全国通用高考数学复习专题四立体几何第2讲立体几何中的向量方法练习理.docx

专题四 立体几何 第2讲 立体几何中的向量方法练习 理1.(2016山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值. (1)证明设FC中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)解连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0).过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3).故(2，2，0)，(0，3).设m(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.由可得可得平面BCF的一个法向量m，因为平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.2.(2015山东卷)如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45 ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证明法一连接DG，CD，设CDGFO，连接OH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)解设AB2，则CF1.在三棱台DEFABC中，G为AC的中点，由DFACGC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DGFC，又FC平面ABC，所以DG平面ABC.在ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中点.所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD两两垂直.以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，D(0，0，1).可得H，F(0，1)，故，(0，1).设n(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则由可得可得平面FGH的一个法向量n(1，1，).因为是平面ACFD的一个法向量，(，0，0).所以cos，n.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.3.(2016四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE.所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.由PAAB，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0).所以(1，0，2)，(1，1，0)，(0，0，2).设平面PCE的法向量为n(x，y，z).由得设x2，解得n(2，2，1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角PCDA的平面角.所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.且PAAHA，于是CE平面PAH.又CE平面PCE，所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH.所以sinAPH.4.(2016浙江卷)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，且CKACC，所以BF平面ACFD.(2)解法一如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形.取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1，0，0)，C(1，0，0)，K(0，0，)，A(1，3，0)，E，F.因此，(0，3，0)，(1，3，)，(2，3，0).设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2).由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，).于是，cosm，n.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.法二过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角BADF的平面角.在RtACK中，AC3，CK2，得AK，FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.5.(2016广州二模)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点.(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值.法一(1)证明由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0，0，0)，A(0，1，)，D(，1，0)，C(0，2，0).因而E(0，)，F，所以，(0，2，0)，因此0.从而，所以EFBC.(2)解平面BFC的一个法向量为n1(0，0，1).设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，又，.由得其中一个n2(1，1).设二面角EBFC大小为，且由题意知为锐角，则cosn1，n2，cos ，因此sin ，即所求二面角的正弦值为.法二(1)证明过E作EOBC，垂足为O，连接OF.由ABCDBC可证出EOCFOC.所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，EOFOO，EO，FO平面EFO，因此BC平面EFO，又EF平面EFO，所以EFBC.(2)解过O作OGBF，垂足为G，连接EG.由平面ABC平面BDC，从而EO平面BDC，BF平面BDC，BFEO，又OGBF，又EOOGO，所以BF平面EOG，又EG平面EOG，所以EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角.在EOC中，EOECBCcos 30，由BGOBFC知，OGFC，因此tanEGO2，从而sinEGO，即二面角EBFC的正弦值为.6.(2016北京二模)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.(1)证明在正方形AMDE 中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，DE平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)解因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，(1，1，0).设平面ABF的法向量为