数学金融学第七章多时段市场问题1.doc

长沙理工大学备课纸数学金融学第七章多时段市场问题第七章 多时段市场问题本章的目的是在前两章单时段市场理论的基础上讨论多时段市场的有关问题.可以想象在多时段市场的投资中,不同时段上的投资策略是可以不同的,也就是说,投资策略是随时间变化的.因此,动态特性是多时段市场问题区别于单时段市场问题的一个标志.所以,除了单时段市场情形中所出现的问题外,讨论多时段市场问题的要点是体现其动态特性问题,读者应该记住这一点.在学习本章时,如果读者有随机过程和控制理论的初步知识,则会感到轻松一些.7.1 多时段市场的一般描述在这一节中,我们首先给出多时段市场一般的数学描述. 一、测度论中一些基本概念及相关定理定义1.0 设有限个离散时刻,设为一个有限 集合(样本空间), 为的子集全体,为上的一个概率测度.又设为的子集族,且, (1.1) 若对每个子集族.满足下述条件: (1.2) 当(l.2)成立时,称为一个域,称(1.1)为一个域流.集合中的每个元素表示时刻可能发生的一个事件.比如作为事件在时刻发生,它表示在时刻状态之一发生,因此, 称为时刻的事件集.现在,我们来略微仔细地看一下域流(1.1)的一些性质和意义.定义1.0.1 对每个,存在的一个剖分,即 (1.3) 使得, (1.4) 我们称上面的为的生成元,称每个为中的基本事件,于是,称为的生成元集或基本事件集. 注1.0.2: 当为一个有限集合时,对每一个均存在的一个剖分,该剖分包含在内且满足(1.4). (1.3)表明在任何时刻有且仅有一个中的基本事件发生.从这个角度看,我们可以得知上述基本事件集是由惟一确定的.进一步,由(1.1)和(1.4),我们还可得 (1.5)上面(1.5)表明的生成元集是生成元集的加细,即中的每个元素均是一些中元素的并集.为了理解它们的意义,我们举一个例子.例1.1 考虑三个时刻: 0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻,前市收盘时刻(或中午)和当日全天收盘时刻，而时间区间0,1和1,2分别代表前市(上午)和后市(下午).设样本空间,其中状态具有下述意义: (l.6) 它们可以看作是时刻2 的基本事件.记 (1.7)则构成一个域流.易见,事件就是该股票价格在0,1上涨1元;而事件就是该股票价格在0, 1下跌1元,它们是时刻1的基本事件.相应于(1.7)中的生成元集如下: (1.8)可见,1 时刻的基本事件 (即不该股票价格在0,1上涨1元)是2时刻两个基本事件和的并集.需要指出的是在任何时刻实际发生的事件必定是某个基本事件.对上面的例子,我们作如下考察.在时刻t=0来预测时刻t=2的状态,共有4 种可能:.到了时刻t =1,假如事件已发生,则此时再预测时刻t=2的状态,只有两种可能了.所以,随着时间的推移,判断最终时刻事件发生的“确定性”增加了.我们让表示在时刻i人们能够获得的所有信息的全体。这个意思是人们可以在当前(时刻t =0)预测的所有在时刻t =i可能发生的基本事件.所以, 中包含了一系列互不相容的基本事件,其概率是已知的.关系式(1.1)恰好表明随时间推移,人们可获得的信息越来越多.现在我们给定概率空间,并且给定一列时刻0,1,2,和一个域流,每个对应于时刻i的事件集,此时.我们称为一个带域流的概率空间.下面的讨论都基于这个框架,不再重复说明.并且,为了方便起见,我们假定每个的生成元集为,并且,(假如不然,我们可以去掉使得的所有的结果将保持不变).考虑一种债券.其价格是随着时间t 变化的,并且由于人们无法确定将来的利率,从而债券价格一般而言还是随机的,这样,债券价格是的函数.当对每个固定的是一个随机变量时,我们称为一个随机过程.为了叙述方便起见,我们设, (1.9) 并且,由于债券是“无风险”的,故应假设关于时间t是单调上升的,即, (1.10) 令, (1.11) 称为债券在i,i1上的利率.由(1.9)和(1.11)可得 (1.12) 一般是依赖于的,即它是随机的.这样考虑是有必要的,因为利率是不断变动的,而且,一般来说人们无法精确地断言将来的利率.但是,对任何一个给定的时刻i,以它为起始时刻的任何一种期限的利率在那个时刻应当是已知的.也就是说,基于i 时刻的所有信息(即知道中所有基本事件是否发生),是被确定的(不再随机).这在数学上可以如下描述:.定义1.1.1 称是一个-可测的随机变量,如果, (1.13) 称随机过程是-适应的,如果(1.13)对所有的都成立.注1.1.2: 设,均是关于-可测的随机变量.若,则我们可认为.下面我们就假设债券的利率过程是-适应的。命题1.2 假定为上的一个域,其生成元集为.设,则是-可测的充要条件是它在每个上是常数.证明: :设是-可测的,假如存在,使得对某个, (1.14) 则集合,且具有下述性质:, (1.15)若 与矛盾;若与矛盾.则不可能有表示式(1.4).因此,从而不是-可测的,矛盾.: 假如每个上是常数,则对任何,集合,其中,故,从而,是-可测的.利用上面命题,我们可知当是-可测时,它未必是可测的,其直观意义是存在当时刻到达i +1时才能知道而在此前并不知道的事件.从数学上讲,其原因是由于,所以,可能存在生成元,即的生成元可能至少是两个中的生成元之并.比如,此时,是-可测的,但它不是-可测的.另外,假如是-可测的,则是常数.因为.当为随机过程时,称为一个向量值随机过程;称为-适应的,如果每个是-可测的.由上面命题1.2,容易知道,我们有下面的推论.推论1.3 向量值随机过程为-适应的,当且仅当对每个i,在每个上是一个常值向量.在下面的讨论中,我们还需要所谓的条件数学期望的概念.现在先让我们比较直观地引人这个概念.假定为一个带域流的概率空间,假设每个域的生成元集为,并且 .设是一个随机变量,它可能仅仅是-可测的(未必关于任何-可测).在当前时刻t=0,人们对的预期就是普通的数学期望.现在要问,在当前时刻t=0,怎么来预测在将来某个时刻t =i 的数学期望?二、条件数学期望我们首先要说明,在将来某个时刻t = i 的数学期望会依赖于时刻t = i 的状态.为了说明这一点,我们来看一下例1.1中的情形.假定在0到1和1到2 股票涨跌l 元的概率均为,则每个事件发生的概率均为1/4.我们假定所考虑的股票目前价格为10元,而令为股票在时刻2的价格,则在当前时刻t =0,的期望为假如当前时刻来预测1时刻的期望,则应该按如下方式考虑:(1) 如果事件发生(即在时刻1,股价涨到11元),则的期望(它依赖于事件故记它为)将是 (2) 如果事件发生(即在时刻1,股价跌到9 元),则的期望(它依赖于事故记它为)将是所以,如果我们定义随机变量如下:,则由命题1.2,是可测的,并且它恰好是当前时刻预测将来时刻t=1时的期望.我们注意到,的确定已经用足了时刻的所有信息,即已知中的事件是否发生.因此,我们把称为关于的条件数学期望,记作.由于事件和事件发生的概率均为1/2,因此,上述关系式并非偶然,它表明条件数学期望和数学期望之间的相容性.对于一般情形,我们引人下述定义.定义1.4 对于给定的,我们称随机变量为关于的条件数学期望,如果是-可测的,并且对任何的均有 (1.16)此时,我们记=.很容易看到上面的例子中的就满足(1.16),建议读者自行验证一下,由此获得一些感性认识.需要提请读者注意的是,条件数学期望是依赖于概率空间上的域流和概率测度的.下面的结果给出了条件数学期望的具体计算公式.命题1.5 假定为一个带域流的概率空间,假设每个域的生成元集为,并且,设是一个随机变量,则有 (1.17) 证明: 由于=是-可测的,故由命题1.2知.它在每个上为常数,故我们可设 (l.18) 其中为待定常数.然后,由关系式(1.16)(对)可得.注1.5.1: 由注1.1.2及(1.17)证明过程说明了,存在且唯一.从(1.17),我们不难看出,如果是-可测的,则=.事实上,我们还可以证明下述更一般的结果.命题1.6 设为两个随机变量. (1) 若是-可测的, 则(注意注1.1.2). (1.20)(2) (3) ,证明: (1) 设域的生成元集为 (注意,注:1.0.2). 对,有,由是-可测的及命题1.2知,故,由命题1.5知 (2) 由条件数学期望定义易知(2)、(3)的结论成立.有了条件数学期望后,我们再引人一个重要的概念鞅.三、鞅定义1.7 假如一个-适应的随机过程具有下述性质:. (1.21)则称之为一个P-鞅.由于条件数学期望是依赖于域流和概率测度P的,因此,鞅的定义是依赖于域流和概率测度P的.也就是说,当概率空间上的域流或概率测度改变时,一个原来不是鞅的随机过程可以变为一个鞅;反之.一个鞍可能不再是鞅(见复习与思考题3).在我们的框架下,域流是给定不变的,因此,我们不特别强调鞅对域流的依赖性;而仅仅强调它对概率测度的依赖性,故称之为P-鞅.鞅是一类重要的随机过程,以后我们会看到它的许多用处.现在我们来考虑n种股票,设它们的价格为一个适应的(取值于的)随机过程,我们来解释一下该过程适应性的含义.以股票1为例,在时刻1,其价格为,由于在时刻1恰好有一个中的基本事件发生,而由推论1.3, 在上是常数,因此,被事件域完全确定,这恰恰体现了的适应性的含义.给定时刻和一个带域流的概率空间,假定在此概率空间上,给定了适应的利率过程和由(1.12）给出债券价格过程,还给定了适应的股票价格过程,此时,我们称一个多时段市场给定了.现在再来考虑投资策略.我们假定所有的交易仅在时刻进行,且不需要支付交易费.假如在整个投资时区0,k上除初始投资外没有新的资金注入,也没有资金撤回,这种投资方式称为是自融资的,我们将在下面给出自融资投资策略的严格定义。对于单时段市场情形,策略是一个常值向量,所以.它是测的.该策略是在时刻t =0 确定的,而它起作用的时刻是t=1(比如末定权益定价,最优投资等等).对于多时段市场问题,策略是一个取值于空间的随机过程.我们约定是在时刻t=i-1确定的,是i-1 ,i 上债券的持有量.而中的是i-1,i 第 j 种股票的持有股数,这个策略在时刻t=i 起作用.因此,我们引出以下一个重需要概念.定义1.7.1 随机过程满足如下条件:对每个i 0,是-可测的,即的确定仅仅用到时刻: t=i-1及以前的信息,这样的过程称为是-可料的.若策略过程是-可料的.由(1.12）和的-适应性,我们可知债券价格过程也是-可料的.假定是某投资者的一个策略过程,则初始交易完成后,下面的初值约束成立: (1.22) 其中,为该投资者的初始资产.类似于第5 章,我们可以引入策略过程的价值过程如下: (1.23). 四、策略过程的自融资性需要指出的是对i 1,上面(1.23)中定义的是在时刻t=i 的交易尚未进行时策略的价值.综合以上说明和分析,我们给出下述严格的定义.定义1.8 设,随机过程称为上的一个策略过程,如果是一个-可料过程,进一步,策略过程称为是在上自融资的,如果. (1.24)值得注意的是,根据我们的约定,对于上的一个策略过程而言,是不需要有定义的.上面(1.24)表明:在每个时刻t=i,交易前后策略的价值是不变的.按上面定义,单时段市场中的策略过程总是自融资的(因为故(1.24)平凡地成立),因此,在讨论单时段市场的问题时,我们不必引人自融资的概念.另外,当考虑自融资策略时,我们不必区分交易前后策略的价值.让我们考虑的情形.定义(注意(1.11) ， (1.25) 则在自融资策略下.投资者在上的增益为： , (1.26)上面第三个等式用到了自融资条件(1.24).相应于自融资策略过程的累积增益(过程)定义为(1.27)类似于第5 章,我们将存款作为计价单位,引入贴现股价过程 (1.28) 需要注意的是,是一个确定性的中向量(非随机的),而是值的随机变量().策略过程的贴现价值过程定义为 (l.29)由(l.24),我们可得,对于自融资策略, (1.30)这导致(比较(1.26)在自融资策略下,投资者在i-1,i 上的贴现增益为: (1.31)因此,相应的累积贴现增益(过程)定义为 , (1.32) 值得注意的是仅仅依赖于,而不依赖于.下面的命题给出了自融资策略的一种有用的刻画.命题1.9 设,为任何一个取值于的-可料过程,为一个-可测的随机变量,则存在取值于的-可料过程,使得为一个上的自融资策略,且满足, (1.33) 证明: 我们定义(注意(1.30) (1.34)易知,(1.33)等价于(1.34)中的第一式,而(1.24)等价于(1.34)中的第二式.另一方面,因为是可料的,故由(1.34)定义的是-可料的,因此,我们的结论成立. 我们将在7.3节中更细致地讨论市场的框架和特性.7.2 二叉树模型在这一节中,我们介绍所谓的“二叉树模型”,它将使得我们对前面讨论的多时段问题有更清楚的认识.一、单时段市场“二叉树模型”先考虑单时段市场情形.假定有一种股票,它在时刻t=0的价格是已知的.假定在时刻t =1,有两个状态,记作和;它们发生的概率分别为(所以),即, (2.1)假定在时刻t =1的股票价格满足 O 2 p11O p2图2.1 O 3, (2.2) 并假定, (2.3) 也就是说,股票价格以概率从变到,以概率.从变到我们可以将上面的描述画成如下的图:这称为一个二叉树枝,它有三个节点,分别用1,2和3 标号,节点1分叉为节点2和3.现在假定市场中还有一种债券,它的价格满足: , (2.4) 其中,0为利率.根据第5,章的讨论,当,给定时,一个单时段市场就完全确定了,让我们在这个市场中讨论未定权益的定价问题.假定一个未定权益在时刻t=l的损益为,.我们希望找到策略,使得, (2.5) 即 (2.6)从(2.6)中可以解出(注意(2.3): (2.7) 上述分析表明,当(2.3)成立时,任何未定权益都是可以复制的,因此,(2.3)保证了市场的完备性.由(2.7) ,我们可以进一步得到未定权益在时刻t =0的价格为 (2.8)这里, (2.9) 对于上述的单时段市场,我们有下面简单的结果.命题2.1 上述单时段市场无套利当且仅当由(2.9)定义的证明: 上述单时段市场无套利该市场中的存在一个风险中性概率测度,其中,.容易知道,等价于, (2.14)而(2.8)可以写成, (2.15) 二、多时段市场“二叉树模型”下面,我们来考虑多时段市场“二叉树模型”的情形.设给定交易时刻,在交易时刻, 有个状态,且在交易时刻上每个状态发生情况下,交易时刻可能发生也只发生可能另外两种状态(节点).记, (2.17)又令交易时刻,第状态()为,记, 令, = p72, p15 A315=8 A27= A315A314=7,8 p31, p7 1-p72, p14A314=7 A13=A26A27=5,6,7,8 1-p31, p6 p62, p13 A313= 6 p10, p3 A26= A313A A312=5,6 1-p62= p12 A312= 5 A01= A12A13=1,2,3,4,5,6,7,8= p52, p11 A311= 4 A25= A310A311=3,41-p10, p2 p21, p5 1-p62, p10 A310=(3) A12= A24A25=1,2,3,4 p42, p9 A39=(2) 1-p21, p4 A24= A38A39=1,2 1-p42, p8 A38= 10时刻 1 时刻 2 时刻 3 时刻 图表2.2 151413126731110984521,则是一个-域,而是的一个剖分.将第状态记为节点,视同于,又设时刻的状态()为,记生成元集产生的域为,将第状态记为节点,视同于,当时,见下图2.2 我们假定 , (2.18) 现在假定股票的(二叉树)价格过程为: , (2.19)图2.2记, (2.17.1)在时刻t =0,只有一个(已知的)状态(节点1),时刻t=1有两个状态(节点2)(节点3)别发生的概率分别为和( ),时刻t =2的情形是这样的,如果状态(节点2)在时刻t=1发生,则状态(节点4),(节点5)将分别以概率发生和(),而如果状态在时刻t=1发生,则状态(节点6)(节点7)将分别以概率发生和(所以);依此类推知,时刻t =i的每个节点,时刻t =i + l,再分叉为两个节点,标号为和. 令 (2.17.2)故, 表示在时刻t =i,当状态发生时的股票价格. 假定 (2.18)综知上述我们称上述的节点集,和所有,(满足(2.18)和(2.19 )的总体为多时段市场的二叉树模型.设,节点1到节点的路径是惟一的,此路径以节点序列表示,令,则,是一个概率测度.那么,多时段市场的二叉树模型的一个带域流的概率空间为三、多时段市场“二叉树模型”的完备性,无套利的充要条件现在,再来考虑无风险的债券.对于多时段情形,我们设时间区间i,i+1)上的无风险利率为它是依赖于i 的,则债券价格过程为：,. (2.20) 现在,我们考虑时何区间0,k上的一个欧式未定权益,它在到期时刻t=k的损益为: ,需要注意的是时刻t=k可能发生的状态全体就是(它等同于),因此,是定义于的一个函数.假定该未定权益是可复制的,我们首先希望找出该未定权益在时刻t=k-1的价格: ,然后,又可以看作时间区间0,k-1上的一个欧式未定权益.按照上面的思路,我们可以求出它在时刻t=k-2的价格,以此类推,最终可以求出未定权益在时刻t=0的价格.现在,让我们来具体实现这个思路.对每个节点.它的两个分叉节点是,.考虑以j,2j和2j十l为节点的一个二叉树枝及未定权益(即在的限制).注意到在节点和处的股票价格分别为,类似于单时段情形(见(2,8)和(2.9),我们可以定义, (2.21), (2.22)然后,我们可以一般地引人下述定义： (2.23) 而复制策略为(比较(2.7): (2.24)当(2.18)成立时,上面(2.23)和(2.24)所有的量均是可以明确定义的.上面给出的是递推公式,可以容易地计算出未定权益在到期时刻t=k以前任何一个时刻t=i1的价格和相应的复制策略.我们假设(比较(2.14) , (2.25) 上式保证：, (2.26) 类似于单时段情形,我们可以证明(2.18)等价于市场的完备性,而(2.25)等价于市场无套利.四、多时段市场“二叉树模型”的等价鞅测度及欧式未定权益的定价定义2.2.1 称Q为市场的一个等价鞅测度,如果Q是上与P等价的概率测度(即,对每个生成元,都有),并且股票的贴现价格过程是一个Q-鞅(即,)1. 多时段市场“二叉树模型”的等价鞅测度构造上的一个序列的概率测度,.对,对应节点1到节点的路径是惟一的,此路径以节点序列表示,其中,. (2.27)此路径上的相邻两节点和之间的路径段都联系着一个(由(2.23)定义的)概率(当为奇数时)或(当为偶数时).我们在上定义如下: (2.28.1)不难知 (2.28.2)定理2.1.2 假定(2.25)成立, 而由(2.23)给出.(1)令,同理,是(是的全体子集构成的-域)上的一个概率测度(2) 当时,有 (2.28.3)(3) 和分别由(2.19)和(2.20)给出,则Q为多时段市场“二叉树模型”的等价鞅测度.证明 (1) 当时,由(2.28.2)知, , (2.30)同理,是上的一个概率测度.(2)由 (2.28.1)知,依次类推得.(3) 显然,对每个生成元,都有.证明是-鞅.为此只需证明, 设,则,有 . 2. 欧式未定权益的定价令, (2.36.1)其中由(2.23)给出.当时,和分别是时刻的结点的股票价格和未定权益值,由命题1.2知知随机变量、均是-可测,. 定理2.2 假定(2.25)成立,而由(2.23)给出.假设为上的一个欧式未定权益在到期时刻的损益,由(2.36.1)给出,和分别由(2.19)和(2.20)给出,则是-鞅.特别地,未定权益在任何时刻的价格为. (2.37)证明 , (2.40)故是-鞅,且(2.37)成立. 我们注意到,若取i=0,且设,则(2.37)变为 , (2.4l) 这恰好就是第5 章中给出的单时段未定权益的风险中性定价原则下所确定的价格.7.3 多时段市场的一些性质以及欧式未定权益的定价现在,我们接着本章第l节,详细地讨论多时段市场的一些性质,以及这种市场中的欧式未定权益的定价问题.一、多时段市场的模型给定有限个时刻和一个带域流的概率空间,其中,的剖分为:,域为时刻i的事件域,其生成元集为,由(1.5)知,作为中元都可以表示为中元素的集合的并集,即,. (3.1)我们视等同于.以本章第2节的二叉树模型为例,恰好是由节点分叉出来的后续节点,而恰好是后续节点的个数.我们称每个为事件的后续事件,而称为的前期事件.值得注意的是,任何基本事件的前期事件是惟一的.而一个事件的后续事件不一定惟一.由于股票价格是-适应的,根据推论1.3,在每个上是常值向量,记作,所以, (3.2)这也恰好表明,在时刻i,当基本事件发生时,股票价格是完全确定的.细心的读者也许发现,上述框架可以看作是一个多叉树模型,它是第2节中二叉树模型的一个自然推广.现在,对于,我们考察在时刻i -1 事件发生时,预测时刻i股票价格的情形.在时刻i -1,已知股票的价格为,而在下一个时刻i,事件有个后续事件,因此,股票的价格有种可能.类似于第5章中的单时段情形,我们作如下等同: , (3.3) 其中,. , (3.4)此处,并需要注意.对于债券来讲，我们假定利率过程是-适应的,即是-可测的(需要注意,如果本身是确定性的,则它天然是适应的),从而,在时刻i-1事件发生时,时间区间i-1,i上的利率(记作)是完全确定的.另一方面,在时刻i-1 事件发生时,债券在时刻i-1 的价格(记作)是已知的.这样,在时刻i-1人们就能完全确定债券在i的价格(比较(1.12): , (3.5)换言之,债券价格过程是-可料的(即是-可测的).我们记债券上的增益为(比较(1.25):, (3.6)现在,对于自融资投资策略,由它的-可料性(关于-可测)得知,在每个上均为常值向量(推论1.3).从而,我们可记, (3.7)这样,由(1.23)可得,如果在时刻i-1事件发生,则策略在时刻i-1的价值(记作) 可有如下表示:, (3.8)因为事件有个后续事件,故此时预测策略在时刻i的价值有种可能(依赖于的后续事件): , (3.9) 记,(3.10)其中,由(3.3)给出.这样,投资策略在i-1,i 上的增益为(比较(1.26) , (3.11) 对于相应的贴现过程,我们有(注意(1.28) , (3.12), (3.13) , 因此, (3.14)值得注意的是仅仅依赖于.而不依赖于.二、多时段市场的无套利和等价鞅测度 1. 多时段市场的无套利下面的讨论都基于上述的市场模型,我们引人下述概念.定义3.1 设,市场在上存在套利,如果存在上的一个自融资(见(1.24)投资策略使得 , (3.15)此时,称为上的一个套利策略。当市场在上不存在套利时,我们称市场在上无套利.值得注意的是,只有在自融资策略的范畴中谈论套利策略才有意义.对于一个多时段市场,我们可以问一个非常自然的问题:一个给定时间区间上市场的套利存在性与该区间的子区间上市场套利的存在性之间有什么关系?下面的命题给出了答案,这是多时段市场特有的结果。命题3.2 假定市场在上有套利,则在任何包含的时间区上该市场有套利.证明: 设市场在上有套利,为一个套利策略(定义于).假定,我们定义上的策略如下:, (3.16)易见,在上是自融资的,并且,注意到关于t是单调上升的,我们有 (3.17)因此,是一个上的套利策略.反过来的结论叙述起来有点繁琐.从前面的讨论,我们看到,对于固定的,考虑每个(),它的后续事件全体为.易见, (3.18 )构成一个以为起始点的一个树叉分枝.对每个,我们定义, (3.19) 为从节点到节点的概率.这样就得到了与第5章中完全一样的一个单时段市场:, (3.20) 它称为原来多时段市场的一个单时段子市场.现在我们来叙述和证明命题3.2 的逆命题了.命题3.3 假如多时段市场的每个单时段子市场均无套利,那么这个多时段市场必无套利.证明: 反证法.假如在0,k上多时段市场有套,则存在套利策略使得,. (3.21)任取一个,考虑其相应的单时段子市场, (3.22) 我们分两种情形:情形1. 如果 , (3.23)则 ,则由单时段子市场(3.22)的无套利性可知,. (3.24)情形2. 如果, (3.25)则 则由单时段子市场(3. 22)的无套利性可知, (3.26) 由(3.21)可知,至少存在一个j使得情形2出现,因此综合(3.24)和(3.26)可得:, (3.27) 再利用归纳法,最终可以得到,与(3.21)矛盾.由第5 章的结果，我们知道每个单时段子市场无套利当且仅当它有一个风险中性概率测度.现在,我们要据此来构造整个时间区间上的一个“风险中性概率测度”.任取一个以及它的后续事件全体,假定由它们构成的单时段市场是无套利的,则存在一个风险中性概率测度,定义于事件族.显然,它是依赖于的,所以,我们将它记作, 作如下等同：, (3.28) 由定义,下述关系式成立:, (3.29)上式也可写成: , (3.30)下面,我们定义上的概率测度如下:对任何,存在惟一的生成元序列:, (3.31)引入映照,它将任何映成在时该的前期事件(惟一),从而(为恒等映照,即).即 (3.32)并且, (3.33) 上面(3.33)的意思是,任何中的事件,其后续事件的前期事件是该事件本身,这是显然的.现在对对,有,则定义(比较(2.28 ), (3.34) ()另一方面,对任何,存在互不相交的使得,我们自然地定义, (3.35) 我们有下述重要的结果.定理3.4 由(3.34)(3.35)定义的Q 是上的一个概率测度,它满足 , (3.36), (3.37) 并且对域流,贴现股价过程是一个Q-鞍.证明: 10 由(3.34)容易看到(3.36)是成立的.20 我们来证明(3.37).由(3.34)知(3.37)对成立.今对任何的,由、, 故 ,则,所以 , (3.38)这就是时的(3.37)式.运用递推方式,我们可以证明(3.37). 30 现在我们证明Q为上的一个概率测度. 由,则 , (3.39)40 证明是一个Q-鞍.我们只需证明, (3.40)下面,我们仅对i=k进行证明(一般情形是类似的).由命题1.5可得: 对,有,则, (3.41)于是是一个Q-鞅.2. 多时段市场的等价鞅测度下面,我们引进一个重要的定义.定义3.5 称Q为市场的一个等价鞅测度,如果Q是上与P等价的概率测度(即,对每个生成元,都有),并且股票的贴现价格过程是一个Q-鞅.由定理3.4知,由(3.34)(3.35)定义的Q是所考虑多时段市场的一个等价鞅测度.我们再来进一步看一下等价鞅测度Q的金融学意义.由于关于Q是一个鞅,故对任何时刻t=i ,有, (3.42)上式表明,假如事件是按照概率Q发生的,那么当前时刻t=0所能预期的任何一个将来时刻t=i 的股票贴现价格和当前的(贴现)价格完全一致的.事实上,还有更强的结论:在任何一个时刻t=i所能预期的任何一个时刻i以后的时刻l的股票贴现价格与时刻i的股票贴现价格是完全一致的.也就是说,如果事件是按照概率Q发生的,那么在贴现的意义下,股票市场是“绝对公平”的,即没有期望意义下的“赔”和“赚”,因此,人们也称这样的Q是“风险中性”的。值得注意的是,尽管Q和P是等价的,但是一般而言,它们是不相等的.从而,股票市场一般来说不是风险中性的.下面的命题很有用.命题3.6 设Q是一个等价鞅测度,则对任何(-可料的)投资策略它的贴现价值过程是一个Q-鞅.证明： , (3.43)从而,是一个Q-鞅. 在单时段市场的讨论中,我们有市场的无套利性和风险中性概率测度存在性之间的等价关系.对于多时段市场,我们也有类似的结果,它包含了单时段的情形.定理3.7 多时段市场无套利当且仅当市场存在等价鞅测度.证明: : 利用命题3.2和3.3,我们可得市场无套利当且仅当每个单时段子市场无套利.然后,再利用定理3.4可知,此时市场存在等价鞅测度.: 设