册主题三三角形的基本性质.docVIP

膄膅莄螄膀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膁薃蚄肂芀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芅薄羄袇芄蚆螇膅莃莆薀肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀莀螃衿莀蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膅蒅薁袈肁蒄蚃蚁肇蒄蒃袇羃肀薅蝿衿聿蚈羅膇肈莇螈肃肇蒀羃罿膇薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄膀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膁薃蚄肂芀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芅薄羄袇芄蚆螇膅莃莆薀肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀莀螃衿莀蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膅蒅薁袈肁蒄蚃蚁肇蒄蒃袇羃肀薅蝿衿聿蚈羅膇肈莇螈肃肇蒀羃罿膇薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄膀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膁薃蚄肂芀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇袇螀芇虿蚀腿芆荿羆肅芅蒁螈羁芅薄羄袇芄蚆螇膅莃莆薀肁莂蒈螅羇莁薀薈袃莀莀螃衿莀蒂蚆膈荿薄袂肄莈蚇蚄羀莇莆袀袆蒆葿蚃膅蒅薁袈肁蒄蚃蚁肇蒄蒃袇羃肀薅蝿衿聿蚈羅膇肈莇螈肃肇蒀羃罿膇薂螆袅膆蚄蕿膄膅莄螄膀膄薆薇肆膃蚈袂羂膂莈蚅袈膁蒀袁膆膁薃蚄肂芀蚅衿羈艿莅蚂袄芈蒇 第四冊主題三三角形的基本性質3-4 三角形的邊角關係PA RT 1 主題探索窗探索一、三角形任兩邊之和大於第三邊從三角形的 SSS 全等性質我們知道，若是知道一個三角形的三邊長， 則我們可以決定出這個三角形。因為滿足 SSS 對應條件的三角形都 會全等。但是，並非任意的三個線段都可以作為三角形的三邊長，例 如 1、2、3，如圖。213我們可以從上面的過程得知，三角形的三邊長必須滿足某一種關係才行，本單元就是要探討三角形的三邊長有何關係？ 我們利用一個生活例子來說明小橋的國中生活範例 1.如圖，小橋在學校放學之後常常都要到補習班補習，一直到很晚才能回到家，每週四是他最快樂的日子，因為這天他不用補習，放學後就 可以直接回家，享用豐盛溫馨的晚餐。17同學們，你的國中生活是否與小橋有很多共同點呢？其實這樣看似枯燥的日子，也潛藏了數學概念哦，請看！B(補補補)caA(學學)bC(小小小小 )從 A 點出發到達 C 點，因為兩點之間以直線距離最短，所以 acb同理 bca，abc(註： BC = a ， AC = b ， AB = c )因此，三角形的三邊長必須滿足任意兩邊長和第三邊的條件。(一般而言，必須檢查 3 次)練習 1.請問下面幾組數中，哪幾組可作為三角形的三邊長？可以請打 ，不可以請打 。(1) 2，3，4(2) 4，6，10 (3) 3，4，5(4) 1，1，100(5) 1，100，100(6 ) 100，100，100從上面的練習，我們發現當我們要檢查 3 個數是否可以形成一個三角形，有些檢查的過程似乎是多餘的，例如 3，4，5。 因為 54，53所以只要檢查 345 即可。 (即 534，543 可以不必檢查)1，100，100 也是如此，只要檢查 1100100 即可(即 1001001 是多餘的)從上面的說明我們得到一個較簡便的方法，若是 ca，cb，(a、b、c 均大於 0)，則 cabcba 一定成立所以，可以不必檢查， 只要檢查 abc 是否成立即可。 因此，三線段中，若是知道哪一線段為最大，則只要較小兩線段之 和大於最大線段，則此三線段即可完出一個三角形。換言之，三角形任意兩邊之和第三邊，也可以說成較小兩邊 之和最大邊範例 2.已知一個三角形的三邊長為 3、7、x，其中 x 為正整數，請寫出 x 可能的值？ 解 由三角形任意兩邊之和第三邊得到37x7x3 (這是一定的，因為 73 )3x7由 37x，得到 x37，即 x10 由3x7，得到 x73，即 4x 所以4x10所以 x 可能為 5、6、7、8、9在範例 2.中，似乎感覺到 x 不可以太大，x 小於另外兩邊和(x37)， 而且 x 也不可以太小，x 必須大於另外兩邊的差(x73)，練習 2.請問下面幾組數中，哪幾組可作為三角形的三邊長？可以請打 ，不可以請打 。(1) 7、3、2(2) 7、3、3 (3) 7、3、4(4) 7、3、4.5 (5) 7、3、5(6) 7、3、9 (7) 7、3、9.5 (8) 7、3、10(9) 7、3、10.5(10) 7、3、11我們可以想像有時針(長度為 3)，分針(長度為 7)，什麼時候不能形成 三角形，例如 6 點整，還有 12 點整，就像下圖。則它們的第三邊必定小於 73(6 點整最長)，73(12 點整最短)。因此，我們得到三角形三邊長的關係兩邊差(取正值)第三邊兩邊和探索二、在同一三角形中，大邊對大角我們知道A在等腰ABC 中，若 AB = AC ，則BC； 反過來說，BC在ABC 中，若BC，則 AB = AC 。我們將上面的結論稱為，在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊範例 3.接下來，我們要探討在同一三角形中，當兩邊不相等時，則它們的對角大小關係如何？A解：我們利用等腰ABC 來作實驗，不難發現在ADC 中，當 AD AC 時，BC則 AD 的對角ACDACBAC 的對角ADCABC (why？)D所以 ACDADC這個性質我們稱為在同一三角形中，大邊對大角A練習 3.如圖， AB = AC ，請說明ABCADCBCD探索三、在同一三角形中，大角對大邊範例 4.反過來說，在同一三角形中，當兩內角不相等時，則它們的對邊大小關係又如何呢？解：D我們還是利用等腰ABC 來作個實驗，我們利用等腰ABC 來作實驗，A不難發現在DBC 中，當DBCDCB 時，則DBC 的對邊 DC( DA + AC )BCDCB 的對邊 DB在ADB 中，因為 DA + AB DB又 AB = AC所以 DA + AC DB即 DC DB這個性質我們稱為在同一三角形中，大角對大邊PA RT 2 學習檢測站1.美美有五根竹棒子，它們的長度分別是 2、3、4、5、6 公分。如果 她要選其中三根長度分別為 a、b、c 公分去圍成一個三角形，其中 abc。請問有 種不同的選擇方法。2.已知三角形三邊長為 3、7、a，請用一元一次不等式寫出 a 的範圍3.()在ABC 中，已知AB90，而且AB ，則ABC為何種三角形？(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)等腰三角形4.()在ABC 中，若ABC，而且三內角的度數均為 正整數，則下列哪一個選項是可能發生的？(A) A58(B) B60(C) C62(D) B905.()已知ABC 中，A50，B65，請畫出適當的三角形並判斷下列四個選項，哪一個正確？(A) AC BC(B)AC = BC(C) AB BC(D) AB BC 。6.()已知ABC 中， AB 7， BC 8， CA 2.5 ，則三內角的大小關係為 PA RT 3 高手競技場1.典典想在紙上畫一些三角形，他希望三邊長 a、b、c 公分都為正整 數，其中 abc。只知道周長為 8 公分，請問 c 。2.()請依照下列的步驟畫出適當的圖形。(1)畫一個ABC(2)在 AC 邊上找一點 D，使得 AB = AD 3.14， DC = DB 3.14請問在你所畫出來的圖形中，找不到下列哪一種三角形呢？(A) 正三角形(B) 直角三角形(C) 鈍角三角形(D) 等腰直角三角形3.()已知 ABC 中，A70，B60， AB = 200 ，請問下列 敘述何者正確？(A) 200AC BC(B) BC AC 200 (C) BC AC 200 (D) 200 AC BC4. () ABC 中，AB，B 的外角小於 120，請問三邊長的 大小關係為 5.()如圖所示，若從 A 點將AXY 剪開並拉直，則會得到 AB 。已知 AB 的中點為 M，請用適當的方式說明下列敘述何者正確？X120A(B)3525Y(A) M 點為在 XY 上(B) M 點為在 BY 上，且距 Y 點較近，距 B 點較遠 (C) M 點為在 XY 上，且距 X 點較近，距 Y 點較遠 (D) M 點為在 XY 上，且距 Y 點較近，距 X 點較遠PA RT 4 資源補給庫看歐基里得如何證明三角形任意兩邊和大於第三邊？圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖 性的了解、論述性的了解。教師在從事幾何教學時，最要避免的是來 自本身歐氏公設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順 序。由歷史來看，人類是先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要 素與性質，彼此之間並沒有一定的先後關係。歐氏幾何的價值，首先 是對這些先民知識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系 統。(教育部，2003)由前一段的引言中，實在令我們感到好奇。我們對於幾何原本 或是歐基里得等名稱以及相關的歷史故事，幾乎耳熟能詳，就算數學 課不認真沒上到，但至少歷史課上，歷史老師說的故事可精采無比。 聽起來還滿有趣的，可是前一段的引文中，對於歐基里得的幾何原 本感覺上，對國中生而言，卻像是視為限制級一樣，請老師千 萬要注意，尤其是對於小朋友，觀看一定要大人陪同。到底幾何原 本的內容是如何呢？且讓我們一起來一探究竟。下面我們將以三角形任意兩邊和大於第三邊為例，瞧一瞧幾何原本的內容，看一看歐基里得是怎麼想的？透過這樣的過程，或 許下次再面對這些古人的作品時，會有不同的感受！正所謂：今人 不見古時題，今題曾經照古人。幾何原本第一卷命題 20A如圖，已知ABC 中，證明任意兩邊和大於第三邊。解：BC延長 BA 並在延長線上，取 AD = ACD則ACD 為等腰。所以ADCACDA因此BCDACDADCBC在BCD 中因為 BCDADC所以 BD BC (在同一個三角形中，大角對大邊)即 BA + AD BC又 AD = AC所以 BA + AC BC同理可證AB + BC AC 、 AC + CB AB註：上面所呈現的符號表達方式使用國中生的學習習慣參考資料：1 教育部(2003)。附錄一五大主題說明(二)幾何。國民中小學九年一貫課程綱要-數學學習領域，7273。台北市，教育部。2 藍紀正、朱恩寬譯(1992)。第一卷。歐幾里得-幾何原本。台北市， 九章出版社。3 梁子傑(2005)。第一章第四章。幾何原本導讀，178。台北市， 九章出版社。4 David E. Joyce (Professor of Mathematics and Computer ScienceClark University)。Book I。Euclids Elements。Mathematics web pages，/djoyce/java/elements/elements.html。本單元參考答案PA RT 1 主題探索窗練習 1. (1) E(2) 1(3) E(4) 1(5) E(6) E練習 2. (1) 1(2) 1(3) 1(4) E(5) E(6) E(7) E(8) 1(9) 1(10) 1PA RT 2 學習檢測站1. 72. 4a103. (C)4. (B)5. (C)6.ABCPA RT 3 高手競技場1. 32. (D)3. (B)4. BCACAB5. (D) 詳解同學們可利用尺規作圖的方式，先作出 AB AX + XY + YB AXY 的周長可得到 X、Y 兩點，然後再作出 AB 的中垂線，即可得到 M 點A X M Y B(註：同學們也可以試試別的解法) 袄螇芄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅羈芁薀羁袄芁蚃螃膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃肅莅薁螈肁莅蚃蚁羇莄莃袇袃莃蒅虿膁莂薈袅肇莁蚀蚈羃蒀莀袃衿肇蒂蚆螅肆蚄袂膄肅莄螄肀肄蒆羀羆肃蕿螃袂肂蚁薅膀肂莁螁肆膁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂袄膈蒇袈膃膇蕿蚀聿膆蚂袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇芄薆蚇肆芃芆袂羂节莈蚅羈芁薀羁袄芁蚃螃膂芀莂薆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀莇芇螀