2007年高考数学试题(广东卷)与评析和教学启示.doc

螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿螅袅肅芁薈螁膄莃螄蚇膃蒆薆羅膃膅荿袁膂莈薅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆芆芈蒂肄芅蒁蚈羀芄薃薁袆芃芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃羇艿螃蝿羆莂薆蚅羅薄莈肃羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆肀莂蒃袂聿蒅虿螈聿芄蒂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿螅袅肅芁薈螁膄莃螄蚇膃蒆薆羅膃膅荿袁膂莈薅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆芆芈蒂肄芅蒁蚈羀芄薃薁袆芃芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃羇艿螃蝿羆莂薆蚅羅薄莈肃羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆肀莂蒃袂聿蒅虿螈聿芄蒂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿螅袅肅芁薈螁膄莃螄蚇膃蒆薆羅膃膅荿袁膂莈薅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆芆芈蒂肄芅蒁蚈羀芄薃薁袆芃芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃羇艿螃蝿羆莂薆蚅羅薄莈肃羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆肀莂蒃袂聿蒅虿螈聿芄蒂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿螅袅肅芁薈螁膄莃螄蚇膃蒆薆羅膃膅荿袁膂莈薅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆芆芈蒂肄芅蒁蚈羀 2007年高考数学试题(广东卷)与评析和教学启示广州市从化中学 宋发奎 自2004年广东省自主命题以来，广东高考数学试题从04、05年的探索期到06年的适应期，07年迎来了她的成熟期和创新期。看完全卷，使人眼前一亮，改革步伐之快让人耳目一新，是近几年来难得的好卷。这份试卷可用“试题新颖，难度略降，紧扣课标，考查能力”来概括，命题风格向上海高考题靠近。以下谈谈试卷特点和对今后教学的启示。一、 试题特点1 试题新颖，考查能力全卷新颖题很多，如第4题是一道分段函数图像题，既考查了函数的图像也间接考查了分段函数的解析式，定义域、值域，同时还是一道实际应用题。第6题是统计与算法相结合的好题，同时也是图表信息题，要求学生从图表中获取信息。第7题是一个优化问题，是线性规划的变种题，线性规划已经考过多年，确实要变一变，今年的优化问题，课本中找不到同类型的练习题，此题考查学生分析问题解决问题的能力。第8题是“新定义”问题，考查学生的阅读理解能力、自学能力、知识迁移能力，06年也有些题，但今年此题更好，只需运用一般与特殊的关系，不难选出正确答案。第12题是填空题中的“爬坡题”，是一道立体几何中的计数问题，同时也是一个归纳推理问题，比06年的“垒球”问题难度稍小一些，这样更合理。第一大题是三角求值题，为送分题。已知条件为：在直角坐标系中，给定三点的坐标，求一个角的三角函数值问题，考查余弦定理。既容易又不落俗套。第二大为统计中的求线性回归方程问题，在全国首创，新课标增加了统计的内容，此题体现了新课标的要求，考查了新课标要求的运算能力和数据处理能力。这种题型出乎许多老师的意外，试题并不难，只相当于课本例题，高三复习一般都很少把其作为重点来复习，正因为如此，这道题就考平时学习的基本功了。第18题为解析几何题，难度比年明显下降，这也体现了新课程的特点，在新课程中增加了许多学习内容，当然传统的重点内容如三角、解析几何的学习时间比以前减少，要求也有所降低。第19题为立体几何题，为折叠问题中的最值问题，并用导数求解，第三问为用向量方法求异面直线所成的角。这题集折叠问题、最值问题和导数为一体，体现了函数思想，淡化了推理论证，符合新课标对立体几何处理的思想。第20题为含参二次方程的零点问题。新标把二次函数、函数与方程作为函数的重点，这道题应运而生，此题考查了零点定理、数形结合思想和分类讨论思想。第21题为递推数列问题，用到函数、导数等知识。此题为压轴题，比去年的难度有所下降。第一问为送分题，第二问是证明，可用分析法或数学归纳法证明，第三问转化为等比数列求和，但要发现并证明此数列为等比数列要有很高的数素养和变换技巧。此题考查推理论证能力和化归思想。2.紧扣新课标，全面考查各种数学能力和应用意识、创新意识今年是新课标实施后的第一次高考，人们都在猜测今年究竟是按新课标要求命题？还是按原大纲命题？或是过渡一年？07年试题明确地告诉我们，试题按新课标要求命题。(1)在内容上，新课标中被删除或降低要求的内容也相应不再出现或降低了要求。如降低要求的有：、三角函数、立体几何中的推理论证、解析几何等，不再出现的内容如：反函数、极限、坐标平移、定比分点等内容。而新增内容如函数与方程，统计、算法等在大题和小题中，得到充分的体现。(2)新课标要求的各种能力在试题中得到充分的体现。如第19题，考查空间想象能力，第17题考查运算求解能力和数据处理能力，21题考查推理论证能力，第12、21题考查了抽象概括能力。在注重数学应用方面，第4、6、7、17题，三道小题和一道大题为实际应用问题，改革力度之大让人惊讶。第7、8、21题等新题型考查了学生的创新意识和创新能力。第4、6、17题，考查了学生的画图、识图能力。3 试题梯度明显，区分度高选择题可分为二个层次，前六题为第一层次，主要考查基础知识和基本技能，没有复杂的运算，前四题一看就能得出结果。第7、8两题为第二层次，没有繁难运算，考查思维能力。填空题也分两个层次，第12题为第二层次，其他题为第一层次，各层次试题的难度与选择题难度一样。解答题可分为三个层次，前三题为基础题，只相当于课本难度，第19、20题为第二层次，属中档题，考查数学思想和方法和数学能力。第21题为第三层次，属压轴题，考查推理论证能力和化归能力。全卷梯度合理，区分度好。4 试卷结构有所创新理科选择题由去年的10题变为今年的8题，填空题由去年的4题变为今年的6题，减少选择题，增加填空题有利于提高试卷的信度。填空题的设问也作了调整，有三道题是一题两空，一道题为一题三空，这样增加了填空题的区分度，提高了得分率。解答题的题数、分值没有变化，但高考从没考试过的新题型比较多，学生普遍感觉试题新。5 文理试题有别，内容相差不大，小题有所区别，大题区别不大 今年广东卷是首次文理分卷，人们普遍关注文理究竟有多大区别。在试卷结构方面，文科选择题10题，填空题4题，在选择、填空共14道题中，文理共用题有8题(含一道选做题)，文科与理科不同的题有7题，其中有4题是姊妹题，考同一内容，难度相差不大，还有一题是因为理科在选做题中有不等式选讲而文科没有，文科多了一道用导数求函数单调区间的小题，文理在小题上真正在难度上有区别的只有两题，文科将理科选择题中第8题(新定义题)和填空题中第12题(归纳推理题)变成了一道函数题和立几判断题，由第二层次降为第一层次，所以文科小题中基本上都是基础题。在大题中，第一题是三角题，文理为姊妹题，理科题本来就很容易，文科更容易。唯一有区别的是立体几何题，文科是已知几何体的三视图，求体积和侧面积。位于第二题，属于容易题，理科是折叠问题中的最值问题，位于倒数第三题，属中难度题。统计大题、解析几何大题和函数大题则完全一样，理科的压轴题共有三问，去掉第二问，保留第一问和最难的一问后作为文科倒数第二题，所以在大题中，除立体几何外，其他题难度下降不大。其实文科题应将理科压轴题改为常规等差、等比数列题也许效果会更好。二、 对今后的教学启示1学习新课标、钻研新课标、落实新课标。新课标不仅是高一、高二上新课时的行动指南，更是高三复习的行动指南。2抓基础，精讲精练，培养能力。应对这种试题，题海战术显然不能奏效，只有精讲精练，让学生扎实打好基础，把时间还给学生，让学生多思考，在日常教学中注重培养数学的运算能力、数据处理能力、空间想象能力和推理论证能力。只有把培养学生的思维能力放在首位，才能以不变应万变。 平时的训练要控制好难度和比例，选择、填空题以基础题为主，大题以基础题和中难度题为主。3重视数学思想方法的渗透，注重培养学生的应用意识和创新意识。在教学中注重渗透函数与方程思想、数形结思想、分类讨论思想和化归思想等数学思想方法。数学的精华在于数学思想方法，思考问题的支撑点也是数学思想方法，只有理解了数学思想方法，才算真正学明白了数学。三、高考揭榜后的反思本文是在高考成绩没有放榜时写成，现结合高考结果，谈谈有关问题。据了解，今年广州省全省理科平均分为分，文科平均分是分，文科均分比理科高，除试题难度不同外，还有题型不同的原因，选择的得分率比填空题的得分高。广州市A组理科分，文科分，B组理科分，文科分。附： 2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 如果事件、互斥，那么 如果事件、相互独立，那么 用最小二乘法求线性同归方程系数公式一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的1已知函数的定义域为，的定义域为，则ABCD 2若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则A2BCD-23若函数A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数4客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是 A B C D5已知数的前n项和，第k项满足，则k=A9 B8 C7 D66图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是Ai6 B i7 C i8 D i97图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A15 B16 C17 D188设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,bS,有a*(b*a)=b,则对任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是 A（a*b）*a=a Ba*(b*a)*(a*b)=aCb*(b*b)=b D(a*b)* b*(a*b)=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分9甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 （答案用分数表示）10 若向量、满足|1，与的夹角为，则 11在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 12如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条这些直线中共有对异面直线，则 图4 ; （答案用数字或的解析式表示）13（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 14（不等式选讲选做题）设函数 ;若，则x的取值范围是 15（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，则 ，线段的长为 图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12分） 已知顶点的直角坐标分别为（1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围17(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据（2）求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：）18（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10（1）求圆C的方程（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由19（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC的底边AB=6,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点点F在BC边上，且EFAB现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE记BEx，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20（本小题满分14分）已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求的取值范围21（本小题满分14分）已知函数，、是方程的两个根（），是的导数，设，（1）求、的值；（2）证明：任意的正整数n，都有；（3）记，求数列的前项和2007年普通高等学校全国招生统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题题号12345678答案CADBBCBA二、填空题9 10 11 12，13（0，2）， 146， 15 ，3三、解答题16解：（1），当时，根据正弦定理，得，（2），根据余弦定理，得若为钝角，则，即，即，解得17解：（1）如下图（2）32.5435464.566.5，4.5，3.5，3.50.74.50.35故线性回归方程为y0.7x0.35（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.71000.3570.35，故耗能减少了9070.3519.65（吨）18解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m0），则该圆的方程为，已知该圆与直线yx相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2即4 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m2n28 联立方程和组成方程组解得，故圆的方程为（2）5，a225，则椭圆的方程为其焦距c4，右焦点为（4，0），那么4要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆与（1）所求的圆的交点数通过联立两圆的方程解得x，y即存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于的长19解：（1），又，且在平面外，平面，所以四边形的面积四棱锥的体积即（）（2）由（1）知令，解得当时，当时，当时，有最大值，最大值为（3）（解法1）过点F作交AE于点G，连接PG，则为异面直线AC与PF所成的角是等腰三角形，也是等腰三角形于是，从而在中，根据余弦定理，得故异面直线AC与PF所成的角的余弦值为（解法2）以点E为坐标原点，向量，分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，则，于是，异面直线AC与PF所成角的余弦为，故异面直线AC与PF所成的角的余弦值为20解：当a0时，函数为，其零点x不在区间1，1上当a0时