《应用型本科线性代数及其应用》习题参考解答.doc

应用型本科线性代数及其应用习题参考解答习题一1、利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：2、求下列各排列的逆序数，并确定排列的奇偶性：（1）3617254；（2）891476235；（3）（2n+1）(2n-1) 531解（1）：逆序数为10，偶排列。解（2）：逆序数为23，奇排列。解（3）：逆序数为。当或时为偶排列，当或时为奇排列3、写出四阶行列式中所有包含并带正号的项。解：项的一般形式为，其中，是1，2，4的全排列。所有可能的列标序列的逆序数为， ，故包含且带正号的项有，。4、若阶行列式的元素满足（），则称这样的行列式为反对称行列式，试证：当为奇数时，。解：一方面，另一方面，于是，。5、计算下列行列式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：解（5）：解（6）：6、计算阶行列式（1）；（2）解（1）：第n-1行减去第n行，第n-2行减去第n-1行，.，第2行减去第3行，第1行减去第2行，有解（2）：提取各阶公因子，得第2，3，n-1,n行分别加上第1行，得7、求解下列方程（1），（2）解（1）：原方程为其根为。解（2）：故原方程为，从而。8、设的元的代数余子式记作，求。解：9、用克拉默法则解下列方程组：（1） （2）（3） （4）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：10、确定参数的值，使下列方程组有惟一解，并求出该解：（1） （2）解（1）：，故当时，方程组有惟一解。，解（2）：，故当时，方程组有惟一解。，11、确定参数的值，使以下齐次线性方程组有非零解解：系数行列式故当时，齐次线性方程组有非零解。12、求三次多项式，使满足，。解：设，解得，故13、在空间坐标系中，3元方程表示一空间平面。设有3元线性方程组其几何意义如图所示判别向量，是否共面，并说明理由。解：由几何意义可知，三平面无共同的交点，即非齐次线性方程组无解。根据克莱默法则，该非齐次线性方程组的系数行列式从而，共面。14、证明平面上经过两不同点、的直线的方程可以表示成为证明：过两点、的直线方程为，从而15、证明：顶点、的三角形的面积，证明：记、，16、分别求下列给定顶点的四边形的面积，并判别其中哪几个是平行四边形。（1）（0，0），（5，2），（6，4），（11，6）（2）（0，0），（-1，3），（4，-5），（3，1）（3）（-1，1），（0，5），（1，-4），（2，1）（4）（0，-2），（6，-1），（-3，1），（3，2）解（1）：记A(0,0)，B(5,2)，C(6,4)，D(11,6)，因， ，故该四边形构成平行四边形，且面积为解（2）：记A(0,0)，B(-1,3)，C(4,-5)，D(3,1)，该四边形不构成平行四边形。且面积为解（3）：记A(-1,1)，B(0,5)，C(1,-4)，D(2,1)，该四边形不构成平行四边形。且面积为解（4）：记A(0,-2)，B(6,-1)，C(-3,1)，D(3,2)，因， ，故该四边形构成平行四边形，且面积为17、分别求下列给定点的平行六面体的体积。（1）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，0，-2），（1，2，4），（7，1，0）；（2）一个顶点在原点，相邻顶点在（1，4，0），（-2，-5，2），（-1，2，-1）；（3）一个顶点在（1，1，1），相邻顶点在（0，-1，-2），（1，-4，3），（-2，1，4）；（4）一个顶点在（2，1，3），相邻顶点在（1，-1，4），（2，-1，5），（-3，2，1）。解（1）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为解（2）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为解（3）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为解（4）：平行六面体的三个棱向量为，所构成的平行六面体的体积为18、求以(-2,-3)，(4,-3)，(6,2)，(1,6)，(-4,5)，(-6,2)为顶点的六边形的面积。解：从（-2，-3）出发，将六边形划分为4个三角形，其面积为19、分别求单位圆的内接正6边形、正12边形、正24边形的面积，由此你能得出何种猜想。解：猜想：若用表示圆内接正边形面积，则。事实上，有，20、求如下图所示的曲边梯形面积的近似值。解：（1）建立数学模型在区间0.5,4上插入个分点，小区间所对应的曲边梯形面积，用以下梯形面积来近似整个曲边梯形面积，可以用复化梯形面积来近似，而（2）给出对区间0.5,4的等分数，进行具体计算n12345An7.87505.49314.84854.57934.4412n678910An4.36124.31074.27694.25324.2359利用定积分，该曲边梯形面积的准确值为从近似计算的数值可以观察到，单调下降趋近于。习题二1、设，（1）计算；（2）若已知，求出，。解：，。2、设，求。解：3、已知求矩阵。解：4、设，且，求矩阵。解：5、计算下列矩阵（1）； （2）； （3）（4）； （5）解（1）解（2）解（3）解（4）解（5）6、计算，其中，解：7、设，求（1）；（2）；（3）。解（1）解（2）解（3）8、计算下列矩阵（其中为正整数）（1）；（2）；（3）解（1），解（2）解（3）9、设矩阵，求和。解：，可分解成为 ，而（1）当时，有（2）当时，有（3）当时，有10、设、为阶方阵，如果，证明的充要条件是。证明：若，则，从而。若，则。11、设矩阵，求，和。解：，没有意义的。12、设、为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。证明：记，则，故为对称阵。13、设为三阶方阵，且，求。解：14、设，（1）计算行列式的值；（2）求行列式。解（1），解（2），15、求下列矩阵的逆矩阵（1）；（2）（3）；（4）解（1）：解（2）：解（3）：解（4）：16、解下列矩阵方程（1）；（2）（3）解（1）：解（2）：解（3）：17、求方程组的解解：，18、设，求矩阵。解：，故可逆。故19、已知矩阵满足，证明，均可逆；并求，。证明：，故可逆，且。，故可逆，且。20、设，其中为方阵，为大于1的正整数，证明：证明：故。21、若为可逆矩阵，并且，试证：。证明：，从而 。22、若三阶矩阵的伴随矩阵为，且，求。解：23、已知设，求。解：24、设，其中，求。解：25、已知，求。解：26、已知，求。解：27、设是一个阶的矩阵，按下列形式划分成4个小矩阵，其中、分别是阶和阶可逆矩阵，求。解：28、设明文为DSWSIHWREQ，密钥矩阵为，试用希尔密码体系给明文加密。解：字符矩阵所对应的数字矩阵为数字矩阵所对应的字符矩阵为密文为QEVEYXSBNY。验证：，数字矩阵所对应的字符矩阵为即明文为DSWSIHWREQ。29、设密文为AHRSUYREQ，密钥矩阵为，试将密文还原为明文。解：密文所对应的字符矩阵为，其中，最后的是补充的，还原成为明文时，它所对应的字符应被去掉。密文所对应的数字矩阵为。，明文对应的数字矩阵为，对应的字符矩阵为故明文为SSYZVIMFQ。30、某些动力系统可借助矩阵的幂来研究，如下所示。给定下列矩阵和，观察当增加时，和有何变化，识别和有什么特点？研究类似矩阵的幂，提出关于这类矩阵的猜想。，解：（一）、特点1、矩阵的每个元素均为非负的。2、每列元素之和为1。（二）、幂阵特点当时，和中的每个元素为正值，且每列元素之和仍为1。（三）猜想存在着唯一三维列向量（中的每个元素均为正且和为1），使得。例如：31、先求出产生所述复合二维变换的矩阵，然后在线性代数智能在线实验系统的实验四的实验区中进行实证。（1）先关于轴对称，然后绕原点顺时针旋转30 0；（2）先绕原点顺时针旋转30 0，再关于轴对称；（3）先把和坐标同时乘1.2，然后关于对称；（4）先关于对称，然后把和坐标同时乘1.2。根据你算出的结果以及矩阵的相关结论，解释你观察到的现象，并用矩阵语言表示。解（1）关于轴对称的变换为绕原点顺时针旋转30 0的变换为其复合变换为解（2）先绕原点顺时针旋转30 0的变换为再关于轴对称的变换为其复合变换为解（3）将和坐标同时乘1.2的变换为关于对称的变换为其复合变换为解（4）关于对称的变换为将和坐标同时乘1.2的变换为其复合变换为32、数据矩阵的每一列表示平面上的一个点的坐标，因此决定一个三角形，求这个三角形绕点（17，10）顺时针旋转900的矩阵（用齐次坐标，所以所得矩阵应为），并在实验七中验证。解：三角形的三个顶点的齐次坐标所排成的矩阵为欲绕顶点（17，10，1）进行旋转，需先将坐标原点平移到（17，10，1），即作平移变换再作旋转变换最后再将坐标原点还原成原来的原点，即故复合变换为故所求的矩阵为。原三角形的顶点矩阵，经此变换之后，其顶点矩阵为我们利用图形计算器，画出原三角形以及变换后的三角形。-1Xmin：31Xmax：-4Ymin：22Ymax：17，20，30，17，10，17，15，10，1，1，1，1 M1：/顶点矩阵FOR I=1 TO 3 STEP 1； LINE M1(1,I)；M1(2,I)；M1(1,I+1)；M1(2,I+1)：/画原三角形END：0，1，7，-1，0，27，0，0，1 M2：/变换矩阵M2*M1M3：/变换后的顶点矩阵FOR I=1 TO 3 STEP 1； LINE M3(1,I)；M3(2,I)；M3(1,I+1)；M3(2,I+1)：/画新三角形END：FREEZE：33、设四边形的四个顶点坐标为，如图a所示。若令，则可用矩阵表示四边形。由向量加法的平行四边形法则可知，若向量，则四边形为平行四边形，如图b所示。请构造一个顶点均不在原点、边均不平行于坐标轴的平行四边形（非矩形），并求其面积。你可以在实验区的实验区中对你的结果进行验证。参考解决方案：第一步 作一个顶点在原点的矩形该矩形的顶点矩阵（采用齐次坐标）为第二步 通过一个可逆的线性变换，将矩形变为平行四边形变换成为平行四边形的顶点矩阵为第三步 将平行四边形顺时针旋转300，使其各边均不与坐标轴平行其平行四边形的顶点矩阵为第四步 将旋转后的平行四边形的顶点由原点移到（-1，-1，1），使其顶点不在原点其平行四边形的顶点矩阵为原矩形的面积为2，所实施的线性变换均不改变图形的面积，故最终所得的平行四边形的面积也为2。上述解决方案的作图程序如下：-4Xmin：4Xmax：-3Ymin：3Ymax：0，2，2，0，0，0，0，1，1，0，1，1，1，1，1 M1：/矩形的顶点矩阵LINE -4；0；4；0：/画x轴LINE 0；-3；0；3：/画y轴FOR I=1 TO 4 STEP 1； LINE M1(1,I)；M1(2,I)；M1(1,I+1)；M1(2,I+1)：/画矩形END：WAIT 2：ERASE：/清除1，1，0，0，1，0，0，0，1 M2：/可逆变换矩阵M2*M1M1：/变换后的顶点矩阵LINE -4；0；4；0：/画x轴LINE 0；-3；0；3：/画y轴FOR I=1 TO 4 STEP 1； LINE M1(1,I)；M1(2,I)；M1(1,I+1)；M1(2,I+1)：/画平行四边形END：WAIT 2：ERASE：/清除3/2，1/2，0，-1/2，3/2，0，0，0，1 M3：/逆转300的变换矩阵M3*M1M1：/变换后的顶点矩阵LINE -4；0；4；0：/画x轴LINE 0；-3；0；3：/画y轴FOR I=1 TO 4 STEP 1； LINE M1(1,I)；M1(2,I)；M1(1,I+1)；M1(2,I+1)：/画旋转后的平行四边形END：WAIT 2：ERASE：/清除1，0，-1，0，1，-1，0，0，1 M4：/平移至(-1,-1)的变换矩阵M4*M1M1：/变换后的顶点矩阵LINE -4；0；4；0：/画x轴LINE 0；-3；0；3：/画y轴FOR I=1 TO 4 STEP 1； LINE M1(1,I)；M1(2,I)；M1(1,I+1)；M1(2,I+1)：/画平移后的平行四边形END：FREEZE：习题三1、一个二元线性方程在平面上表示一条直线，构造一个有两个未知量两个方程的线性方程组表示：（1）两直线交于一点；（2）两直线平行。解：（1）取，两直线交于（1，1）；（2）取，两直线平行且不相交；，两直线平行且重合。2、一个三元线性方程表示一个空间平面，其中不全为零，构造一个有三个方程的方程组，表示三个平面交于一条直线的情形；构造一个有三个方程的方程组，表示三个平面没有交点的情形。解：取三个平面方程为，这三个平面交于一条直线。取三平面方程为，这三个平面没有交点。3、用消去法求解下列方程组（1） （2）解（1），故解（2），故4、求下列矩阵的行阶梯形矩阵（1） （2）解（1）解（2）5、求下列矩阵的行最简形矩阵（1） （2） （3）解（1）（2）（3）6、求下列矩阵的标准形（1） （2）解：（1）；（2）7、用定义求下列矩阵的秩（1） （2）解（1）由于第二行均为零，故任一三阶行列式均为零，而，因此，该矩阵的秩为2。解（2）由于每行成比例，故任一二阶，三阶行列式均为零。因为，第一行非零，故矩阵的秩为1。8、求下列矩阵的秩（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）解（1），；（2），；（3），；（4），；（5）。；（6），；（7），。9、设，问为何值时，可使（1）；（2）；（3）。解：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，。10、用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵。（1） （2）（3） （4）解（1） （2）（3） （4）11、求解下列矩阵方程（1），求；（2），求；（3），求；（4）设，求。解（1）解（2）解（3）解（4），12、求解下列非齐次线性方程组（1） （2）（3） （4）（5） （6）解（1），解（2），解（3），解（4），解（5），解（6），13、求解下列齐次线性方程组（1） （2）（3） （4）（5） （6）解（1），解（2），解（3），解（4），解（5），解（6），14、用矩阵的秩研究（1）平面上两条直线相交、平行不重合、重合的条件；（2）空间上三个平面交于一点、交于一条直线的条件。解（1）设平面上两条直线的方程为如果两条直线相交于惟一的一点，则该方程组具有惟一解，。于是，该非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，满足。如果两条直线平行不重合，则满足， 。如果两条直线重合，则满足。解（2）设空间三平面的方程为如果三平面相交于惟一的一点，则该方程组具有惟一解，。于是，该非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，满足。如果三平面相于一条直线，则该非齐次线性方程组有无穷多组解，且有一个多余的方程，于是。15、设有线性方程组问取何值时，此方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解。解：（1）当时，此方程组有惟一解；（2）当时，；（3）当时，。16、设有非齐次线性方程组问取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。解：（1）当时，此方程组有惟一解；（2）当时，无解；（3）当时，。17、问当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解？解：当或时，该齐次线性方程组有非零解。18、问，取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：当时，有非零解；当时，有非零解。19、设是，是，证明矩阵不可逆。证明：为方阵，而，故齐次线性方程组存在着非零解。于是，即齐次线性方程组具有非零解，从而，不可逆。20、设有可逆线性变换，其中为（1） （2）把线性变换分解成三种基本变换的乘积，并在线性代数智能在线测试系统实验四的实验区中验证你的结果。解：（1）所用到的初等矩阵分别为，即，故，而，故解（2）所用到的初等矩阵分别为，即，故，而，故21、很多读者可能有这样的经验：有铝合金和铆钉制作的矩形像框，当四个角的铆钉松动时，该像框就可以变形为等面积的平行四边形，请建立数学模型解释这一现象。解：如上图所示，将顶点位于（0，0），（2，0），（2，1），（0，1）的矩形，变为对应顶点为（0，0），（2，0），（3，1），（1，1）的平行四边形，其面积仍保持2。该变形相当于将原矩形所对应的顶点矩阵变换成为平行四边形的顶点矩阵所实施的线性变换为，事实上22、下图表示的是一个电路网络，试求各支路的电流。参考解答： 据基尔霍夫定律，即各节点电流（输入与输出）的代数和为零。节点A：节点B：节点C：节点D：节点E：节点F：构成的齐次线性方程组为可行解应满足条件：均为正实数。于是均大于零，且，均大于零，且，而23、下图是某城市乘区一些单行道路在一个下午早些时候的交通流量（每小时通过的车辆数），计算该网络的车流量。参考解答：根据A、B、C、D这4个路口的驶入车辆数应与驶出车辆数相等，可列出以下方程A路口：，B路口：C路口：，D路口：构成的非齐次线性方程组为可行解应满足条件：即24、下图是某城市乘区一些单行道路在一个下午早些时候的交通流量（每小时通过的车辆数），计算该网络的车流量。参考解答：根据A、B、C、D这4个路口的驶入车辆数应与驶出车辆数相等，可列出以下方程A路口：，B路口：C路口：，D路口：构成的非齐次线性方程组为可行解应满足条件：即 。25、Alka-Seltzer碱性苏打包含重碳酸纳(NaHCO3)和柠檬酸(H3C6H5O7).。当一颗药片溶解在水中时，会发生化学反应生成柠檬酸纳(Na3C6H5O7)、水(H2O)和二氧化碳(CO2)，即试配平该化学方程式。参考解答：设有个单位的重碳酸纳（NaHCO3）和个单位的柠檬酸(H3C6H5O7)进行反应，产生出个单位的柠檬酸纳(Na3C6H5O7)，个单位的水(H2O)和个单位的二氧化碳(CO2)，即于是，根据质量守恒定律，有Na： H：C： O：构成齐次线性方程组为可行解应满足条件：为正整数，即 。26、高锰酸钾和硫酸锰在水中发生化学反应生成二氧化锰、硫酸钾和硫酸，即试配平该化学方程式。参考解答：设有个单位的高锰酸钾（）、个单位的硫酸锰（）和个单位的水（），产生出个单位的二氧化锰（）、个单位的硫酸钾（）和个单位的硫酸（），即于是，根据质量守恒定律，有K：Mn：O：S：H：构成齐次线性方程组为可行解应满足条件：为正整数，即 。习题四1、设，求向量。其中，解：。2、把向量表示成向量，的线性组合，其中，解：对矩阵作初等行变换，有故 3、找出下面的四个向量中哪个向量不能由其余三个向量线性表示：，解：对矩阵作初等行变换，有故 不能由，线性表示。4、已知向量组，；，证明组能由组线性表示，但组不能由组线性表示。证明：对矩阵作初等行变换，有故，即组能由组线性表示。故，不可以由线性表示，故组不能由组线性表示5、判定下列向量组是线性相关还是线性无关：（1），； （2），；（3），；（4），。解（1）：，线性相关。解（2）：含零向量组，故线性相关。解（3）：，两向量成比例，故线性相关。解（4）：，故线性无关。6、设向量组如下图所示：判别其线性相关性。解（1）三个向量共面，故它们一定线性相关。解（2）三个向量不共面，故它们一定线性无关。7、求以下列向量组为邻边的平行四边形的面积：（1），；（2），；（3），。解：，8、求以下列向量组为棱的平行六面体的体积：（1），；（2），。解：，9、设向量组线性无关，试讨论的线性关系。解：其过渡矩阵的行列式为零，故线性相关。10、设向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否用线性表示？（2）能否用线性表示？解：线性相关，而线性无关，故能用惟一地线性表示。而不能用线性表示。事实上，若能用线性表示，则也能用线性表示，从而线性相关，这与条件相矛盾。11、求下列向量组的秩，并求一个极大无关组：（1），（2），解（1）故秩为4，是极大无关组。故秩为4，为极大无关组。12、利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示：（1）；（2）解（1），极大无关组为，且 ，解（2），极大无关组为，且，13、设有向量组，（1）为何值时，向量组线性无关，并将用该向量组线性表示；（2）为何值时，向量组线性相关，求向量组的秩和一个极大无关组。解（1），当时，向量组线性无关，且解（2）当时，向量组线性相关，而故向量组的秩为3，极大无关组为，14、设，（1），为何值时，不能由线性表示；（2），为何值时，能由惟一线性表示，写出线性表示式。解：（1）当时若，则不能由线性表示；若，则能由线性表示，且。（2）当时故能由线性表示，且。（3）当时，能由惟一线性表示，且。15、判别下列方程组中是否有多余的方程，并求其保留方程组（1） （2）解（1）：对系数矩阵的转置矩阵进行初等行变换，有方程组（1）含有两个多余的方程，只需保留前两个方程，它与原方程组是等价的。即。解（2）：对系数矩阵的转置矩阵进行初等行变换，有方程组（2）含有一个多余的方程，只需保留前四个方程，它与原方程组是等价的。即16、设有方程组（1），满足何关系时，方程组仅有零解；（2），满足何关系时，方程组有无穷解，并用基础解系表示全部解.解：当，互异时，方程组仅有惟一零解。当时，通解为，（，为任意实数）当时，通解为，（为任意实数）当时，通解为，（为任意实数）当时，通解为，（为任意实数）17、用基础解系表示下列方程组的全部解：（1） （2）（3） （4）解（1）（为任意实数）解（2）（，为任意实数）解（3）（为任意实数）解（4）（，为任意实数）18、求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为，解：，故所求的齐次线性方程组可取。19、设为齐次线性方程组的一个基础解系。证明：也是该方程组的一个基础解系。解：记，显然是齐次线性方程组的解。而，从而线性无关，故构成该方程组的一个基础解系。20、设阶矩阵满足，为阶单位阵，证明。证明：，从而，从而，而因此，结合两不等式，有。21、设，（1）求向量空间的基和维数；（2）向量在不在中，若在，求它在所求基下的坐标，若不在，说明理由。解：故向量空间的基为，维数为3。故，且。在基下的坐标为。22、已知的两个基为，及，求（1）由基，到基，的过渡矩阵；（2）向量在基，下的坐标。解：，过渡矩阵为。故在基，下的坐标为。23、求下列向量空间的基和维数：（1）；（2）。解（1）方程的通解为（，为任意实数）的基为，维数为2。解（2）方程的通解为（为任意实数）的基为，维数为1。24、假设列出的信号是给出的差分方程的解，确定这些信号是否构成相应方程解空间的基。（1）；（2）；（3）。解（1），故构成解空间的基。解（2），故构成解空间的基。解（3），故构成解空间的基。25、把下列差分方程写成一阶差分方程组的形式：（1）；（2）；（3）。解（1）记，则解（2）记，则解（3）记，则26、求下列差分方程解空间的一个基：（1）；（2）；（3）。解（1）特征方程，是两个线性无关的解，故它构成该差分方程解空间的一个基。解（2）特征方程，是两个线性无关的解，故它构成该差分方程解空间的一个基。解（3）特征方程，是两个线性无关的解，故它构成该差分方程解空间的一个基。27、证明给出的信号是相应的差分方程的解，然后求差分方程的通解：（1）；（2）。解（1），故是差分方程的解。对于，其特征方程为，齐次差分方程的解空间的基为，。故非齐次差分方程的通解为。解（2），故是差分方程的解。对于，其特征方程为，齐次差分方程解空间的基为，。故非齐次差分方程的通解为。28、求下列矩阵的稳态向量：（1）； （2）；（3）；（4）。解（1），；解（2），；解（3），；解（4），29、确定下列矩阵是否是正则随机矩阵：（1）；（2）。解（1），该矩阵为正则随机矩阵；解（2），该矩阵非正则随机矩阵。30、设，在实验五提供的实验区中计算，。计算的稳态向量。对任意正则随机矩阵，猜想什么结果可能是正确的，利用定理17解释你所发现的结果。解：，故为正则随机矩阵。设是其稳态向量，则，解齐次线性方程组可解得，为使为概率向量，可取其解为。31、10000元的贷款每月有1%的利息和450元的月供，一个月之后在时办理第一次付款。对，设是第次月度付款刚办理后贷款的未付余额，则（1）写出满足的差分方程；（2）当作完最后的付款时，为多少？最后一次的付款是多少？借款者共支付多少钱？解：记一般地，（）。令，有，。因此，最后一次付款应为；最后一次付款数为；借款者共付了。32、人口统计学的研究表明，人口在某一城市与它的周边地区之间的迁移有以下规律：每年约有5%的城市人口移至郊区（其他95%留在城市），而3%的郊区人口移居城市（其他97%留在郊区）。（1）试建立人口迁移的数学模型；（2）多年以后住在城市和郊区的人口的百分比各是多少？（3）假设某个居民“随机”选择去向，则一确定年度的状态向量可以理解为给出了当时这个人是城市居民还是郊区居民的概率。假设现在这个人是城市居民，这个人下一年住在郊区的可能性在多大？这个人两年后住在郊区的可能性有多大？这个人20年后、30年后、甚至更长时间以后呢？解（1）设，分别表示第年的城市与郊区的人口数量。取，分别表示最初的城市与郊区的人口数量均为1个单位。（），（），。这表明，多年之后，约有75%的人口留在城市，约有125%的人口留在郊区。解（3）设，分别表示某人在第年为城市居民，郊区居民的概率，则，据题意，城市人移到郊区的概率为0.05，继续留在城市的概率为0.95；而郊区人移到城市的概率为0.03，继续留在郊区的概率为0.97。据全概率公式，有若这个人现住在城市里，下一年他住在郊区的概率为0.05。此人两年后住在郊区的概率为0.096。，此人20年后住在郊区的概率约为0.4968，30年后住在郊区的概率约为0.5693，最终此人住在郊区的概率为0.625。习题五1、求向量与的内积与夹角：（1），；（2），；（3），。解：（1），；（2），；（3），。2、设（1）求向量，使向量组，成为的正交基；（2）求向量在正交基，下的坐标。解（1）设，且，可取。再设，且，可取，于是，成为的一组正交基。解（2）故在正交基，下的坐标为。3、下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1），该矩阵是正交矩阵；解（2），该矩阵不是正交矩阵。解（3），该矩阵是正交矩阵。解（4），该矩阵是正交矩阵。4、设，都是正交矩阵，证明也是正交矩阵。证明：，故为正交矩阵。5、讨论，为何值时，矩阵为正交矩阵。解：故有 ，当会产生矛盾，舍去。于是，将它代入其它方程可得，或，。6、是的特征值吗？为什么？（1）； （2）解（1），故为特征值；解（2），故为特征值。7、是的特征向量吗？如果是，求对应的特征值。（1）； （2）解（1），是特征向量，对应的特征值为0。解（2），是特征向量，对应的特征值为-28、不用计算，求的一个特征值，验证你的结果。解：，故是它的一个2重特征值。因为，的另一个特征值为。因为9、不用计算，求的一个特征值和两个线性无关的特征向量，验证你的结果。解：，故是它的一个2重特征值。因为，的另一个特征值为。因为10、设是阶实矩阵，是的实特征值的个数，证明与有相同的奇偶性。证明：特征多项式这里，二次三项式满足（），且故与有相同的奇偶性。11、求下列矩阵的特征多项式和特征值：（1）；（2）；（3）。解（1），是2重特征值；解（2），是特征值；解（3），是特征值。12、求下列矩阵的特征值和特征向量：（2）；（3）；（4）。解（2）特征多项式特征值，特征向量，。解（3）特征多项式特征值，特征向量，。解（4）特征多项式特征值，特征向量，。13、设是阶矩阵，证明与的特征值相同。证明：，故与具有相同的特征多项式，即它们的特征值相同。14、设，证明的特征值只能取1或2。证明：设是的任一特征值，是其对应的特征向量（），即。故，即或。15、已知3阶矩阵的特征值为-1，1，2，求（1）；（2）。解（1），解（2），16、设矩阵满足，证明可逆。证明：，故可逆，且。17、计算，为正整数，其中（1）；（2）。解（1），特征值为，其对应的特征向量为，。取，解（2）当时，当时，特征值为，其特征向量为，。取，18、设，都是阶矩阵，且可逆，证明与相似。证明：，故与相似。19、已知矩阵与矩阵相似。（1）求与；（2）求可逆矩阵，使。解，故 ，亦即令得：，再令得：，。，于是，的特征值为，且对应的特征向量为， 作 ，则 。20、已知是矩阵的一个特征向量。（1）求参数，及特征向量所对应的特征值；（2）问能不能对角化？并说明理由。解：，欲使成立，需，而，。，三重特征值所对应的线性无关的特征向量个数仅有一个，故不可能对角化。21、设3阶矩阵的特征值为，对应的特征向量分别为，求矩阵。解：作，则22、设3阶对称矩阵的特征值为，且，对应的特征向量依次为，求矩阵。解：设所对应的特征向量为，则，。可取，作，且23、试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：（1）；（2）；（3）。解（1）特征多项式特征值，特征向量，单位化，作，则。解（2）特征多项式特征值，。特征向量，单位化，作，则。解（3）特征多项式特征值，。特征向量，正交化，有，单位化，有，作，则。24、设，求。解：，。25、写出下列二次型的矩阵，并求二次型的秩：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1），故，而，故，因此该二次型的秩为1。解（2），而，故，因此该二次型的秩为3。解（3），故，因此该二次型的秩为2。解（4），因此该二次型的秩为3。26、用正交变换法化下列二次型成标准形，并求出所用的正交变换：（1）；（2）；（3）。解（1），特征值为，。特征向量为，单位化，有，正交变换为，标准型为。解（2）特征值为，特征向量为，正交化，有，单位化，有，正交变换为，标准型为。解（3）特征值为，。特征向量为，正交化，有，单位化，有，正交变换为，标准型为。27、判定下列二次型的正定性：（1）；（2）。解（1），该二次型是负定的。解（2），该二次型是正定的。28、判定下列矩阵是否为正定矩阵：（1）；（2）；（3）。解（1）为实对称阵，且，故它是正定矩阵。解（2）为实对称阵，且，故它是负定矩阵。解（3）为实对称阵，且，故它是不定矩阵。29、讨论参数满足什么条件时，下列二次型正定：（1）；（2）。解（1），当时，该二次型是正定的。解（2），当时，该二次型是正定的。30、证明对称矩阵为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵，使，即与单位矩阵合同。证明：假设阶实对称矩阵为正定，则存在着阶实正交矩阵，使得，且。若记，则，若令，则，即可逆，且使得。假设存在着阶实可逆矩阵，使得成立。显然，为实对称矩阵。对于任意维的非零列向量，有，故为正定矩阵。31、给下列二次曲线分类，求出每条曲线两条半轴的长度，求出主轴方向，若是封闭曲线，求其所围的面积：（1）； （2）（3）； （4）。解（1）二次型矩阵为，的特征值为7和2，对应的单位正交特征向量为，所以该二次方程表示的曲线为椭圆，主轴为，两条半轴的长度为和，在新坐标系中的方程为，其面积为。解（2）二次型矩阵为，的特征值为11和1