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习题 1-7 1. 当x0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为, 所以当x0时, x2-x3是高阶无穷小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2. 当x1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为, 所以当x1时, 1-x和1-x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (2)因为, 所以当x1时, 1-x和是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x0时, 有: (1) arctan xx; (2). 证明 (1)因为(提示: 令y=arctan x, 则当x0时, y0), 所以当x0时, arctanxx. (2)因为, 所以当x0时, . 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1); 解 . (2)(n, m为正整数); 解 . (3); 解 因为 (x0), sin3xx3(x0),所以 . (4). 解 因为 (x0), (x0), (x0),所以 . 5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) a a (自反性); (2) 若a b, 则b a(对称性); (3)若a b, b g, 则a g(传递性). 证明 (1), 所以a a ; (2) 若a b, 则, 从而. 因此b
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