《含参变量的积分》doc版.doc

羀肄莆蒇袆肃蕿蚃袂肂芈薅螈肂莀螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈聿芅薂螄膈莇螇蚀膇葿薀罿膆腿螆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿芀节蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇莄芃螇螃羀蒅蕿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄肅芄蚄羀肄莆蒇袆肃蕿蚃袂肂芈薅螈肂莀螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈聿芅薂螄膈莇螇蚀膇葿薀罿膆腿螆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿芀节蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇莄芃螇螃羀蒅蕿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄肅芄蚄羀肄莆蒇袆肃蕿蚃袂肂芈薅螈肂莀螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈聿芅薂螄膈莇螇蚀膇葿薀罿膆腿螆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袇芁蒀蒈螃芀膀蚃虿芀节蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇莄芃螇螃羀蒅蕿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄肅芄蚄羀肄莆蒇袆肃蕿蚃袂肂芈薅螈肂莀螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈聿芅薂螄膈莇螇蚀膇葿薀罿膆腿螆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袇芁蒀蒈螃 12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明一、含参变量的有限积分设二元函数在矩形域有定义，一元函数在可积，即积分存在.都对应唯一一个确定的积分（值）.于是，积分是定义在区间的函数，表为称为含参变量的有限积分，称为参变量.定理1.若函数在矩形域连续，则函数在区间也连续.说明：若函数满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .若函数与在矩形域连续，则函数在区间可导，且，有 ，或 .简称积分号下可微分. 说明：若函数满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .若函数在矩形域连续，则函数在区间可积，且.简称积分号下可积分. 说明：若函数满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即.但，对应唯一一个积分（值），它仍是区间的函数，设 . 下面给出函数在区间的可微性.定理4.若函数与在矩形域连续，而函数与在区间可导，有，则函数在区间可导，且二、例（I）例1. 求函数的导数解：，暂时固定，使，显然，被积函数与在矩形域都连续，根据定理2，有.因为使，所以，有.例2 .求.解：，暂时固定，使，显然，被积函数及其关于r的偏导数，即 与 在矩形区域连续，根据定理2 ，有=设（万能换元），有=从而，.于是， （3）又有 .将在做连续开拓.令函数在区间连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有.已知，有 .于是 ， .例3 .证明：若函数在区间连续，则函数是微分方程的解，并满足条件.证明： 逐次应用定理4，求函数的n阶导数，有=，即函数是微分方程的解，显然，当时，.例4. 证明：若函数存在二阶导数，函数存在连续导数，则函数是弦振动方程的解.证明：根据定理4，有于是，即是弦振动方程的解例5 .求积分.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数的原函数不是初等函数，函数在0与1没定义，却有极限 .将函数在0与1作连续开拓，即从而，函数在区间连续.已知而函数在闭矩形域连续，根据定理3，有.解法二 应用积分号下微分法.解： 设 根据定理2，有 .两端求不定积分，有 令 ，有 ，即 于是， 令 ，有 三、含参变量的无穷积分设二元函数在区域有定义。，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值）.于是，是区间的函数，表为 ，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，是参变量.定义 设，无穷积分收敛，若有则称无穷积分在区间I一致收敛。例6 .证明：无穷积分在区间a,b(a0)一致收敛.证明：设,求无穷积分（将u看做常数） 设有已知有使不等式成立，解得。取于是，有即无穷积分在区间一致收敛.定理5 （柯西一致收敛准则）无穷积分在区间I一致收敛，有.定理6 .若有 ，且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛。例7. 证明：无穷积分在区间一致收敛证明： 有 已知无穷积分收敛，根据定理6，则无穷积分在区间一致收敛.例8.证明： 无穷积分在R一致收敛证明：，有.已知无穷积分，则无穷积分在R一致收敛。定理7 .若函数在区域(a0)，连续且 在D有界，即，有则当时，无穷积分 在区间I一致收敛.例9 .证明：无穷积分在区间一致收敛。证明： 因为有，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数在0作连续开拓。首先证明无穷积分在区间一致收敛由7.2例6 ，有,有于是，函数在区域D有界，根据定理7，无穷积分在区间一致收敛，再根据柯西一致收敛准则，无穷积分在区间一致收敛.定理8. 若函数在区域，连续且无穷积分 在区间一致收敛。则函数在区间连续。定理9 .若函数在区域，连续且无穷积分 在区间一致收敛，则函数在区间可积，且，即.简称积分号下可积分.定理10.若函数与在区域，连续且无穷积分 在区间收敛，而无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可导，且即 .简称积分号下可微分.四、例（II）例10 .证明：证明： 将被积函数表积分，即-.已知有 而无穷积分收敛。根据定理6，无穷积分在区间一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有例11. 求无穷积分解：12.1例11证明了无穷积分收敛（条件收敛）因为被积函数不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为此在被积函数中引入一个收敛因子，讨论无穷积分 显然，。无穷积分（）的被积函数及其关于的偏导数，即与在区域连续（连续开拓），已知无穷积分在区间一致收敛（见例），下面证明。，无穷积分在区间一致收敛，事实上有已知无穷积分收敛，由定理，无穷积分在区间一致收敛，根据定理10，有从而下面确定常数C，等式8都成立，有即，对等式（8）等号两端取极限，有即或，于是.下面证明函数在右连续，事实上，已知无穷积分（7）在区间一致收敛，根据定理8，函数在在右连续，对等式（9）等号两端取 极限,有 ，即 .于是 例12. 求无穷积分解：显然，y=0时，=0当，设由例11，有于是，例13 .求无穷积分解： 被积函数是偶函数，有由分布公式与例12，有五、函数和B函数（一） 函数函数称为函数函数的两个性质：1、函数在区间连续2、递推公式 有（二）函数函数称为函数的性质1.对称性 2.递推公式 有即3、事实上，设，有 （11）由公式（11），在下面有几个简单公式：，有 （12）在公式（12）中，令与，有 （13）在公式（13）中，令，有或 ，即六、例（III） 例14.求概率积分与.解：设有于是例15. 求解： 设，有例16.证明：欧拉等式证明： 分别求等号左端的两个积分设，有于是，例17.证明：若有.证明： 设，有例18. 证明：勒让德公式：有.证明： 对等号右端第二个积分做变换，设，有设有由 公式（10）,有已知，即，特别是，令，有 袈螇芁芇袇袀肄蚅袆肂艿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃袄羆膀蚂袃肈莆薈羂膁膈蒄羁袀莄莀薇羃膇芆薇膅蒂蚅薆袅芅薁薅羇蒁蒇薄聿芃莃薃膂肆蚁蚂袁节薇蚁羄肄蒃蚁肆芀荿蚀袆肃莅虿羈莈蚄蚈肀膁薀蚇膂莇蒆蚆袂腿莂螅羄莅芈螅肇膈薆螄螆莃薂螃罿膆蒈螂肁蒁莄螁膃芄蚃螀袃肇蕿蝿羅节蒅衿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄蚅袆肂艿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃袄羆膀蚂袃肈莆薈羂膁膈蒄羁袀莄莀薇羃膇芆薇膅蒂蚅薆袅芅薁薅羇蒁蒇薄聿芃莃薃膂肆蚁蚂袁节薇蚁羄肄蒃蚁肆芀荿蚀袆肃莅虿羈莈蚄蚈肀膁薀蚇膂莇蒆蚆袂腿莂螅羄莅芈螅肇膈薆螄螆莃薂螃罿膆蒈螂肁蒁莄螁膃芄蚃螀袃肇蕿蝿羅节蒅衿肈肅莁袈螇芁芇袇袀肄蚅袆肂艿薁袅膄膂蒇袄袄莇莃袄羆膀蚂袃肈莆薈