列的判定与证明设数列an满足a11，an2an130(n2)判断数列an1是否是等比数列？【精彩点拨】只需证明非零常数即可【自主解答】由题意知an12an30(n2)成立，an12an3，2(常数)又a112，数列an1是以2为首项，以2为公比的等比数列要判断一个数列an是等比数列，其依据是q(q是非零常数)或q，对一切nN*且n2恒成立再练一题1判断下列数列是否为等比数列(1)1，1,1，1，；(2)1,2,4,6,8，；(3)a，ab，ab2，ab3，.【解】(1)是首项为1，公比为1的等比数列(2)，不是等比数列(3)当ab0时，是等比数列，公比为b，首项为a；当ab0时，不是等比数列等比数列的通项公式(1)若an为等比数列，且2a4a6a5，则公比为_(2)在等比数列an中，若a2a518，a3a69，an1，则n_. 【导学号：91730035】【解析】(1)a6a4q2，a5a4q，2a4a4q2a4q，q2q20，q11，q22.(2)法一因为由得q，从而a132，又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.法二因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，知a132.由ana1qn11，知n6.【答案】(1)1或2(2)6等比数列基本量的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法再练一题2(1)若等比数列的前三项分别为5，15,45，则第5项是_(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q_.【解析】(1)a5a1q4，a15，q3，a5405.(2)由题意，anan1an2，即ananqanq2，q2q10，q.q0，q.【答案】(1)405(2)探究共研型等比中项探究1三个数满足G2xy，则x，G，y成等比数列吗？【提示】不一定如0,0,0这三个数不成等比数列探究2任何两个非零常数都有等比中项吗？【提示】不是只有同号的两个数才有等比中项在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数【精彩点拨】法一：利用等比数列的通项公式求解；法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解【自主解答】法一：依题意，a14，a5，由等比数列的通项公式，得q4，q.因此，插入的3项依次为2,1，或2,1，.法二：此等比数列共5项，a3是a1与a5的等比中项，因此a31.a2是a1与a3的等比中项，a4是a3与a5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a31，a22，a1.因此，插入的3项依次为2,1，或2,1，.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同从而，对于数a，b的等比中项G，G2ab一定成立，但G的符号不一定正负都可取，如等比数列an中，三项分别为a1，a4，a7，则a4是a1与a7的等比中项，此时a4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a2，a4，a6，也有a4是a2与a6的等比中项，此时a4只能与a2和a6同号再练一题3已知a，b，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值【解】由题意知b26，b.当b时，ab2，解得a；bc210，解得c7.同理，当b时，a，c7.综上所述，a，b，c的值分别为，7或，7.构建体系1下列各组数能组成等比数列的是_(填序号)，；lg 3，lg 9，lg 27；6,8,10；3，3，9.【解析】.【答案】2若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n_.【解析】由等比数列的通项公式，得12842n1,2n132，所以n6.【答案】63在等比数列an中，a1，q2，则a4与a10的等比中项是_. 【导学号：91730036】【解析】a4与a10的等比中项为a7，a7(2)68.【答案】84已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.【解析】a4a3a2q2a2qa2(q2q)2(q2q)4，q2q20，q2，或q1(舍去)【答案】25在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数【解】设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意得243，a2，a3，a4,3成等比数列设公比为q，则3243q51，解得q.当q时，a281，a327，a49；当q时，a281，a327，a49.因此，所求三个数为81,27,9或81,27，9.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1在等比数列an中，a42，a78，则an_.【解析】因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.【答案】22等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于_【解析】由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.【答案】243如果1，a，b，c，9成等比数列，那么b_，ac_.【解析】b2(1)(9)9，且b与首项1同号，b3，且a，c必同号acb29.【答案】394在等比数列an中，a33，a10384，则公比q_.【解析】由a3a1q23，a10a1q9384，两式相除得，q7128，所以q2.【答案】25已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7_.【解析】an为等比数列，q2.又a1a23，a11.故a712664.【答案】646若an是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为_a；a2n；lg|an|【解析】考查等比数列的定义，验证第n1项与第n项的比是否为常数【答案】7在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_【解析】设这6个数所成等比数列的公比为q，则5160q5，q5，q，这4个数依次为80,40,20,10.【答案】80,40,20,108在等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an_. 【导学号：91730037】【解析】记数列an的公比为q，由a58a2，得a1q48a1q，即q2.由|a1|1，得a11，当a11时，a516a22，符合题意，故ana1qn1(2)n1.【答案】(2)n1二、解答题9在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项，公比【解】设该数列的公比为q.由已知，得所以解得故首项a11，公比q3.10数列an满足a11，且an3an12n3(n2,3，)(1)求a2，a3，并证明数列ann是等比数列；(2)求an.【解】(1)a23a12234，a33a223315.下面证明ann是等比数列：由a24，a315可知，ann.3(n1,2,3，)又a112，ann是以2为首项，以3为公比的等比数列(2)由(1)知ann23n1，ann23n1.能力提升1在等差数列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于_【解析】由题意知a3是a1和a9的等比中项，aa1a9，(a12d)2a1(a18d)，得a1d，.【答案】2已知an是等比数列，an0，又知a2a42a3a5a4a625，那么a3a5_.【解析】a2a4a，a4a6a，a2a3a5a25，(a3a5)225，又an0，a3a55.【答案】53若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的通项公式是_【解析】由an2Sn3，得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，1(n2)故an是公比为1的等比数列，令n1，得a12a13，a13，故an3(1)n1.【答案】an3(1)n14互不相等的3个数之积为8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列【解】设