待定系数法在高考递推数列题中的应用.doc

待定系数法在高考递推数列题中的应用弋阳二中 超龙各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题是一类高考重点考查题型，也往往是解决数列难题的瓶颈。高考题中越来越重视对递推数列的考查。对一些常见的递推数列进行归纳和研究是必要的且大有益处的。高考递推数列题型较多，并且大都可以总结出求解数列通项公式的方法。本文给出一种用待定系数法的方法解递推数列，希望能对大家有所帮助。模型1：an1=panq（其中p、q均为常数，（pq（p1）0）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1=p(an)其中=，再用换元法令bn=an，则有bn1=pbn，从而数列bn为等比数列，于是由an=bn可求出数列an的通项公式。例1：已知数列an中，a1=1，an1=2an1。求an。解：令an1=2(an)即an1=2an =1从而an11=2 (an1)，令bn= an1则b1=a11=2且=2故数列bn是以b1=2为首项，以2为公比的等数列。则bn=22n1=2n an=2n1练习1、（06重庆文）在数列an中，若a1=1，an1=2an3(n1)，则该数列的通项an= 练习2、一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有 只羊。模型2：an1= panrqn（其中p、q、r均为常数，（pqr(p1)(q1)0）解法一般来说，要先在原递推公式两边同除以qn1，得，再令bn=从而化为bn1=，此即为模型1，可用模型1待定系数法解之。例2：已知数列an中，a1=，an1=an()n1，求an。解：在an1=an()n1两边乘以2 n1，得2 n1an1=(2nan)1令bn=2nan，则bn1=bn1又令bn1=(bn)即bn1=bn =3故bn13=(bn3)数列bn3是以b13=213=为首项，以为公比的等比数列。从而bn3=()n1 即bn=32()nan=3()n2()n练习3、已知数列an满足a n1=3a n23n1且a1=3。求an的通项公式。练习4、已知数列an满足a0=1，an=3 n12an1（nN*），求an。模型3：a n1=pananb（p1，0，a0）解法用待定系数法构造等比数列，令a n1x(n1)y=p(anxny)与已知递推式比较，解出x、y，从而转化为anxny 是公比为p的等比数列。例3：设数列an满足，a1=4，an=3a n12 n1（n2），求an。解：设bn=anAnB，则an=bnAnB，将an，an1代入递推式，得bnAnB=3bn1A(n1)B2n1 =3bn1(3A2)n(3B3A1) bn=ann1(1)则bn=3bn1，又b1=6 bn=63n1=23n代入（1）得：an=23nn1练习5、已知数列an满足a1=，2an1=ann，求an。模型4：a n1=p（p0，an0）解法这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1=panq，再利用待定系数法求解。例4：已知数列an中，a1=1，an1=an2(a0)，求数列an的通项公式。解：由an1=an2两边取对数得lgan1=2lganlg令bn=lgan，则bn1=2bnlg再利用待定系数法解得：an=a()2n1练习6、（05年江西理）已知数列an的各项都是正数，且满足a0=1，an1=an(4an)，nN，求数列an的