浙江大学《微积分》课程期末考试试卷课程内容精选.doc

第 43 页 共 43 页浙江大学2004-2005学年秋冬季学期微积分课程期末考试试卷一填空题1. . 2.设可导,则 .3.的值域范围为 .4. 5.设则= .6.当时,与等价无穷小,则常数 ,= .二计算题1.求2.已知且连续,求.3.求.4.求曲线与轴围成的平面图形分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体体积.5.在曲线段 上, 求一点使得过点的切线与直线所围成的三角形的面积最大.三求幂级数的收敛区间以及在收敛区间上的和函数,并求级数的和.四证明若则五已知为连续函数.(1)求常数; (2)证明的导函数连续.浙江大学2004-2005学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷答案一填空题1. 2. . 3. . 4. ., 令. 5. 由, ,. 6. 由洛必达法则, ,其中:, 得,即.二计算题1. =.2. =.3. = .4. , .5. 解:(1)过点的切线方程为 ,令,得,得,令,得, 令, ,令,得,(舍). ,所以,当时,三角形面积最大.三因为 ,所以 .四 设 ,在上由柯西定理,有 .再令,故单调下降,得,有,得.五 (1)因为 , 所以. (2),所以, 而 ,所以 在上是连续的.浙江大学2005-2006学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷一、 计算题1.已知抛物线过点,且在该点的曲率圆方程为则 , , 2.设,则(1) ;(2) 3.若则 4.当 时,函数取得极小值.5.曲线在横坐标为1的点处的切线方程为 *6.已知则 (此题不作要求)二求极限1. 2. 三求导数1.设函数由所确定,求2.设 求 3.设,求.四求积分1. . 2.3. 4.五设曲线轴和轴所围区域被曲线分为面积相等的两部分,试求常数.六将函数展开成的幂级数,并求级数的和.七设在内可导,且证明:.浙江大学2005-2006学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷答案一计算题1. 由,有,得由曲率圆方程两边求导,得,得根据与曲率圆在点有相同的;得到 , 所以有. 2. (1) = .(2). 3. 因为,当时 ,所以得 . 4. ,令,解得 ,由于,当时,所以当时,取到极小值. 5. 因为, ,所以,切线方程为 . 6. .二求极限1. =,注:当时 ,.2. 因为 ,= ,而 ,所以 .三求导数1. 对方程两边关于求导数,注意到,有 ,得 =, . 2. , ,.3. ,.四 1.=.2. (令) =.3. 注:令 .4. =.五由 得交点, ,由,得,所以 .六由, ,当时,得 .七解法一:由洛必达法则, .解法二: 若,由,按定义知,当时,恒有.,当时,有,由于,有,再取,使得,当时,有,所以,. 若,由,则有 ,设,有,由知,得证.浙江大学2006-2007学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷一求导数或微积分(1)设,求.(2)设,求处的及.(3)设是由方程确定的的可导函数,求.二求积分(4)求. (5)求.(6)求.三求极限(7)求.(8)设存在,求.(9)设,求.四选择题(10)设,则时 (A)是同阶但不等价无穷小. (B)是等价无穷小.(C)的高价无穷小. (D)的高价无穷小.(11)设级数收敛,则下述结论不正确的是 (A)必收敛. (B)必收敛.(C)必收敛. (D)必收敛.(12)设,则 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续但不可导 (D)可导(13)设为连续函数,除点外,二阶可导,的图形如图,则(A)有一个拐点,一个极小值点,一个极大值点.(B)有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点.(C)有一个拐点,一个极小值点,二个极大值点.(D)有一个拐点,二个极小值点,一个极大值点.五(14)设曲线常数与曲线交于点,过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面形.(I) 求绕轴旋转一周所成的旋转体体积;(II)求的值使为最大.六(15)将函数在处展开成泰勒级数(即麦克劳林级数)并指明成立范围.七(16)设证明.浙江大学2006-2007学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷答案一求导数或微分(1) .(2) 由 ,得,由,令,得,得,所以 ,.(3) 由 及,得,对方程 两边取微分有,将,代入,得 .二求积分(4)解 (令) .(5)解 令,=.(6)解 令, =.三求极限(7) 解 注 注. (8) 解 =.(9)解 由 , 取,则 , 所以 .四(10)解:因为 注:由洛必达法则 注:,所以,是同阶但不等价无穷小,则选 A. (11)解:(A) 因为 ,而 收敛,所以必收敛,(B)因为, 所以必收敛.(C)因为所以必收敛, (D)未必收敛, 例如 收敛, 但发散,则结论不正确的是D,本题选D(12)解:由,则 ,即 ,因为 ,所以 在处连续.因为 ,所以,在不可导,所以选C. (13)如图,在点处,左边,右边,而点处,所以点为曲线的拐点;同理,在点处,左边,右边,而点处,所以点为曲线的拐点; 在点处,左边,右边,而点处,所以点为函数的极小值点;在点处,左边,右边,而点处,所以点为函数的极大值点,所以,曲线有二个拐点,一个极小值点,一个极大值点. 选(B) 五解:由求得交点(如图),直线的方程 .(I) 旋转体体积 =,(II).在处有唯一驻点,当时,当时,故为唯一极大值点,为最大值点.六(15)解:由展开之,两边积分,得,再次两边积分,得.右边级数在处收敛,左边函数在处连续,所以成立范围可扩大到闭区间.七(16)证法1:由.而当时,所以当时,于是知,当时,从而知,当时,.证法2:由证法一,有 证法3:由,所以.注:设,在上的拉格郎日中值定理,有 .浙江大学2007-2008学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷一(每小题6分)(1)设,求.(2)设由参数式,确定了为的函数,求曲线的凹凸区间及拐点坐标(区间用表示,点用表示).(3)求 (4)求二(每小题6分)(5)求.(6)求.(7)求.三(第(8)-(11)小题每小题8分,第(12)小题6分)(8)(8分) 设是由及所确定,求.(9)(8分)设,试将展开成的幂级数,并求.(10)(8分) 设常数,讨论曲线与在第一象限中公共点的个数.(11)(8分) 设,曲线当时.又已知该抛物线与轴及直线所围成的图形的面积,试确定常数与使该图形绕轴旋转一周而成的旋转体体积最小.(12)(6分) 设在区间内可导,且(为常数)证明: 级数绝对收敛; 存在.四选择题(四选一,每小题4分)(13)设,并设与均不存在,则下列结论正确的是 (A)若不存在,则必存在. (B)若不存在,则必不存在.(C)若存在,则必不存在.(D)若存在,则必存在.(14)曲线的渐近线的条数 (A)4条 (B)3条. (C)2条. (D)1条.(15)设,则的不连续点的个数为 (A)0个 (B)1个. (C)2个. (D)多于2个.(16)设上可导,且下述结论不正确的是 (A)至少存在一点使;(B)至少存在一点使;(C)至少存在一点使;(D)至少存在一点使.(17)设,下列结论正确的是 (A)若存在,当时均有,则必收敛.(B)若存在,当时均有,则必发散.(C)若收敛.则必存在,当时必有,(D)若发散.则必存在,当时必有.浙江大学2007-2008学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷答案一(每小题6分)(1). (2)由, ,令 , 得 当时, 曲线凹;当时, 曲线凸,当时,对应拐点.换成,当时, 曲线凹;当时, 曲线当凸,点为拐点.(3)解 因为 ,而, 注,所以 .(4) .二(5) =. (6) 方法1:令 ,则,或写成.方法2:令 ,则.(7).三(8)解 由,两边关于求导数,有,得,.由洛必达法则, . (9)解: (10)解:令,有,令,得,由于,所以为的唯一极小值,为最小值.以下讨论最小值的符号.若,即时,无零点,两曲线无公共点;若,则当且仅当时,有唯一零点,两曲线在第一象限中相切;若,有时,有因,所以在区间与内,各有至少一个零点,又因为在这两个区间中分别是严格单调的,所以正好有两个零点,即两曲线在第一象限中有且仅有两个交点.(11)解:因,且当时,所以如下图,所以,令,为唯一极小值,故为最小值,此时.(12) 由拉格朗日中值定理 ,而收敛,所以,绝对收敛; ,因为存在,所以存在.四 (13)解 (A)若不存在,则必存在.不正确,例如 , ,此时不存在,也不存在.(B)若不存在,则必不存在. 不正确,例如 ,此时不存在,存在.(C)若存在,则必不存在.假设存在,由,得存在,与已知矛盾,所以结论正确.(D)若存在,则必存在.由上述(C),说明必存在不正确. 所以结论正确的是C,本题选C. (14)解,因为,有铅垂渐近线()2条,因为,有水平渐近线()1条,又因为 , ,有斜渐近线()1条,所以本题共有4条渐近线,选A.(15)解,则的不连续点()的个数为2个所以选C.(16)解 取,当时,满足题目条件:(A)至少存在一点使,成立,(B)至少存在一点使;成立,(C)至少存在一点使;成立,(D)至少存在一点使.不成立. 所以本题选D(17)解 (A)不成立, 例如,满足当时 , 但发散,(B)成立,若存在,当时均有,则必有 则必发散.(C)不成立, 例如 收敛,但不存在,当时必有,(D)不成立,例如 发散,但则存在,当时有. 浙江大学2008-2009学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷一求导数或微分(每小题6分)(1)设,求.(2)设由参数式,所确定的函数在处的一阶导数,及二阶导数.二求极限(每小题6分)(3), (4), (5).三求积分(每小题6分)(6) , (7),(8) 已知,求.四(每小题6分)(9)试将函数展开成的幂级数,并写出此展开式成立的开区间.(10)求幂级数的收敛半径及收敛区间,并讨论收敛区间端点处级数的敛散性.五(每小题8分)(11) 求由方程确定的函数的极值,并问此极值是极大值还是极小值,说明理由.(12)求由曲线与围成的图形绕水平线旋转一周所生成的旋转体体积. (13)设在上连续,并设在处存在右导数,又设时,与为等价无穷小,求常数及的值.六(每小题8分)(14)设在闭区间上连续,内可导,(I)叙述并证明拉格朗日中值定理;(II)如果再设,且不是常数,试证明至少存在一点,使.(15)设为正整数,(I)试证明:函数有且仅有一个(实)零点(即有且仅有一个实根),并且是正的,记此零点;(II)试证明级数收敛.浙江大学2008-2009学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷答案一求导数或微分(每小题6分)(1).(2), .二求极限(每小题6分)(3) 注.(4).(5),而,注:所以,.三求积分(6) .(7) 令. (8) .四(9), ,.(10)记,由. 所以,收敛半径,收敛区间为,在处,级数成为, 考察,有,所以,并且也有,所以在处,该级数都发散.(11)由, 求导有,令,得与联立,有,解之得唯一解.相应地有,此时的确可由解出,故为驻点.再有 .以,及代入,得,故当时, 为极小值,极小值.(12)由得交点,则由上图 .(13) 按题意, ,又,若则为,若则为,均与题意不符, 故 ,于是,所以.(14)(I)略,(II)设存在,使在区间上用拉格郎日中值定理,存在使得,如果存在,使在区间上用拉格郎日中值定理类似可证.(15) (I) ,故知存在唯一的使 . (II) 因为 ,收敛, 故 收敛.浙江大学2009-2010学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷一求导数或微分(每小题6分,共18分)(1)设,求.(2)设由参数式所确定,求.(3)设是由方程所确定,求.二求极限(每小题6分,共18分)(4)求, (5), (6).三求积分(每小题6分, 共24分)(7) , (8)求,(9) , (10) 已知是的一个原函数,求.四(本题8分)求幂级数的收敛半径收敛区间及收敛域,并求其和函数.五(本题8分)设连续,且在处存在一阶导数,并设,已知当时与为等价无穷小,求与的值.六(本题10分)过坐标原点作曲线的切线,(1) 求的方程;(2)以曲线,切线及轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记为,求的面积;(3)将绕轴旋转一周生成的旋转体记为,求的体积.七(本题8分) 证明函数极值的第二充分条件定理:设在处存在二阶导数,则为的极小(大)值.并请举例说明:上述定理仅是充分条件而非必要条件,即:在处存在二阶导数,为的极小(大)值,但并不一定为正(负).八(本题6分)(1)写出展成的幂级数展开式,并写出其收敛域;(2)积分与积分谁大谁小,并请说明理由. 浙江大学2009-2010学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷解答一求导数或微分(1) ,.(2) ,.(3) 由,两边求导,得, 当时,.二求极限(4)=.(5).(6) 而 ,其中,所以,.三求积分(7) = . (8) 令,.(9) 令 .(10) =.四 解:记,由,所以,当时绝对收敛;当时通项不趋于,发散;当时为,条件收敛,故收敛半径,收敛开区间为,收敛域为.,在处,函数连续,级数收敛,所以在处和式仍成立,所以上式成立的区间为.五解:,当且仅当时,上式,所以,当时,的充要条件是.六解: (1) 设切点为,则过点的切线方程为,因为点在切线上,故,又因为,所以,从而切线方程为. (1) 面积 .(2) 体积(用套筒法) .七 证:不妨以极小值的情况证明第二充分条件的证明,因为 ,由极限的保号性,有,在的某去心邻域内,与同号,即当,且时, ;当,且时, ,所以为极小值.举例:例如,为的极小值,但,并不大于零.八 (1) 由,所以,;(2),所以,.浙江大学2010-2011学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷第1至第9题及第14题每题6分,第10至第13题每题10分1.求曲线上点处的切线方程.2.设 ,求对的10阶导数.3.求 .4.求 .5.设当时,讨论的连续性. 6. 求.7. 求 .8. 设常数 满足,讨论级数的收敛性,是条件收敛,还是绝对收敛,还是发散?应说明理由.9. 试将函数 展开成的幂级数,并写出其成立范围.10. 设为常数,且积分收敛,并求的值及该积分的值. 11. 设, (1) 求及;(2) 求.12. 设,(1) 求; (2) 求.13. 设在上存在二阶导数, ,证明: (1) 至多有两个零点,至少有一个零点;(2)若的确有两个零点,则此两个零点必反号.(注:的零点就是方程的根)14. 设常数,积分 与,试比较与的大小,是,还是,或者要由而定,应说明推理过程.浙江大学2010-2011学年秋冬学期微积分课程期末考试试卷解答1.求曲线上点处的切线方程.解: 对方程两边关于求导数,注意到,有 , 当时, ,得 ,代入上式,得,所求切线方程为: .2.设 ,求对的10阶导数.解: 方法1 , , ; 方法2 设=.3.求 解:方法1 注: = 注:由洛必达法则 =.方法2 .4.求 .解:= 5.设当时,讨论的连续性. 解: 当时,;当时,;当时,.所以仅在处有间断点,其他处均连续. 6. 求.解: (分部积分) =.