线性代数考研辅导讲义.doc

蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁肇莄薆羀腿薀袅罿芁莂袁羈蒄蚈螇羈膃蒁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈蚄螄肄膀蒇蚀肃节蚃薆肃蒅蒅羄肂膄芈袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇膇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿蚅膅芇莁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蚁蝿芄蒈薇袈莆蚄袆袇肆蒆螂袆膈蚂螈袅莁薅蚄袄蒃莇羂袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀羁 目 录第一讲 行列式与矩阵-121第二讲 向量的线性相关性，矩阵的秩-2234第三讲 线性方程组-3549第四讲 相似矩阵与二次型-5068第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n阶行列式的定义（二）行列式的性质1行列式与它的转置行列式相等，即；2交换行列式的两行（列），行列式变号；3行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即，则7将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开1余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n阶行列式D中元素所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为（2）代数余子式的定义的代数余子式的记为2n阶行列式D依行（列）展开（1）按行展开公式（2）按列展开公式（四）范德蒙行列式（五）矩阵的概念1矩阵的定义由mn个数组成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵，记为2特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等设若 ，则称A与B相等，记为A=B。（六）矩阵的运算1加法（1）定义：设，则（2）运算规律A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）A+O=AA+（-A）=0， A是A的负矩阵2数与矩阵的乘法（1）定义：设k为常数，则（2）运算规律 K(A+B)=KA+KB, (K+L)A=KA+LA, (KL)A=K(LA)3矩阵的乘法（1）定义：设则其中（2）运算规律；（3）方阵的幂定义：A，则运算规律：；（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。4矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为，（2）运算规律；。（3）对称矩阵与反对称矩阵若则称A为对称阵；，则称A为反对称阵。5逆矩阵（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作。（2）A可逆的元素条件：A可逆（3）可逆阵的性质若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；若A可逆，k0，则kA可逆，且；若A可逆，则AT也可逆，且；若A，B均可逆，则AB也可逆，且。（4）伴随矩阵定义：，其中为的代数余子式，性质：i）；ii）；iii）；iv）若A可逆，则也可逆，且用伴随矩阵求逆矩阵公式：（七）方阵的行列式1定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为或detA。2性质：（1），（2），（3），（4）（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵1单位阵E：；2数量矩阵kE：当3对角阵：若，则4上（下）三角阵设若，则仍为上（下）三角阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换交换两行（列）；某行（列）乘一个不为零的常数k；某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；交换i,j两行（列），记为E(i, j)；第i行（列）乘不为零的常数k记为为E(i(k);第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i;（2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵，使，（4）初等阵的行列式（5）初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且3矩阵的等价（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，（2）A与B等价的三种等价说法，A经过一系列初等变换变到B；存在一些初等阵，使得存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B（十）分块矩阵1分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有则（2）（3）设分块成其中的列数分别等于的行数，则，其中3准对角阵（1）定义：形如 Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设，则；若每个Ai可逆，则A可逆，且（3）特殊的准对角阵（i），若A1, A2可逆，则（ii），若A1, A2可逆，则（iii）是且（iv），则（十一）矩阵的秩 1，定义 矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称矩阵的秩为r，记为 2，矩阵秩的求法：初等变换不改变矩阵的秩。即利于初等变换求矩阵的秩。 二、重点（一）计算行列式；（二）矩阵的乘法；（三）矩阵的逆；（四）矩阵的初等变换。（五）矩阵的秩。三、典型例题（一）行列式的计算 数字型行列式的计算1，用定义计算行列式例1 计算行列式解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2bn，且符号为从而。2用行列式性质计算（重点）例2 计算下列行列式解 解法一： 解法二：例3 计算下列行列式（1）解（1）：（2）例4 计算下列n阶行列式解说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：例5 计算n阶行列式解：例6 计算行列式。解： 3利用行列式展开计算例7 设行列式求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式的值因为将D1接第四行展开得所以计算 从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。说明：若求D中第四行各元素代数余子式之和呢？例8 计算n阶行列式解：将行列式按第一列展开得说明：请注意这种形式的行列式！4数学归纳法例9 证明行列式证明：当n=1时， 结论成立。 当n=2时， 结论成立。 假设时结论成立，下证时结论成立。 由归纳原理知结论成立。 含参数行列式的计算例10 计算行列式。解： 例11 计算三阶行列式。解： 抽象行列式的计算例12 设A, B均为n阶方阵，解 例13 设三阶矩阵都是三维行向量，且已知，求。解：例14 设A为三阶方阵，是三维线性无关的列向量，若，则行列式 。解：法一 利用分块矩阵，有两边取行列式有 又，线性无关，从而得法二 两边取行列式得又 法三 令由，线性无关知P可逆从而由相似的性质知（二）矩阵的运算 1，矩阵的乘法例15 设， 求及.解：例16 计算解： 原式 2 方阵的幂例17 （1） 设 ， 求； （2） 设 求； （3） 设 求。解 （1） 容易计算得 且利用结合律可得 （2）由 有 （3） 易知 ， 若记则 因有 由结合律知例18 设，其中P为三阶逆阵，求解 又 故（三）伴随矩阵例19 已知 求A中所有元素的代数余子式之和解 由及 知，只需求出A的伴随矩阵即可得结果。方法一 用定义求得 所以 111+(-1)+(-1)=1;方法二 因为，故A可逆。用公式 又（A E）所以 从而 故有 111+(-1)+(-1)=1。 （四）可逆矩阵例20 设，求解： 方法一（用伴随矩阵求）因为，又 故 方法二 （用初等行变换求） 例21 已知A, B为三阶方阵，且满足，其中E为三阶单位阵（1）证明矩阵A-2E可逆；（2）若，求矩阵A。解 （1）由等式，两边左乘A得即 可逆，且 （2）由（1）知 又（五）矩阵方程例22 设3阶矩阵满足等式 ,其中 求矩阵。解： 由,得 又 因为 可逆。,而 则 例23 设矩阵A的伴随矩阵，且，其中E为4阶单位阵，求矩阵B。解 （方法一） 由，有，得用A右乘矩阵方程的两边，得用左乘两边得 于是 可逆， 计算得（方法二） 同前有 ，即 有 于是 （六）初等变换与初等矩阵例24 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D）解 选（B）由初等变换与初等矩阵之间关系知 例25 计算 解 令 则 原式例26 设A为n阶可逆阵，交换A的第i行与第j行后得到B。（1）证明B可逆；（2）求AB-1解：（1）由初等变换与初等阵的关系知。（2）而（七）矩阵的秩例27 设三阶方阵，试求R（A）.解 1 时，2 R（A）=1；3 R（A）=2。例28 设 则 解 又 可 逆故又 第二讲 向量的线性相关性，矩阵的秩一、内容提要（一）n维向量1定义：称n个实数组成的一个有序数组为实数集R上的n维向量。称为的第i个分量，分量的个数称为的维数。2零向量：分量全是0的向量称为零向量，记为0。3行向量与列向量：写成一行的向量称为行向量。写成一列的向量称为列向量。（二）向量的线性运算1向量的相等n维向量，若，则称与相等，记为=。2向量的加法（1）定义：设则称为向量与的和，记为（2）负向量与减法称为向量的负向量，称为减。（3）运算规律交换律：结合律：3数与向量的乘法（1）定义：为数k与向量的乘积，记为（2）运算规律（三）向量组的线性相关与线性无关1向量的线性组合（线性表示）对n维向量和，若存在一组数，使得，则称是的一个线性组合。或称可由线性表示。2向量组的等价（1）定义：若向量组的每一个向量都可由向量组线性表示，且向量组的每一个向量也可以由向量组线性表示，则称两个向量组等价。（2）性质反身性：向量组与自身等价；对称性：若向量与向量组等价，则向量组与向量组等价；传递性：向量组与向量组等价，且向量组B与向量组等价，则向量组A与向量组等价。3向量的线性相关与线性无关（1）定义：对n维向量，若存在一组不全为零的数，使，则称向量组线性相关。否则，称线性无关。（2）性质向量组线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。向量组线性无关，且，线性相关，则可唯一地由线性表示。对n维向量，若mn，则必线性相关。向量组线性无关，则其中任一部分向量组必线性无关。向量组的部分组线性相关，则此向量组必线性相关。线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。若向量组线性无关，且可由线性表示，则为有。（若则为线性相关）（四）向量组的秩与矩阵的秩1向量组的极大无关组设向量组的部分组满足条件：（1）线性无关；（2）中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组为向量组的一个极大无关组。2向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为。3矩阵的秩与向量组的秩的关系矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩4等价的向量组的性质（1）等价的向量组有相同的秩；（2）等价的线性无关的向量组含向量的个数相等；（3）向量组与它的极大无关组等价；（4）向量组与等价的充要条件是，其中（五）向量空间（数字二，三，四不作要求）1 向量空间的定义设V是n维向量的集合，如果V非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称V为向量空间。2基设V为向量空间，如果n个向量，且满足（1）线性无关；（2）V中任一向量都可由线性表示，则称向量为向量空间V的一个基。n称为向量空间V的维数，记为，并称V为n维向量空间。3坐标设是n维向量空间V的一个基，对任一元素，总有且仅有一组数使称为在基下的坐标，记为4基变换与过渡矩阵（1）基变换与过渡矩阵设与都是n维向量空间V的基，且 即称P为基到基的过渡矩阵。或称为基变换公式。（2）坐标变换公式设，在基下的坐标为在基下的坐标为，且则二、重点（一）向量组的线性相关性的判定与证明（二）两个向量组等价的判定（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明三、典型例题（一）线性组合（线性表示）例1 设， ，试讨论当a，b为何值时（I）不能由，线性表示；（II）可由，唯一地线性表示，并求出表示式；（III）可由，线性表示，但表示不唯一，并求出表示式。解 设有数，使得记 ，对施以初等行变换，有（I）当，b为任意常数时，有知，故方程组无解，而不能由，线性表示。（II）当且时，故方程组有唯一 解。，则可唯一地由，线性表示，其表示式为（III）当时，对施以初等行变换，有可知，故方程组有无穷多解，其全部解为， 例2 已知，若可由，线性表示，且表示法不唯一，求t及的表达式。解 设，按分量写出为对增广矩阵进行初等行变换得 由条件知，从而，此时，增广矩阵可化为令解出，所以 ，例3 设向量组，线性相关，向量组，线性无关，问：（1）能否由，线性表示？证明你的结论。（2）能否由，线性表示？证明你的结论。解 （1） 能由，线性表示证法1 因为已知向量组，线性无关，那么它的部分组，线性无关，又因，线性相关，故可 由，线性表示。证法2 因为向量组，线性相关，故存在不全为零的数，使得其中必有。否则，若，则，不全为零，使即，线性相关，进而，线性相关与条件矛盾。于是，由此有 可由，线性表示。（2）不能由，线性表示证法1 （反证法）若能由，线性表示，设为由（1）知 代入上式整理得即可由，线性表示，从而，线性相关。与已知矛盾。不能由，线性表示。证法2 考查方程组因为，线性相关，系数矩阵，又因，线性无关，增广矩阵，于是方程组无解，因此，不能由，线性表示。（二）线性相关例4 判断下列向量组的线性相关性：（1）（2）（3）解： （1）（2）mn，相关（3）线性相关例5 设 P为何值时，向量组线性无关？ P为何值时，向量组线性相关？解：设则 当P2时，线性无关； 当P=2时，线性相关；例6 已知线性无关，试问常数m, k满足什么条件时，向量组线性无关？（线性相关）？解 设即 ，由线性无关知其系数矩阵的行列式 当时，向量组线性无关； 当时，向量组线性相关；例7 已知n维向量，线性无关，若，可由，线性表示，设证明：，线性无关的充分必要条件是证明 记，必要性：若，线性无关，则又因此，即矩阵C可逆，充分性：若，即矩阵C可逆，则，线性无关.例8 已知向量组，线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A） ，（B） ，,（C），（D） ，解 由例7方法易知，选（C）例9 已知向量组，线性无关，向量组，线性相关，则a = 解 由例7知知或例10 设A是n阶矩阵，是n维列向量，若，证明向量组，线性无关。证：（用定义，同乘）设由知，用左乘（1）两边，得又（2）把代入（1）式，有用左乘上式，可知从而。类似地可证所以，线性无关。（三）两向量组等价的证明例11 已知与有相同的秩，证明与等价。证明：设，且。显然，向量组A可由向量组B线性表示，下证向量组B也可由向量组A线性表示即可。设A中极大无关组为，由条件知也是B中的一个极大无关组，由极大无关组的定义知，可由线性表示，从而可由线性表示，从而B可由A线性表示，即A与B等价。例12 设向量组，其中 ，其中， ， 试问： 当a为何值时，向量组A与B等价？ 当a为何值时，向量组A与B不等价？ 解 令对作初等行变换得 当时，线性无关，则等价，同理可计算出知B与C等价，故有 即A与B等价。 当a=-1时有由于，故不能为线性表示，因此A与B不等价。（四）向量组的极大无关组例13 设向量组 ， ， （1）P为何值时，该向量组线性无关，并在此时将向量用线性表示；（2）P为何值时，该向量组线性相关？此时求出它的一个极大无关组。解 令（1）时，向量组线性无关，再用初等行变换将矩阵化为（2）当P=2时，对再进行初等行变换得是一个极大无关组，是。例14 设4维向量组，。问a为何值时，线性相关？当，线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解 解法1 记，则于是当或时，线性相关。当时，为，的一个极大线性无关组，且，当时，对A施以初等行变换，有 由于为的一个极大线性无关组，且，故，为，的一个极大线性无关组，且。解法2 记记，对A施以初等行变换，有当时，A的秩为1，因而，线性相关，此时，为，的一个极大线性无关组，且，当时，再对B施以初等行变换，有如果，C的秩为4，从而A的秩为4，故，线性无关。如果，C的秩为3，从而A的秩为3，故，线性相关。由于为的一个极大线性无关组，且。于是，为，的一个极大线性无关组，且。（五）向量组的秩与矩阵的秩的证明例15 设向量组（）；向量组（）且秩分别为。向量组（）的秩为，证明。证明：由条件可设（）：为（）的一个极大无关组；（）：为（）的一个极大无关组；（）：为（）的一个极大无关组。又设（）为（）中向量可由（）线性表示，()中向量也可由（）线性表示，又()线性无关，。例16 证明证明：设A、B是两个矩阵，且设于是A+B的每个列向量都是的线性组合，则例17 A为矩阵，B为矩阵，若AB=0证明： 证明 ，B的n个列向量都是的解向量。，故的基础解系所含向量的个数应为，从而。即 例18 设A为n阶矩阵，且A2=A，若. 证明，其中E为n阶单位阵证明 ，从而由上例知又，故，又，从而例19 设A与B都是n阶方阵，证明的充要条件是与同解。证明 “”设，则方程组与的基础解系所含向量的个数相同，又的解必为的解，故的基础解系必为的基础解系。从而两个方程组有相同的基础解系，故它们同解。“”若与同解，则必有相同的基础解系，设基础解系所含向量的个数为s，则，。（六）过渡矩阵的求法例20 已知R3中的两组向量为， 证明和都是的基； 求到的过渡矩阵； 求在下的坐标。解 线性无关 线性无关从而它们都是的基 设 ，解出方程组可求出。第三讲 线性方程组一、内容提要（一）线性方程组的三种表达形式1一般形式（1）（当时，称为齐次线性方程组）2矩阵形式设则（1）可表为 3向量形式则（1）可表为（二）齐次线性方程组1解与解空间解向量：，满足的X称为齐次线性方程组的一个解向量。解空间：的所有解的集合，对于线性运算封闭，称为一个向量空间，亦即称为的解空间。2齐次线性方程组解的性质（1）齐次线性方程组恒有解；（2）齐次线性方程组任二个解的线性组合仍为其解；（3）齐次线性方程组所有解的集合构成一个向量空间，称为解空间。3齐次线性方程组的通解（1）基础解系：齐次线性方程组解空间的基称为一个基础解系（2）基础解系所含向量的个数=。其中n为未知量的个数。A为齐次线性方程组的系数矩阵。（3）通解：齐次线性方程组的任一解均可表为其基础解系的线性组合，即其中为基础解系。（三）非齐次线性方程组1有解的充要条件有解 向量可由向量组线性表示 与，等价2的解的性质（1）为的解，则为的解。（2）设是的解，是的解，则的任一解。（3）设为的解，则仍为的解。3非齐次线性方程组解的判定（1）设时，无解（2）时有解，在有解时，有无穷多解，有唯一解4解的结构为的任一解，则其中为的一个特解，为的基础解系，这时。（四）与的解之间的关系有无穷多解有非零解；有唯一解只有零解。反之呢？二、重点（一）齐次线性方程组基础解系的求法与判定。（二）非齐次线性方程组解的性质。（三）非齐次线性方程组解的结构。三、典型例题（一）齐次线性方程组例1 求下列齐次线性方程组的基础解系及通解： 解 对其系数矩阵A进行初等行变换则有 令 得 得 。故 即为所求得基础解系。从而通解为（为常数）。例2 齐次线性方程组 的基础解系是 （A） ，；（B） ；（C） ，（D） ，解 对系数矩阵进行初等行变换有知（D）即为所选。例3 设 是齐次线性方程组的一个基础解系。证明 也是该方程组的一个基础解系。证明 （法一） 由，知 为的解。同理 也都是的解。设 得 由 是基础解系知 ， 线性无关，所以有 由 有 从而线性无关。由题设知，的基础解系只含3个线性无关的解向量，所以也是该方程组的一个基础解系。 （法二） 由题设 令 可知 可由线性表示。又因 而故有 即 也可由线性表示。从而两向量组等价。由线性无关及等价的向量组有相同的秩知线性无关。且只含3个线性无关的解向量，从而也是该方程组的一个基础解系