排列组合之相同元素分配问题.docVIP

排列组合之相同元素分配问题华图教育 姜洋排列组合问题是公务员考试中常见的一类计数问题，也是广大考生最为头疼的问题，排列组合的题型很多，其中有一类题目是涉及到相同元素分配的题目，本篇文章就针对排列组合中这样一类问题进行详细阐述。【例】把9个苹果分给5个人，每人至少分一个苹果，那么不同的分法一共有多少种？A.30B.40C.60D.70【解析】遇到这样的相同元素进行分配的问题，我们一般都是采用挡板法进行计算。也就是9个苹果排成一排，形成8个空，中间插4个挡板，就可以把9个苹果分成5份，并且每份至少为1个。在8个空插上4个挡板：(种)分法。此题是9个相同元素被分成5份，每份至少为1，我们是在9个元素形成的中间8个空隙中插入4个挡板，分成5份。如果是10个相同元素被分成4份，每份至少为1，那么我们就可以在10个相同元素形成的9个空隙中，插入3个挡板，将10个元素分成4份。推而广之，如果题目中给出的是遮掩一个模型“M个相同元素，分成N份，每份至少为1，问有多少种不同的分法”，就是在M个元素形成的M-1个空隙中插入N-1个挡板。所以公式即为：。了解了这个公式之后，我们来做两道例题试一下。【例题1】把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同分法一共有几种？（ ）A.3B.4C.5D.6【答案】D。【解析】这是一道相同元素的分配问题，并且符合我们之前所讲过的模型，我们可以直接代入公式种分法。答案选择D。我们在做题的过程中，经常会遇到这个类型题的变形题目，比如说一下这几道例题。【例题2】将12个相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分得3个苹果，请问一共有多少种分配方式？（ ）A.8B.10C.12D,14【答案】B。【解析】这道题同样是一道相同元素的分配问题，但是和我们之前讲过的模型并非完全一致，在模型中，每份至少为1，而本题中，每个小朋友至少分得的是3个苹果，所以我们先拿出6个苹果，给每个小朋友先分得2个苹果，这时就变成“6个苹果，分给3个小朋友，每个小朋友至少分得1个苹果”，此时我们就可以直接代入公式种分法，答案选择B。【例题3】将6个相同的苹果分给3个小朋友，请问一共有多少种不同的分法？（ ）A.16B.20C.24D.28【答案】D。【解析】这道题目同样是相同元素分配问题，但是题目中并没有要求每个小朋友至少分得1个苹果，与我们总结出来的模型不相符，处理本道题目的时候，我们先从三个小朋友出分别“借”一个苹果，这时就变成“9个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分得1个苹果，有多少种不同的分法？”，我们就可以直接代入公式计算，答案选择D。【例题4】将9个相同的苹果放入3个不同的箱子里。要求：第一个箱子不少于1个，第二个箱子不少于2个，第三个箱子不少于3个。请问一共有多少种不同的分配方法？（ ）A.8B.10C.12D.14【答案】D。【解析】先拿出3个苹果，在第二个箱子中放入1个，在第三个箱子中放入两个，此时就变成“6个相同的苹果，放入3个箱子，每个箱子至少放入1个苹果，一共有多少种分配方法”，这个时候我们就可以直接代入公式,答案选择D。【例题5】某单位订阅了30份学习材料，发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法？（ ）A.12B.10C.9D.7【答案】B。【解析】先拿出24份学习材料，每个部门分8份，这时就变成“6份学习材料分给3个部门，每个部门至少分得1份，有多少种不同的分配方法”，代入公式，答案选择B。有以上例题25这四道题目我们不难发现，在解决相同元素分配问题的时候，我们都是在构造之前总结出来的模型，当分配元素个数至少为P个，P1时，我们都是先给每个人分P-1个元素，从而构造出每人至少分得1个元素的情形；当没有要求每人至少分到1个元素的时候，我们先向其“借”1个元素，从而构造出