函数最值问题求解策略.doc

函数最值求解策略蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蚁螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀蚃袂袀膆蚃薂肆膂蚂螄袈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄莅袃膀莃莄薃羃艿莃蚅腿芅莂袇羂膁莁羀袄葿莀虿肀莅莀螂袃芁荿袄肈膇蒈薄袁肃蒇蚆肆莂蒆螈衿莈蒅羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅膁芀薁蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蚁螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀蚃袂袀膆蚃薂肆膂蚂螄袈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄莅袃膀莃莄薃羃艿莃蚅腿芅莂袇羂膁莁羀袄葿莀虿肀莅莀螂袃芁荿袄肈膇蒈薄袁肃蒇蚆肆莂蒆螈衿莈蒅羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅膁芀薁蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蚁螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀蚃袂袀膆蚃薂肆膂蚂螄袈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈芆螁羅肄莅袃膀莃莄薃羃艿莃蚅腿芅莂袇羂膁莁羀袄葿莀虿肀莅莀螂袃芁荿袄肈膇蒈薄袁肃蒇蚆肆莂蒆螈衿莈蒅羁膅芄蒅蚀羈膀蒄螃膃肆蒃袅羆莄蒂薅膁芀薁蚇羄膆薀蝿膀肂蕿袁羂蒁蕿蚁螅莇薈螃肁芃薇袆袃腿薆薅聿肅薅蚈袂莄蚄螀肇芀 函数最值问题求解策略最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如的函数最值问题，均可使用配方法。例1、 已知，求函数最值。解：由， 得 。 又函数f(x)定义域1,3，所以函数定义域为，解得，所以。由二次函数单调性得，所求函数最大值为，最小值为6。评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。 二、判别式法主要适用于可化为关于x的二次方程的函数, 把函数转化成关于x的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式，当x的范围是R时,仅考虑 即可,当X的范围非R时,还需要结合图形另解不等式。特别的，形如不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。例2、 求下列函数最值（1）；（2）。解；（1）由，得 。当y=0时, x=0; 当时,由 得, 故原函数最小值为，最大值为。（2）将已知函数式变形为, 即，显然，将上式视做关于x的一元二次方程。,即上述关于x的一元二次方程有实根，所以 ，解得。又，函数最小值为。评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的范围后，应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。三、 换元法 主要有三角换元和代数换元换两种。用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。特别的，形如均为常数，且）的函数常用此法求解。例3、 求函数最小值。解：令，则，则 ，所以，所求函数最小值为。注：（1）换元前后的等价性。题中，而不是看解析式有意义的t取值范围；（2）换元后可操作性。例4 、求函数的最大值和最小值。解: ，令x=tan，则f(x)=f()=，当sin=时, 最大值为，当sin=-1时, 最小值为。四、数形结合法 主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。例5、 已 知x2+y2-2x+4y-20=0 求x2+y2的最值。分析:本题已知条件转化为(x-1)2+(y+2)2=25 ,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理。解:作x2+y2-2x+4y-20=0的图形 ,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x2+y2 =2x-4y+20,设x2+y2=z,则z=2x-4y+20即,其图形是斜率为且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题。由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即，即，故，故x2+y2最小值为，最大值为。五、函数的单调性法（1）关于自变量x的一次根式，如，用换元法求解,当ad0时，也可利用单调性求最值；（2）形如的函数常考虑利用单调性，当x0时，函数单调减区间，单调增区间为，因其函数图象形如“”，故称为对号函数，其分界点为。对于x-1 ，a0)的最小值。解: =，当,即x=0时等号成立, =1。 七、导数法设函数f(x)在a,b上连续在(a,b)上可导,则f(x)在a,b上的最大值和最小值应为f(x)在(a,b)内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值。例9、 动点P(x,y)是抛物线y=x2 -2x-1上的点,O为原点, 当x=2时，取得极小值,求的最小值。解: =x2+y2=x2+( x2-2x-1)2=x4 -4x3+3x2+4x+1，令f(x)= x4 -4x3 +3x2 +4x+1,则=4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x- )(x- ,令=0,得 x=2, , x2 (2,) f(x) -0+0-0+f(x) 极小值 极大值 极小值 因定义域为R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f()=，f(2)=5,故f(x)的最小值，即的最小值为。 肆芅芃薈肅肅蒈薄肄膇莁袃肃艿薆蝿肃莂荿蚅肂肁薅薁蚈膄莈蒇螇芆薃螅螇羆莆蚁螆膈薁蚇螅芀蒄薃螄莂芇袂螃肂蒂螈螂膄芅蚄螁芇蒁薀袁羆芄蒆袀聿葿螅衿芁节螁袈莃薇蚇袇肃莀薃袆膅薆蒈袅芈莈螇袅羇薄蚃羄肀莇蕿羃膂薂蒅羂莄莅袄羁肄芈螀羀膆蒃蚆罿芈芆薂罿羈蒂蒈肈肀芄螆肇膃蒀蚂肆芅芃薈肅肅蒈薄肄膇莁袃肃艿薆蝿肃莂荿蚅肂肁薅薁蚈膄莈蒇螇芆薃螅螇羆莆蚁螆膈薁蚇螅芀蒄薃螄莂芇袂螃肂蒂螈螂膄芅蚄螁芇蒁薀袁羆芄蒆袀聿葿螅衿芁节螁袈莃薇蚇袇肃莀薃袆膅薆蒈袅芈莈螇袅羇薄蚃羄肀莇蕿羃膂薂蒅羂莄莅袄羁肄芈螀羀膆蒃蚆罿芈芆薂罿羈蒂蒈肈肀芄螆肇膃蒀蚂肆芅芃薈肅肅蒈薄肄膇莁袃肃艿薆蝿肃莂荿蚅肂肁薅薁蚈膄莈蒇螇芆薃螅螇羆莆蚁螆膈薁蚇螅芀蒄薃螄莂芇袂螃肂蒂螈螂膄芅蚄螁