具有反馈控制的概周期差分系统.doc

具有反馈控制的概周期差分系统江西省九江实验中学 徐红红中文摘要：本文研究了带有反馈控制的概周期差分系统，该系统受到年龄阶段结构和有毒物质的影响。利用比较原理和分析计算，得到系统一致持久的充分条件，并构造适当的Lyapunov函数使该系统的解满足文献1中的引理条件，从而确保存在唯一正的概周期解。Abstract: we investigate the following almost periodic discrete system with feedback controls which describes the effect of toxic substances and age structures simultaneously. By using two comparison principles and calculation, we obtain some sufficient conditions of the uniform persistence, and constructing a suitable Lyapunov function, which satisfies the conditions of lemma in 1, some sufficient conditions are established on the uniqueness of positive almost periodic solution.关键词：概周期差分系统；比较原理；Lyapunov 函数；概周期解Keywords: almost periodic discrete system; comparison principles; Lyapunov function; positive almost periodic solution1. 引言由于生态环境规划等现实问题的需要，在种群动力系统的研究中，往往通过假设部分影响环境的参数来控制实验及其结果，而假设这些参数的周期性时所产生的周期生态系统已经日益成为学者们热衷讨论的模型，事实上，在自然界中严格的周期性变化几乎是不可能的，概周期变化反而更有可能准确地描述自然界的变化规律。也正因为概周期系统能更好地模拟现实，与周期性相比更具有现实可靠性，所以也有不少学者作了大量关于概周期的文章，如Xia ,Cao, Hang和Chen2研究了下面带有反馈控制的种群概周期竞争系统：(1.1)得到确保该系统存在唯一全局稳定的概周期解的充分条件。由于现实中研究差分系统的必要性，所以在Liao和Zhou3研究了下面带有反馈控制的种群竞争的差分系统：(1.2)其中是一阶向前差分算子，即。假设, ,和，是有界序列，该系统是系统(1.1)对应的差分模型。许多学者认识到Lotka-Volterra模型不是最好的，尽管Lotka-Volterra模型是生物数学中最基本的模型，但有些竞争系统是不符合Lotka-Volterra模型的，如4，原因就是数学中的线性化使得许多重要因素被忽略了，如毒素的排放和年龄阶段结构等诸多因素，如果这些因素被考虑的话，那么就有非线性模型的讨论必要，如Li和Lu4就讨论了下面更复杂的非线性模型：(1.3)作者针对该系统的概周期情况作了进一步讨论，并构造合适的Lyapunov函数，从而获得保证该系统存在唯一一致渐进稳定的正概周期解的充分条件。正是受到以上文章的启发，在此便讨论了如下带有反馈控制的非线性概周期差分系统：(1.4)其中是一阶向前差分算子，即。假设和, 是非负有界序列；: ；: 和是概周期序列。从生物学意义角度，考虑在条件下的系统 (1.4) 的解情况，易知解是正的，即和, , 。我们统一下列记号：l 表示阶矩阵，且对定义在上的任意有界序列，记l 令 2. 预备知识定义2.11 序列称为概周期序列，如果的-移位数集，是相对稠密的。即对，存在一个整数，使得在任意长为的离散区间中总存在满足不等式，被称为是的-移位数，表示的所有-移位数集。定义2.21 序列称为渐近概周期序列，如果其中是概周期序列，且当时，定义2.31 函数，其中是（更一般的，一个可分离的Banach空间）的开子集，如果对和中任意紧集，存在整数，在任意长为的离散区间中总是存在满足不等式，那么函数对于关于是一致概周期的，被称为是的-移位数，表示对于的所有-移位数集。引理2.1Error! Reference source not found. 假设满足和 对任意的，其中是正常数，那么 引理2.2Error! Reference source not found. 假设满足和 对任意的，且是正常数，那么 考虑下列一般的差分方程（2.1）其中是中的开子集，对于关于是一致概周期的，因此它的乘积系统为：（2.2）引理2.31 假设系统(2.1)的乘积系统(2.2)存在定义域为的Lyapunov函数, 满足下列条件：, 其中和是一个增函数 ; ，是一个正常数； ，其中，另外，假设系统 (2.1) 对，有一个解在紧集，那么系统(2.1) 在中存在唯一的概周期解，且一致渐近稳定。3.持久性命题3.1 假设满足和(3.1)其中和是为正的有界序列, 是一个正常数，则证明 由(3.1) 知根据引理2.1 得，因此 命题3.2 假设满足和(3.2)且, , , 其中和是为正的有界序列, 是一个正常数, , 则证明 由(3.2) 知，结合引理2.2 有因此 命题3.3 系统 (1.4) 的任意解满足证明 由(1.4) 的第一个方程知，结合命题3.1得，(3.3)对, , 存在, 使, 。由 (1.4) 的第二个方程，因此因此 由的任意性，可知命题3.4 假如系统 (1.4) 满足: 那么它的任意解满足，,证明 对, 根据命题3.3 知，存在 和, 使得那么由方程 (1.4) 的第一个方程知，由于 的任意性，结合命题3.2 知对任意小的, 都存在和, 使,。那么由方程 (1.4) 的第二个方程知，因此由 的任意性易知，由命题3.3 和命题3.4可得到第一个主要结论：定理3.5 条件、 和 成立，系统 (1.4) 一致持久。4概周期解的存在唯一性命题4.1 假设 成立，集合表示系统 (1.4) 的解在此集合上。证明 类似于文献6中命题2.3 的证明，此处省略。为了讨论系统 (1.4) 存在唯一的概周期解，且一致渐近稳定，先做变换, 其中是正常数，且满足，(4.1)由命题4.1 知命题4.2 如果成立，集合表示(4.2)的解在此集合上。定理4.3 如果系统 (1.4) 满足下列条件： 成立; 存在正常数和使,其中;那么系统 (1.4) 存在唯一全局渐近稳定的正概周期解。证明 对于, 我们定义 考虑系统 (4.1) 的乘积系统： (4.2)假设和是定义在上的任意两个正解。令 其中那么 其中, , 那么满足引理2.3 的条件。另外，假设和，则有那么满足引理2.3的条件。为了计算系统 (4.2) 的解对应的, 我们首先从条件得知，存在足够小的, 使得, 其中对于上面的, 存在足够大的 使所有的满足那么从 (4.2) 知， (4.3)由中值定理知，其中 位于 和之间，因此其中函数 在时是递增的。显然，由和 的定义，当时, , 结合推出，对于,因此，当时，由 (4.3) 知 那么，我们可得其中 .以上分析表明，引理2.3 的三个条件都成立，所以 (4.1) 有唯一概周期解在中一致渐近稳定，因此 (1.4) 在中有唯一一致渐近稳定的正概周期解。参考文献1 S.N.Zhang,Existence of almost periodic solution for difference systems,Ann.Differential Equations.,16(2)(2000)184-206.2 Y.Xia,J.Cao,H.Hang,F.Chen,Almost periodic solutions of -species competi-tive system with feedback controls,J.Math.Anal.Appl.,294(2004)503-522.3 X.Y.Liao,S.F.Zhou,Y.M.Chen,Permanence and global stability in a discrete -species competition system with feedback controls,Nonlinear Analysis,9(2008)1661-1671.4 C.R.Li,S.J.Lu,The qualitative analysis of -species periodic coeffici-ent,nonlinear relation,prey-competition systems,Appl.Math.Jcu.,12(2)(1997)147-156.5 X.X.Chen,Permanence in a discrete -species non-autonomous Lotka-Volterra com