正弦余弦函数图像与性质教案.doc

正、余弦函数的图像与性质一、 教学目标：1、知识与技能(1)引导学生借助正弦函数线直观了解正弦函数的图像形状，要求学生学会通过“五点作图法”画正弦函数的图像；(2)引导学生通过诱导公式，观察余弦函数图像与正弦函数图像的关系，由此学会画余弦函数图像；(3)要求学生能说出三角函数的性质（定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最大最小值等）；(3)引导学生通过“五点作图法”画出的图像，并研究其与图像的关系以及对图像的影响；(4)要求学生能说出图像的性质（定义域、值域、周期性、对称性、单调性、最大最小值等）2、过程与方法：回顾在前一节课学习的三角函数线的定义和几何意义，借助几何画板画出当终边从轴开始逆时针转动一周过程中正弦函数线长度的变化情况（以角度为x轴，相应的正弦函数线长度为y轴作图），以此使得学生对正弦函数的图像形状有直观的了解。再引导学生通过初中所学的画图三步骤“列表、描点、连线”掌握正弦函数的“五点作图法”，并能结合图像总结正弦函数图像的性质。引导学生通过对每一个对图像的影响进行单独的考虑，从简到繁，学会用“五点作图法”画出的图像及能通过图像性质迁移类比（将当成整体）总结出的性质。通过例题讲解，总结方法，通过课堂练习，检验和巩固所学知识。3、情态与价值 通过本节的学习，让学生掌握正、余弦函数的性质并能灵活运用于解题，培养数形结合、由简到繁、迁移类比的重要的数学思维能力，并通过正、余弦函数的图像让学生感受数学的对称美。二、教学重、难点 重点：会画、的图像，掌握两个函数的图像性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等）难点：和图像之间的关系三、学法与教学用具学法：利用三角函数线和五点作图法理解和掌握画图的方法教学用具：几何画板、PPT四、教学设想 1、引导学生回顾之前所学在学习任意角的正弦、余弦值时，除了用坐标定义，还有几何意义，即三角函数线：如图，有向线段OM的长度即为的正弦值。2、通过几何画板得到图像及“五点作图法”我们学习了任意角的正弦值，自然想要研究任意角的正弦值随角度改变的变化情况，由于角度不好测量，在内，圆弧AP的弧长即为，于是我们利用几何画板（可实现吗？没有用过几何画板），作如上图的平面直角坐标系及单位圆，令角的顶点在原点，始边在轴，终边从轴开始逆时针旋转一周，并以终边转过的单位圆弧长为横坐标，正弦函数线长度为纵坐标，记录正弦值在随角度改变的变化情况，得到如下图：yxo1-1 图2引导学生通过观察，发现正弦函数的图像是一条光滑的波动曲线，在内有一个最大值及一个最小值。让学生动手将图像扩展到实数轴上，引导学生可以通过a）三角函数线绕过一周又重复b）发现正弦函数是周期函数并且最小正周期为，所以画正弦函数图像只需画出一个周期内的部分再进行平移即可。于是画正弦函数图像化简到画一个周期内的部分，观察图2，回顾初中所学的画图方法“列表、描点、连线”，发现只要将图2中横坐标为的点画出来，再将几个点光滑的连起来，就可以得到的大致图像，（课堂练习）让学生亲自动手在纸上画出在的图像。3、探究图像及图像的关系 先同样用几何画板的方式，让学生对的图像有直观的了解，然后让他们用“五点作图法”动手实践，在同一个直角坐标系中画出的图像，并与原来的图像进行比较，引导学生说出“的图像是由图像进行平移而来”，让他们思考原因并予以解答，的图像是由图像向左平移个单位得到。4、研究的性质 定义域：R（是任意角，没有限制）值域：（引导学生从几何意义看，正弦函数线的长度不超过1）【课堂练习：目的在于引导学生数形结合例题1：请写出以下函数的定义域和值域1） 2）】最大最小值及当为何值时取到：（可以从图像看出，也可从三角函数线定义入手）【课堂练习：例题2 求下列函数的最值： 1）y=sin(3x+)-1 2） y=sin2x-4sinx+5 3） y= 目的：a）让学生学会将复杂的式子当成整体b）让学生学会将替换成另一个定义域为的自变量t 例题3、函数的最大值为2, 最小值为-4，求的值。】奇偶性：奇函数（从图像可以直观看出关于原点对称，是奇函数，而本质原因是公式）对称性：a）是中心对称，对称中心为（引导学生通过找特殊的几个对称中心，如等总结出对称中心为，本质原因是）b）是轴对称，对称轴为（引导学生通过找特殊的几条对称轴，如，等，总结出对称轴为，本质原因是）【课堂练习：目的：仍是培养学生的整体代换思想例题4、写出的对称中心和对称轴】单调性：引导学生在一个周期内找单增、单减区间（注意一个周期内可以是，也可以是，在此为了让单增区间完整，用后者方便），再扩大到整个实轴上去，在内，在内单增，在单减，引导学生思考下一个单增、单减区间如何得到，发现可以通过每一个单增区间向左向右平移得到，于是引导学生总结出的单增区间为，的单减区间为（注意提醒学生：a）单增区间的端点在有意义的情况下可取可不取，不影响单调性b）单增区间为并不是说在这些区间的并上单调递增，而是说在每一个区间上单调递增）5、让学生自己类比的性质将的性质总结整理出来6、和图像之间的关系1) （不妨令A0），仍用五点作图法，发现只需让原来的点横坐标不变，纵坐标乘以A即可，于是A使得的图像发生纵轴方向的拉伸与压缩，A称为振幅（当A1为拉伸，当A1为压缩）；2) ，则只需让原来的点纵坐标不变，横坐标即可，因此对的图像的影响是进行了向左平移个单位（注意：当0时实际是向右平移），称为初相；3），则只需让原来的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍即可，于是使得的图像发生横轴方向的拉伸与压缩，称为相（当1为压缩）；4），则只需让原来的点横坐标不变，纵坐标加b即可，于是b对的图像的影响是进行了向上平移b个单位（注意：当b小于0时实际是向下平移）于是由1）2）3）4）已探究对的影响需要注意的是，在2）3）中先进行了横轴方向的平移再进行伸缩，若先进行伸缩再平移则有所不同，如下：2）*，仍是伸缩，需要注意的是下一步3）*，则只需让原来的纵坐标不变，横坐标变为，于是此时向左平移了个单位，而不是原来的个单位，需要注意区分！【课堂练习：目的：锻炼学生逆向思维例题5、请写出可以经过怎样的变换变成】7、画图像并研究其性质画图仍用五点作图法，五点作图法的规范格式：02解出相应的定义域R、值域、对称中心、对称轴、何时取到最大最小值都容易通过将当成整体得到最需要讨论的是周期性和单调性周期性：由前面讨论中只有会影响周期变化，于是研究的周期即可的周期为，则于是有的周期为单调性：仍然是把当成整体看，由的单增单减区间为，两段，于是令得区间A，令得区间B，此时要注意不能直接说A是增区间，B是减区间，要看的符号此时应用复合