2012学年高二下学期期末调研数学试卷.doc

数学I试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1. 已知集合，则_. 2. 如果复数是实数，则实数_. 3. 已知，则的值为_. 4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标，则点P在直线上的概率为_. 5. 已知函数，则的值为_. 6. 执行下边的程序框图，若，则输出的_.【答案】 7. 直线平分圆的周长，则_. 8. 等比数列的各项均为正数，前三项的和为21，则_.9. 已知实数满足，若在处取得最小值，则此时_.【答案】(-1,0)【解析】当直线z=3x-y经过直线-2x+y=2与直线y-x=1的交点(-1,0)时,z取得最小值. 10. 在R上定义运算：，则满足的实数的取值范围是_. 11. 在ABC中，BAC=90，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为_.12. 已知函数，则该函数的值域为_.13. 把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则可记为_.14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S，则S=_.由图可知，其两个零点之间所围成的面积为以1为半径的2个圆，故其面积是,即.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）在ABC中，AB=，BC=1，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）在ABC中，由正弦定理得：，即，.（7分） 16. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，AD平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF平面ACE.（1）求证：AE平面BCE；（2）求证：AE平面BFD.【解析】(I)证明:因为即可.(II)设BD与AC的交点为H,连接HF,则HF/AE,从而问题得证. 17. （本小题满分14分）如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.（1）写出体积V关于的函数关系式；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？，可得，所以,(2)利用导数求V的最大值即可.18. （本小题满分16分）已知函数的定义域为（0，），且，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别为M、N.（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.（3）设，则直线PM：y- =- 由得M（，）当且仅当，即时取等号，故四边形OMPN面积的最小值.（16分）19. （本小题满分16分）已知椭圆的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线轴，连结AQ并延长交直线于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.【答案】（1）因为椭圆经过点（0，1），所以，又椭圆的离心率得，即，由得，所以，故所求椭圆方程为.（6分）又B（2，0），N为MB的中点，直线QN与圆O相切.（16分） 20. （本小题满分16分）已知等差数列中，令，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）设数列的公差为，由，.解得，.（4分）（2），.（8分）当时，则，而，所以，此时不存在正整数，且，使得，成等比数列.综上，存在正整数，且，使得，成等比数列.（16分）数学II（附加题）21. 选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A. 选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB是O的直径，C是O外一点，且AC=AB，BC交O于点D.已知BC=4，AD=6，AC交O于点E，求四边形ABDE的周长.B. 选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A.【答案】选修42：矩阵与变换解：设则【解析】根据特征值的定义可知A=，利用待定系数法建立四个等式关系，解四元一次方程组即可C. 选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆C的极坐标方程：，判断直线和C的位置关系.【解析】将直线l化成普通方程，得2x-y+1=0再将圆C的方程化成普通方程：，得到圆心为点C（1，1），半径，最后求出点C到直线l的距离d小于半径r，得到直线l与圆C相交D. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知是正数，证明：.【答案】选修45：不等式选讲证明：，又均为正整数，.必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，PA平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值.【答案】证明：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（0，0，4），易证为面PAC的法向量，则设面PBC的法向量，所以所以面PBC的法向量23. (本小题满分10分) 已知甲盒内有大小相