行列式與矩陣-第三冊空間向量.doc

林信安老師編授第十單元 一次方程組與矩陣的列運算(A)一次方程組與高斯消去法：例子：試利用高斯消去法解下述一次方程組 故(1)高斯消去法(Gauss Elimination)解題過程：(a)將一次方程組(L)利用某個方程組中x的係數消去其它方程式中x的係數， 得出同解的方程組(L/)。(b)利用另一方程式中y的係數消去其它方程式中y的係數，而得出同解方程組 (L/)。(c)再利用另一方程式中z的係數消去其它方程式中z的係數，而得出同解方程 組(L/)。 繼續上面的作法，把另外還有的變數以同樣的方式消去，最後便能得此一次方 程組的解。(2)利用高斯消去法討論一次方程組的解： 無解：利用高斯消去法到最後，出現下列的型式，則方程組無解。 或 無限多解：當一方程組用高斯消去法到最後，出現下列的型式，則方程組無 限多解。例題1 試利用高斯消去法解下列一次方程組： Ans：x=1+t，y=3-t，z=t，t為實數。(B)係數矩陣與增廣矩陣：(1)矩陣的引入： 在方程組中，將係數與常數項列出來成一個矩形陣列，並用一對括號把這些數圍起來而成為，像這樣型式的矩形陣列，稱之為矩陣。(2)記號與符號： 矩陣M= 直行橫列 (a)元：矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元。(b)列：同一水平線各元合稱此矩陣的一列。(c)行：同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行。(d)位於第i列，第j行的元稱為(i,j)元。(e)當一個矩陣M有n列m行時，我們稱M為nm階的矩陣。(f)當一個矩陣M有n列n行時，我們稱M為n階的方陣。(h)設A=aijmn是一個階矩陣，作一階的矩陣B=bijnm，其 中bij=aji，則稱矩陣B為矩陣A的轉置矩陣，符號：B=At。例子： (1)M1中(2,-1,1,3)為第 列。(2) M1中為第 行。(3)M1為 階矩陣。(4)M1的(2,3)元為 。(5)M2為 階方陣。(6)M2中第二行的向量為 。(3)係數矩陣與增廣矩陣：(a)係數矩陣：將方程組(L)的係數依序列出來的矩陣稱為係數矩陣。(b)增廣矩陣：將方程組(L)的係數及常數項依序列出來的矩陣稱為增廣矩陣。 例： 的係數矩陣：， 增廣矩陣：(4)矩陣的列運算：我們使用高斯消去法求解一次方程組，在求解的過程中，可以把方程組以它的增廣矩陣來代替，如此就把方程組的變形過程轉成增廣矩陣的變形。 矩陣的列運算：(a)將一矩陣的某一列乘上某一數值加入另一列。(b)將一矩陣的某一列乘以一個不為0的數。(c)將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置。簡化矩陣：一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為0的列中，第一個不為0的元所屬的行中，只有這個元不等於0。我們就稱它為一個簡化矩陣。例如：為一個簡化矩陣。例題2 設矩陣A=(1)試求矩陣A所對應的方程組L。(2)化矩陣A為簡化矩陣。(3)試寫出(L)的解。Ans：(1)L：(2)(3)x=1,y=1,z=2(C)三階行列式的計算： (1)行列式的展開： (a)直接展開：=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh (b)降階展開：=g-h+i。 (2)行列式的性質： (a)行列互換其值不變。 (b)某二行(列)對調其值變號。 (c)二行(列)成比例其值為0。 (d)某一行(列)乘上k，加到另一行(列)，行列式值不變。 (e) (3)行列式計算時之注意事項： (a)降階求值：利用(2)(d)之性質，將行列式化至某一行、列，的各項中， 出現至多一個不為0，再利用該行、列降階求值，因為其他二項皆為0， 因此只需計算一二階行列式即可。 (b)觀察各行、列是否有公因數(式)，若有，提公因數(式) (c)觀察各行、列是否有成等差，若有可利用(2)(d)之性質，將行列式化某 一行、列會成比例。 (d)觀察各行、列，逐項相加是否相等，若相等可利用(2)(d)之性質，將其 加到某一項，再提公因數，降階求值。例題3 求下列各行列式之值(1) =？ (2)=？ (3) =？ (4)=？ Ans：(1)48 (2)0 (3)-18900 (4)0例題4 因式分解下列行列式：(1) (2)Ans：(1)2(a+b+c)2 (2)(b-a)(c-a)(c-b)例題5 設=5，則=? Ans：55例題6 設a,b,c為方程式2x3-5x2+1=0之三根，則=？ Ans：(D)行列式與方程組 (1)設方程組，設=，=，=，=(a)若0，則方程組恰有一解：。(b)若=0，則方程組無解或無限多解。(c)若=0，、有一不為0，則方程組無解。(2)方程組 的幾何意義： 三平面的相交情形可分為二類： (a)三平面中至少有二平面平行或重合： (b)三平面不互相平行或重合(3)齊次方程組： 至少會有(0,0,0)的解，所以(a)若D，則齊次方程組只有一組解(0,0,0)。(b)若D=0，則齊次方程組除了(0,0,0)之外，尚有其他的解。例題7 試就a值討論下述三平面的相交情形：例題8 若a及b為二實數，且聯立方程組有二組以上的解，則a之值為 ，b之值為 。Ans：a =2，b =-1 (84 社)例題9 方程組有異於(0,0,0)之解，a= 。Ans：0,3 (E)行列式的應用： (1)設平面上有三點A(a1,b1),B(a2,b2),C(a3,b3)，則三角形ABC的面積為 DABC=的絕對值=的絕對值。 (2)由=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，=(c1,c2,c3)三向量所展成的平行六面體 的體積=的絕對值。 (3)設空間中有四點A(a1,b1,c1)、B(a2,b2,c2)、C(a3,b3,c3)、D(a4,b4,c4)， 則四面體ABCD的體積=(由向量,所展成平行六面體體積)。 (4)如果 ，且中至少有一個不為0， 則x：y：z=。 (5)設L1：a1x+b1y=c1、L2：a2x+b2y=c2、L3：a3x+b3y=c3表三相異直線， 則若L1、L2、L3相交於一點 例題10 空間三向量，所張成的平行四面體的體積為5，則由所張成的平行六面體的體積為？Ans：20 (85學科)例題11 空間中四點A(1,1,4)、B(-1,0,-1)、C(2,1,1)、D(0,3,1)則四面體ABCD的體積為 。Ans： 例題12 若x+2y=kx-3，x+2y+4=ky+1，x+2y=k-3三線共點則k=？Ans： 6複習評量(A)學科能力測驗、聯考試題試題觀摩：1. 設a為不等於0的實數，關於方程式組的解，下列選項那些是正確的？(A)當a=3時，無解 (B)當a=1時，恰有一組解 (C)當a=時，恰有一組解 (D)當a=-1時，有無限多組解 (E)當a=-4時，有無限多組解。Ans：(C)(D) (85社)2. 下列選項中的行列式，那些與行列式相等？(A) (B) (C) (D) (E) Ans：(B)(C) (88 學科)3. .將行列式 展開得到多項式f(x)。下列有關f(x)的敘述，何者為真？(A) 是一個三次多項式(B) (C) (D) (E) Ans：(A)(B)(C)(D) (89學科)4. 相傳包子是三國時白羅家族發明的。孔明最喜歡吃他們所做的包子，因此白羅包子店門庭若市，一包難求，必須一大早去排隊才買的到。事實上，白羅包子店只賣一種包子，每天限量供應999個，且規定每位顧客限購三個；而購買一個、兩個或三個包子的價錢分別是8、15、21分錢。在那三國戰亂的某一天，包子賣完後，老闆與老闆娘有如下的對話：老闆說：賺錢真辛苦，一個包子成本就要5分錢，今天到底賺了多少錢？老闆娘說：今天共賣了7195分錢，只有432位顧客買到包子(a)請問當天白羅包子店淨賺多少錢？(b)聰明的你，請幫忙分析當天購買一個、兩個及三個包子的人數各是多少人？Ans：(1)2200分錢 (2)買一個包子有95人，買二個包子有107人，買三個包 子有230人 (90大學社)5. 下列那些選項與方程組的解集合相同？(A)y=0 (B) (C)x=y=0 (D) (E) 。Ans：(B)(D)(E) (91學科)(B)重要問題複習：6. 利用高斯消去法解： Ans：x1=30t，x2=67t，x3=24t。7. 利用高斯消去法解： Ans：無解8. 利用增廣矩陣的列運算，求下列方程組的解。(1) (2)Ans：(1) (2)無解9. 解下列各二元一次方程式：(1) (2) (3)Ans：(1) (,)，(,)，(,)，(,) (2)(1,2) (3)(,)，(0,0)10. 就k值討論方程式的解：。Ans：當k1，時，恰有一組解，當k=1時，有無限多組解，當k= 時，無解。11. 解下列各三次方程式：(1) (2) Ans：(1)(3,2,4) (2)(3,4,5)12. 齊次方程組：(1)除(0,0)外尚有其他解，則a=？b=？(2)有異於(0,0,0)的解，則a=？ 解為何？Ans：(1)a=6，b=-4 (2)a=3 解為(-t,-18t,13t)13. 若與為同義方程組，且恰有一解，則(a,b,c)=？Ans：(1,0,-3)14. 已知方程組恰有一組解(a,b g )，abg0 則方程組之解為何？Ans：(4a ,2b ,)15. 設xyz0，若x+3y+5z=0，2x+4y+7z=0則(1)x:y:z=？ (2)=？ Ans(1)1:3:(-2) (2)16. 若有無限多解，則(1)a=？b=？ (2)方程組的解。Ans：(1)a=1,b=4 (2)x=+，y=+t，z=t17. 行列式求值問題：(1) (2) (3) Ans：(1)0 (2)abc+ab+bc+ca (3)0 18. 因式分解下列各式：(1)=？ (2)=？ (3)=？ Ans：(1)2(a+b+c)2 (2) (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (3) 2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)19. 行列式的應用：(1)將展開並因式分解。 Ans：2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(2)解方程式： Ans：x=5，-3(3)解不等式 Ans：x-6但x0(4)設a,b,c為x3-3x2+4x-5=0的三根，則=？ Ans：5420. 設DABC之三頂點為A(