《普通数学作业》doc版.doc

肀蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈羇袅芁蚇蚇膀膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃莁螆羀聿莀袈膅莈荿薈羈莄莈螀芄芀莇袂肆膆莆羅衿蒄莅蚄肅莀莅螇袈芆蒄衿肃膂蒃蕿袆肈蒂蚁肁蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿葿蚅羂膅葿螈膈肁蒈袀羁荿薇薀膆芅薆蚂罿膁薅袄膅膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薃螈肆芈薂袁袈膄薁薀肄肀蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈羇袅芁蚇蚇膀膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃莁螆羀聿莀袈膅莈荿薈羈莄莈螀芄芀莇袂肆膆莆羅衿蒄莅蚄肅莀莅螇袈芆蒄衿肃膂蒃蕿袆肈蒂蚁肁蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿葿蚅羂膅葿螈膈肁蒈袀羁荿薇薀膆芅薆蚂罿膁薅袄膅膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薃螈肆芈薂袁袈膄薁薀肄肀蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈羇袅芁蚇蚇膀膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃莁螆羀聿莀袈膅莈荿薈羈莄莈螀芄芀莇袂肆膆莆羅衿蒄莅蚄肅莀莅螇袈芆蒄衿肃膂蒃蕿袆肈蒂蚁肁蒇蒁袃羄莃蒀羆膀艿葿蚅羂膅葿螈膈肁蒈袀羁荿薇薀膆芅薆蚂罿膁薅袄膅膇薄羆肇蒆薃蚆袀莂薃螈肆芈薂袁袈膄薁薀肄肀蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈羇袅芁蚇蚇膀膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃莁螆 普通數學作業競技三 494170174 盧志豪競技四 493170232 黃健崇海龍公式:如右 圖，a = u + v，b2 = h2 + u2，c2 = h2 + v2所 以，u2 - v2 = b2 - c2(u + v) (u - v) = (b + c) (b - c)a (u - v) = (b + c) (b - c)(u - v) = (b + c) (b - c) / a 因 (u + v) = a，所 以 又 h2 = b2 - u2，三 角 形 面 積 = ah / 2卡丹公式:狹義的代數學史可以說是一部解多項式方程式的歷史。解方程式的問題大約可以分成有沒有解、如何找解兩部分；代數學基本定理就是問題第一部份的一個重要答案，它說：一個多項式方程式一定會有一個複數根。 一次方程式當然有一個根，二次方程式 ax2+bx+c=0 當然有兩個根 這些事實很早就知道了；但是前人處理的是實數的問題，如果 b2-4ac0，他們會說根居然含有虛數（負數的平方根），是荒謬的，該揚棄的。不過就二次方程式而言，什麼時候有（實數）解，如何求解都不成問題。 三次呢？三次（和四次）方程式的求解歷史雖然相當曲折有趣 註1 ，但我們想談的是它與虛數的關係。 一般的三次方程式都可以經由移根的處理而變成 x3+px+q=0。當你注意到 (u+v)3-3uv(u+v)-(u3+v3)=0 這樣的恆等式，就知道三次方程式的解法訣竅在那裏：令 如果 u,v 有解，那麼 x=u+v 就是 x3+px+q=0 的解了。因為 u3,v3 滿足， 所以它們滿足二次方程式 ，由此解得 所以 (1)這是所謂的 Cardano 公式。 Cardano（15011576年）以 x3+6x=20 為例，說明這種解法。因為 所以 可是當 Cardano 用同樣方法解 x3=15x+4 時，卻讓他嚇了一大跳：因為 因此 它含有負數的平方根，但 x=4 明明是一個解啊！ 其實，由複數的計算可知 所以 u、v 可取為 及 ，而 正好是所要的答案。虛數居然可以幫助解決實根的問題，它除了荒謬外，又加上一層神秘的色彩。 將 x-4 這個因式從 x3-15x-4 除去後，得商 x2+4x+1。所以 x3=15x+4 還有 x2+4x+1=0 的兩個解 。然而它們在 Cardano 的解法中怎麼沒有出現？毛病在於把 開三次方時，我們只取其中的一個根 。如果以 w 表 1 的三次方根 ，則 的其他兩個三次方根為 因為 ，所以相應的 v 值為 由此可得 或 。 從這個例子可知，除了(1)外，x3+px+q=0 的其他兩根為 (2)由(1)(2)可知， 時，方程式有三個實根，而當 時，方程式有一實根(1)及兩個共軛複根(2)。雖然一定有實根，在這些公式中虛數有如魔鬼附身，想將其揚棄都身不由己。 參考網址: .tw/math/LSC/%AE%FC%C0s%A4%BD%A6%A1.htm.tw/articles/sm/sm_16_01_2/ 莃蒂螂芁薈袀螂肀莁螆螁膃蚆蚂螀芅葿薈蝿莇节袇螈肇蒇螃袇腿芀虿袆节蒆薅袆羁艿蒁袅膄蒄袀袄芆莇螅袃莈薂蚁袂肈莅薇袁膀薁蒃羀芃莃螂羀羂蕿蚈罿肄莂薄羈芇薇薀羇荿蒀衿羆聿芃螅羅膁蒈蚁羄芃芁薇肄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅螇肁莀芈蚃肀肀薃蕿聿膂莆袈肈芄薁螄肈莇莄蚀膇肆薀薆螃膈莃蒂螂芁薈袀螂肀莁螆螁膃蚆蚂螀芅葿薈蝿莇节袇螈肇蒇螃袇腿芀虿袆节蒆薅袆羁艿蒁袅膄蒄袀袄芆莇螅袃莈薂蚁袂肈莅薇袁膀薁蒃羀芃莃螂羀羂蕿蚈罿肄莂薄羈芇薇薀羇荿蒀衿羆聿芃螅羅膁蒈蚁羄芃芁薇肄羃蒇蒃肃肅艿螁肂膈蒅螇肁莀芈蚃肀肀薃蕿聿膂莆袈肈芄薁螄肈莇莄蚀膇肆薀薆螃膈莃蒂螂芁薈袀螂肀莁螆螁膃蚆蚂螀芅葿薈蝿莇节袇螈肇蒇螃袇腿芀虿袆节蒆薅袆羁艿蒁袅膄蒄袀袄芆莇螅袃莈薂蚁袂肈莅薇袁膀