[理学]概率论与数理统计课后答案.doc

第1章 三、解答题 1设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为，又因为即 所以(1) 当时P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足，记P(A) = p，试求P(B) 解：因为，即，所以 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求 解：因为P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：法一：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：+ 其中：为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：-法五：考虑对立事件：- 其中：为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件： 其中：为没有一双配对的方法数所求概率为 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则, , 8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 , 9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则.所以 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间W = (x，y)：0 x，y 1 事件A =“两数之和小于6/5”= (x，y) W ： x + y 6/5因此图？ 11随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 W=(x，y)： 事件A =“原点和该点的连线与轴的夹角小于” =(x，y)：因此 12已知，求 解： 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；， 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得 15将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由贝叶斯公式得 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 第二章2一、填空题：1. ，2. ，k = 0，1，n3. 为参数，k = 0，1，4. 5. 6. 7. 8. 9. X-112pi0.40.40.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。10. 分析：每次观察下基本结果“X1/2”出现的概率为，而本题对随机变量X取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以11. ,同理，P| X | 3.5 =0.8822.12. .13. ，利用全概率公式来求解：二、单项选择题：1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导F(-a)=2. B，只有B的结果满足3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证4. D，可以看出不超过2，所以，可以看出，分布函数只有一个间断点.5. C, 事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，即 .三、解答题（A）1(1)X123456pi分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为多算了一次）或种，故,其他结果类似可得.(2) 2X-199pi注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然.3，所以.4(1) ，(2) 、 、 ；5(1) ，(2) ，(3) .6(1) . (2) .7解：设射击的次数为X，由题意知，其中8=4000.02.8解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，则指示灯发出信号的概率 ；9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则，则10. (1)、由归一性知：，所以.(2)、.11. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.12. 解 因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以 若方程有实根，则，即 ，所以有实根的概率为 13. 解: (1) 因为 所以 (2) ，则，经查表得，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。(3) ，则，即，经查表知，故，即；14. 解： 所以 ，；由对称性更容易解出；15. 解 则 上面结果与无关，即无论怎样改变，都不会改变；16. 解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律为 17. 解 因为服从正态分布，所以，则，当时，则当时，所以Y的概率密度为；18. 解，所以19. 解：，则当时，当时，20. 解: (1) 因为所以(2) ，因为， 所以（3） 当时， 当时， 所以 ，因为，所以四应用题1解：设X为同时打电话的用户数，由题意知设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则，其中查表得k=5.2解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则， 5小时后系统不能正常工作，即，其概率为3解：因为，所以 设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则，(1) .(2) .4解： 当时，是不可能事件，知， 当时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布，知， 当时，为必然事件,知，因此，Y的分布函数为 ；5解：(1) 挑选成功的概率；(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该，设10随机挑选成功三次的概率为：，以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。第三章1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：PX=1,Y=1=PX=1PY=1|X=1|=2/31/2=/3同理可求得PX=1,Y=1=1/3; PX=2,Y=1=1/3(X,Y)的分布律用表格表示如下：YX1211/31/321/302 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2(1) PX=i, Y=j=PX=iPY=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j2或者用表格表示如下： YX01203/286/281/2819/286/28023/2800 (2)P(X,Y)A=PX+Y1=PX=0, Y=0+PX=1,Y=0+PX=0,Y=0=9/143 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则PX=0,Y=0=)=P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=1,Y=1=P(AB)=1/84.解：(1)由归一性知：1=, 故A=4(2)PX=Y=0(3)PXY= (4)F(x,y)=即F(x,y)=5.解：PX+Y1=6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3.PX=0,Y=0=0.53=0.125; 、PX=0,Y=1=0.53=0.125PX=1,Y=1=, PX=1,Y=2=PX=2,Y=2=0.53=0.125, PX=2,Y=3=0.53=0.125X,Y 的分布律可用表格表示如下： YX0123Pi.00.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.j0.1250.3750.3750.12517. 解：8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 9 解：(X,Y)在区域D上服从均匀分布，故f(x,y)的概率密度为10 解： 当00时，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2 W -101Pj 0.160.530.3114 解： 由独立性得X，Y的联合概率密度为则PZ=1=PXY=PZ=0=1-PZ=1=0.5故Z的分布律为Z01Pk0.50.515 解：同理，显然，所以X与Y不相互独立.16 解：(1) 利用卷积公式：求fZ(z)=(2) 利用卷积公式：17 解：由定理3.1（p75）知，X+YN(1,2)故18解：(1) (x0)同理， y0显然，所以X与Y不相互独立(2).利用公式19解：并联时，系统L的使用寿命Z=maxX,Y因XE(a),YE(b),故 串联时，系统L的使用寿命Z=minX,Y 第四章4三、解答题1. 设随机变量的分布律为X 202pi0.40.30.3求，解：E (X ) = = +0+2= -0.2E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，E (Xi ) =1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =821/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的 (1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则XB(n, p1),所以E (X )= n p1(2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y B(n, p),记A =借甲种图书， B =借乙种图书，则p =A B= p1+ p2 - p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)解：依题意，XB(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 设，且，求E(X)解：由题意知XP（），则X的分布律P =，k = 1,2,.又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？解：因为级数， 而发散，所以X的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为求一天的平均耗电量 解：E(X) =6. 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X)解：由题意知，随机变量X的概率密度为 当5时， ，当5时，0.E(X) =所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为求X的数学期望E(X)解：E(X) =1/4 10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)解：.11. 设，求数学期望解：X的分布律为， k = 0，1，2，3，4，X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以 12. 设风速V在(0，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k 0，常数），求W的数学期望解：V的分布律为，所以 13. 设随机变量(X, Y )的分布律为 Y X01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X Y )解：E(X)=0(3/28+9/28+3/28）+1(3/14+3/14+0)+ 2(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0（3/28+3/14+1/28）+1(9/28+3/14+0)+ 2(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律X10 11 12 13 14pi0.2 0.3 0.3 0.1 0.1所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)解： E(Y) = E1000(12-X)=1000(12-10)0.2+(12-11)0.3+(12-12)0.3+(12-13)0.1+(12-14)0.1 = 400E(Y2) = E10002(12-X)2=10002(12-10)20.2+（12-11）20.3+（12-12）20.3+（12-13）20.1+（12-14）20.1=1.6106D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=1.6106- 4002=1.44106 16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为其中0 p 1是常数，求E(X)，D(X)解：令q=1- p ,则 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 设随机变量X的概率密度为，试求E(X)，D(X)解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，解：因为，所以=-1/632=-1,19. 在题13中求Cov(X，Y)，rXY解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+13/14+20+40=3/14, E(X2)= 02（3/28+9/28+3/28）+12(3/14+3/14+0)+ 22(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02（3/28+3/14+1/28）+12(9/28+3/14+0)+ 22(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -E(X)2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2)- E(Y)2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) (3/4)= -9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ()= -/520. 在题14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)解：,21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相关.当x2 + y21时，f ( x,y)fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 x 1, | y | 2x ,所以Cov(X，Y)=0，从而，因此X与Y不相关 . 所以，当0x1, -2y2时，所以X和Y不是相互独立的 .四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数的指数分布，问若要获利的数学期望最大，应该生产多少件产品？（设m,n,均为已知）.解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y 0 yx x 2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。解： 设真正卖报数为Y ,则，Y的分布为设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为当给定m,n,之后，求r，使得E(g(Y)达到最大.第五章5三、解答题1. 设随机变量X1，X2，Xn独立同分布，且XP(l)，试利用契比谢夫不等式估计的下界。解：因为XP(l)，由契比谢夫不等式可得2. 设E(X) = 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = 0.5，试根据契比谢夫不等式估计P|X + Y | 3的上界。解：由题知 =0Cov= -1.5所以3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , . , 16 ，则X1 ，X2 ，. ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由独立同分布的中心极限定理可知：近似服从N ( 1600 , 1.610000)，所以=1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ，则X B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240，根据题意应确定最小的n，使PX n = 99.7%成立.则PX n 所以，取n=643。即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P84 X 15.366,故n至少为16. 5. 从正态总体中抽取样本X1，X2，X10 (1) 已知m = 0，求； (2) m未知，求 解：（1）因为XiN(0，0.5 2)，即,令，则由于查表知，所以. (2) ）因为XiN(m，0.5 2)，即，所以, , =，查表知，所以 6. 已知X t (n)，求证X 2 F(1，n) 证明：因为X t (n)，存在Y N(0，1)，Z c2(n)，Y与Z独立，使，由于，且Y2与Z独立，所以.第七章7（A）三、解答题 1. 设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量 解：因为，所以X的一阶矩用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到所以的矩估计量为 2. 求均匀分布中参数的矩估计量 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为m2 = E(X 2) = D(X) + E(X) 2= 用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得的矩估计量为 3. 设总体的概率密度为，是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量 解：总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到 4. 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量 解：总体X的一阶为总体X的二阶为用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得和的矩估计量为，. 5. 设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量 解：由于X的分布律为基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为解得的最大似然估计值为的最大似然估计量为 6. 设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为当时，令，解得考虑到所以，的最大似然估计值为将数据代入计算，的最大似然估计量为0.000858 7. 设某电子元件的使用寿命的概率密度为为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为容易看出越大L(q)越大，在约束下，即为最大似然估计值。 8. 设是取自总体N(m，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为m的无偏估计量，并确定最有效的一个， 证明：因为独立均服从N(m，1)，且.所以，均为m的无偏估计量。又因为所以最有效。 9. 设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本是任意常数,证明是m 的无偏估计量证明：因为Xi的数学期望均为，所以故是m 的无偏估计量 10. 设总体是来自X的一个样本 (1) 试确定常数c，使为s 2的无偏估计; (2) 试确定常数c，使为m 2的无偏估计 解：（1）因为所以当时，为s 2的无偏估计。 （2）因为所以当时，为s 2的无偏估计。 11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N(m ，s 2)；在下面两种情况下，求m 的置信水平为0.95的置信区间 (1) 由以往的经验知s = 0.6 (小时); (2) s 未知 解：（1）由于s = 0.6，求m 的置信区间由公式计算，其中n=9，a=0.05，1.96，代入计算得m 的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）. （2）由于s 未知，求m 的置信区间由公式计算，其中n=9，a=0.05，=2.306，代入计算得m 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442） 12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间假设产品直径近似服从正态分布 解：设XN(m , s2),由于s2未知，m 的置信区间为，其中n=9，a=0.01，代入计算得m 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）. 13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间 解：设XN(m,s2),由于s未知，m 的置信区间为，其中n=9，a=0.05，=2.306，代入计算得m 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）. 14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间 解：设XN(m , s2),由于m未知，s2的置信区间为其中n=8，a=0.01，s = 2.4，代入计算得m 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，