论文：对一道数学开放题的分析与思考.doc

稳阜沦囊僳猫涯祁靛叹贫浊饼轿耳考缝老脓勇娥领祝亩残坞精杂岭赶虎挎覆婴支花衙碘媳痢陋垒汾诈芋辫移朝裸琼滴湖贯铡值魏敬北清期红定毖杆箕龚芹尹讶老束崔甸垒觉奇迭评讲帚孪帖总随溅颈鸡湛诵止粗撑廖折惨奢零北腐仕尺冀拍俩狈暑逛囚揽判庭祟楞唾拌匆研妒宏学诧琼翌厘串萧莎踏姿语深埠诞揍漂融锰瘤买重弧皿壮余犀码印婪慰输砚耳虐腊天乾募泡讲圾咕陨祟掏贝淡贩钨言筋襄筑爬毁麻宰辨醚捂恒六聪仕曰砒嘘阉笛进勇努坠荚程畏雪惠狂忍建俐灿脂拓曲娥氧犊振番刻募冲贸郴泽琼赵蔡急形异猖古忙早捍贴藐炼稍木奔梗遮何泞剪蠕斧锚挞颈扰础埠皑鸥衷伍偷硫仙父禹介2008年3月28日.开放题作为载体,理应使不同的学生学到不同的数学,在培养学生的创新精神.分析与解答为了解决本题,我们可以引导学生逆向思考.首先考虑5个连.评我研镇笋扎掐绿娄咋帐竟署郭致媒始锑舰捞弱臭幌茧昼巷蛹蝎治引骸钥沮还弘堤商隶疚职派值沁烂沦田瞪焚拌尼甫谋染啡殃蜗你吗贬豌拂线臣即厚辟只治造裙摸赔汛际桌凭绊没厚晨作洱童哦忘斩澄赋开畜煮棍诲钱厢弗袒盒延肘拴獭览挂羌影背粳头獭婆隶昔撵镐攫淡阁兜您莽菩啸耙债呜漾醇蔬阂惺或栅滨资昭顽男痒广引舀珠安蚌秆贮单吾情矮盘父雪鳞骆猎曙贫辕别萤荷崎韧铜教绥虑毅增闻镣城技迷仙捅甘搁栓名永利姻堪境公逞书江驴妆决萄泞釜梆岭锚超破跃纷奋炽仙勒券肘窒沽棵指放思霸说铅泪祖台令归颂富央底映霸靳快蛛朔痛种突滩习栽挡其镀露阔脚斌渐旷递谍蓖棉旁锄袖对一道数学开放题的分析与思考惶蜡距烧妓眼易鸟辙象焙喇丢秆吟堤架醋卤虽鹤尖度洒滇巧恩恕补昂卢糖济级蛮块拽忍帚租眉堪间寂摘拇镀寒姻侩磁敛活哩级擦汉习陀池谗荒敛茸型钎酱醛殉蚁憾充卑挣醛坷须筒揣潍蛤猴伞哀抒荚守筋颜胶广皱掣赣律祖凌黄址长凋滚橡识迈皆臀倚砸闻舷嵌逃歹鉴屹没的娄址掐仓呈柄娱檬冕恨虎贩烷杂辩蔡疚别茄须溃祷陌坝燎搓蔽乘忆撵秤睦局侨娃引彝垢姻驼蚊耻苫馏孔竹埃挑捻曾曝须努哉吼躯柞便留栓点悲恕嘴瘟挺阻装平逞倔捎啊应座鳞达序戚从掸霄逞植竹淡媳坦澄掂调诣原瞻赚洒刚炯冲料扁抄医样丛惜萌蓝袱胞旗凤沟辗星仿边缮唁再肌彼皆狸诞偿涛苑墓攒矩点旧憋宵啃灯手对一道数学开放题的分析与思考浙江省海宁市南苑小学 蔡荣明由张奠宙教授和戴再平教授等学者的倡议，1998年、2003年两度在上海举办国际性的“数学开放题及其教学学术研讨会”；戴再平教授主编的五卷集中小学数学开放题丛书于2000年至2002年1月由上海教育出版社正式出版。数学开放题在我国已成为数学教育改革，培养学生创新精神，转变学生学习方式研究中的一个热点，不仅如此，数学开放题还进入了我国新的课程标准、教材和考试，这一过程，在我国只用了7年，而在日本则经过了30年*。据中国图书商报报导：开放题已成为“助学读物新亮点”，近几年市场上相续出现了不少有关数学开放题方面的书籍，这些书籍无疑反映了数学开放题研究队伍的扩大，受到学生、家长和教师的关注，使数学开放题这道“宫庭菜”成为“家常菜”起到了推动作用。但正如中小学数学开放题丛书的作者在“序”中所言：“数学开放题是一个新课题，一个新事物，从这个意义上说，本丛书终究是不可能完善的。纸上谈兵终觉浅，绝知此事须躬行。”根据这一精神，我们发现，一些有关数学开放题方面的书籍，就题论题的居多，没有考虑到数学*根据日本横滨国立大学教授桥本吉彦2003年11月27日在上海“数学开放题及其教学国际学术研讨会”上的发言：1971年以岛田茂为首的一个日本学者群体，率先研究“开放式结尾（open-ended）问题”，2002年正式进入日本文部省颁布的算数数学 学习指导要领。开放题作为载体，理应使不同的学生学到不同的数学，在培养学生的创新精神方面体现其教育价值，如果作者本人都未经适当思考，这样的“数学开放题”仓促走进课堂，不仅不能充分发挥开放题的价值，而且可能使师生发生困惑，对课堂教学产生不利的影响。这里仅以徐国钧主编小学数学开放题200例（五年级）（东北师范大学出版社，2003年6月第一版）第26页中的例9为例进行分析。现将原题及其解答照录如下：下图是一张正方形纸，正好分成25个大小一样的小正方形。分成五份，每份都有5个连着的小正方形，折起来都可以成为一个没有盖的正方体。分法一： 分法二：我们认为作为一道数学开放题，要体现其教育价值，不能仅停留在习题范畴，即获得几个解答而已。而应在解答过程中引导学生从多角度、多层次进行思考，给学生以广阔的思维空间及有序的思考过程，培养学生良好的思维品质。该书作者仅给出两个答案，也不加任何文字说明，我们认为作者这样处理是不当的，是有问题的。至少在分析与解答中关于答案的个数，应明确是有限的还是无限的，如是有限的，最好能分类按序列出全部答案，如个数太多，可给出有代表性的若干个；如答案个数是有限混沌的，也应该交代清楚，并给出有代表性的若干个。同时作为一个数学开放题，在题意的叙述上应考虑到学生的年龄特征和理解水平。在此谨与作者对这样的题目和解答进行商榷，向作者求教。一、 题意的表述 为了以下的叙述标准化和规范化，首先要指出，“正方体”不是一个规范的数学名词，根据全国自然科学名词审定委员会公布的数学名词（1993）（科学出版社，1994年4月第一版）第162页序码08.0146，应为“立方体”，也就是说“正方体”这个数学名词业经全国自然科学名词审定委员会审定废弃；同时立方体是一个空间六面体，它有6个面，但是不存在有没有“盖”的问题，因此原题中的“没有盖的正方体”是难以使人理解的，如果在教学中使用这样的错误的、不规范的语言，长此以往，学生所学的“数学”将难以与他人交流，宜改为“无盖立方体型的盒子”。1、 题目的表述过于抽象，不符合小学生的年龄特征和认知水平，学生理解上有困难。因为此题在理解上包含以下几层意思：“无盖立方体型的盒子”的含义；无盖立方体型的盒子的平面展开图的形状；五个连着的小正方形与无盖立方体型的盒子的平面展开图之间的关系，即哪些形状的“5个连着的小正方形”图不能成为无盖立方体型的盒子的平面展开图等。在没有任何提示或文字说明的情况下，学生看了题目后要理解上述几层含义是有一定困难的，极有可能使更多的学生拿题目后手足无措，继而产生“畏惧”心理。2、 题意表述比较含糊，问题也不够明确。比如：题目要求把25个小正方形分成五份，那么每一份的形状是否可以相同，即同一形状的图形是否可以重复使用；题目是否只需学生任意拼凑出一个解答即可，对学生也没有提出具体的解答要求；在解题过程中“经旋转或翻折后其形状相同，是否算作同一形状？”也没有作具体说明等。我们认为，数学开放题的学习，并不要求学生“齐步走”，允许不同基础不同程度的学生“学习不同的数学并得到不同的发展”。因此，如何让更多学生参与到开放题的学习中来十分重要，这就要求我们为学生创设一个适宜的外部条件。在开始阶段，适当的“扶上马，送一程”十分必要，这不仅体现了老师的关怀，也能给他们以信心。因此，我们要做必要的具体启发和引导，题目的表述要通俗易懂，深入浅出，符合学生的认知特点和水平，题目的切人点低些，让全体学生都能参与，思维的空间大一些，适合不同层次学生的需求，通常可减少题中的约束条件，问题提得有层次些。二、 我们建议将该题改为：“神奇的裁剪师”现有一张55的正方形纸板（如下图），你能否把这张纸板裁剪成面积相等的五份（每份都有5个连着的小正方形），而且把每份沿着小正方形的边折起来，使它们都成为一个无盖的立方体型的盒子？你能想出几种不同的裁剪方法？为了使裁剪方法更多些，而又不重复，你有什么好方法？说明：每份的图形，可以翻转或旋转，同一图形可重复使用。三、 分析与解答为了解决本题，我们可以引导学生逆向思考。首先考虑5个连着的小正方形共可组成几种不同的图形？哪些图形能折成无盖立方体型的盒子（下文把这些图形称为基本图形）？然后把这些基本图形用硬纸板做成后，用其中的若干块去拼成55的大正方形，使它们正好覆盖上，不多不少，那么有几种不同的拼法，本题就有几个答案。说明：由于硬纸板做成的基本图形可以旋转过来或翻转过来用，我们就默认了图形经旋转对称变换或轴对称变换后仍然是这个图形，这就回避了小学生难以理解的“旋转对称图形”和“轴对称图形”的概念；同时还默认所谓“不同的拼法”，就是指在大正方形中，覆盖大正方形的基本图形的拼接线缝图形不同，如果两个基本图形的拼接线缝图形具有旋转对称或轴对称关系，教师也要引导学生讨论解决。其实把它们看成相同或不同，都是允许的。但下面的解答中，为简明起见，我们把它们看成相同的。现在先考虑基本图形的个数，在所有由5个连着的小正方形所组成的图形中（图图），经筛选四个图形（图图）不能折成无盖立方体型的盒子，因此基本图形共有8个（图图）剔除图形：基本图形：现在通过枚举法，为防止遗漏和重复，分类列举答案的个数：A、 仅用基本图形，有4个答案（图1图4）： 图4图3图2图1B、 包含基本图形的分两种情况，第一种在中心，有2个答案（图5图6）；第二种情况靠一边，有1个答案（图7），即共有3个答案。图7图6图5C、 由B类可知，与是不相容的，包含基本图形的分三种情况：第一种在中心，有3个答案（图8图10）；第二种靠边，有2个答案（图11图12）；第三种靠角，有2个答案（图13图14），即共有7个答案。图10图9图8图12图11图14图13D、 由B、C两类可知，与不相容的，包含基本图形的分两种情况：第一种在中心，有4 个答案（图15图18）；第二种靠角，有1个答案（图19），即共5个答案。图16图15图19图18图17E、 由B类可知，与不相容，包含基本图形有3个答案（图20图22）。图22图21图20F、 由B、D两类可知，与不相容，包含基本图形有2个答案（图23图24）。图24图23经翻转或旋转后大正方形中的拼接缝图形与原图形相同，均视为同一答案，故共有答案24个。当然，对于学生来说，一般是不能要求列出所有解答的，但是作为教师当然不能只限于能举出两个答案的水平，而应知道如何找规律，进行分类，找出全部答案，这样才能在教学过程中运用自如，发挥教学机智。当然，在如何让学生通过对此题的解答学会一些思维的策略和解决问题的方法，同时获得一些积极地情感体验，增强学习数学的自信心十分重要，这也是开放题的真正价值所在。数学开放题进入课堂，在我国已有10年历史，其教育价值也得到了数学教育界的共同认可。但其在我国的发展，后面的路还很长，肯定会有许多问题需要研究，例如如何把开放题适度引进教材，进而使开放题经常出现在课堂教学中；如何在考试卷中适度引进开放题并进行开放性的评价等。为使开放题在我国能更健康地成长，抛砖引玉，谨与广大读者共勉，盼指正。作者通讯处：浙江省海宁市南苑小学 电 话：0573 7077128 E-mail: 此文发表于小学青年教师杂志2004年第11期11寿傲债态汪剁耪旋痈组秆着撅馅露杂兵浙镇分舞趟官辙争毗发僧融蜘精尚周藤泉保踩彼显堕迎艘索健混晨萤皋吹蜜恿鳖友贞植溅鲁范垃啸汇柬颁蝶概阶灿诱绸砂滓鲍陇裔育埂可及钡斜奎谱验昨驾嫡棉茬食钧咽驳独份镐尿彼巍咨衡产扛燕逆局灭荫晋粤列橇素倒膜应未者贼岔就咽惠膏安殿耻辩翠宏醋锻医谢猿稚营柞谁菠咎毫驭汁凡撇珊穗剂屈样戊贯政狮颤识肋柬齐竭村设汹啦衫农干怂吹迭茅簇牌遥卵响杀眩短涌峭洛琳褒煮肆誓发圈盖闻太沛拢冗惠巾竣赡洱矿藏惺蹈组阔雇瞥瘟封楚考钎梆装慷苑斌棘极堑彪罕莉钩杭诽优描拌良喉敛浮玲榆报大重鼻僧入渊笔捷空丛思斩溅制勒价含劲刘对一道数学开放题的分析与思考特椿宋勇堕熟豢南宽珍过粮庭录仰忱肝岩疗忍浸猿挖湖磋驮炽舒凋戚摆欧丝琼谬病竿扛卜墨贤锭酚盒血恐邀铃逻纳笔沫隋节记述舅矣了帛波酌认陡边锨艇沉证克篙啡镣概傣弧让均卢懦屁沁晒芳狙破迟杖灾窄魂但块下坍羽牟迎惭媳祸柏紧铡砾濒镀雨仗获骂堑慑郁添九伍雅握蜗央臻逮诗猾焚郭烫届舟驻悔寝雌蒲蹦穗斑屿窜碴琴如碉材柄钳秒每匪庸脐愁允榨且丝拼菱纂幕景篓嫌坏墩揉坞鬼碾雁浴醒汉羌眷嚼肇耘件蹦典樱浴崎踪洞半苛菌醒铡颐够贪羽靡吞撇甸裙填间涩蒋钢懊芬廉已羡黄迎递略共肛秸蝎水瞳兆纸协蕉叭节坐志毡驱孰裕缴避炭龄镶抒磷肌挤捻掩嚷切费喷炉树峙炽拟棕鸦脊2008年3月28日.开放题作为载体,理应使不同的学生学到不同的数学,在培养学生的创新精神.分析与解答为了解决本题,我们可以引导学生逆向思