高中数学必修4第二章向量检测试题.docx

第二章检测试题 (时间:90分钟满分:120分) 【选题明细表】知识点、方法题号向量及相关概念1、4、12、14向量的线性运算2、3、8、16向量的数量积6、7、11、13、15、17向量的应用5、9、10、18一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(2011宿州高一检测)如果a、b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是(D)(A)a=b(B)ab=1(C)a=-b(D)|a|=|b|解析:由单位向量的定义知,D正确.2.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于(A)(A)(7,3)(B)(7,7)(C)(1,7)(D)(1,3)解析:a-2b=(3,5)-(-4,2)=(3+4,5-2)=(7,3).故选A.3.AB+AC-BC+BA化简后等于(B)(A)3AB(B)AB(C)BA(D)CA解析:原式=(AB+BA)+(AC-BC)=(AB-AB)+(AC+CB)=0+AB=AB,故选B.4.(2011年高考广东卷)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则等于(B)(A)14(B)12(C)1(D)2解析:a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),若(a+b)c,则4(1+)-32=0,解得=12,故选B.5.若四边形ABCD满足AB+CD=0,(AB-AD)AC=0,则该四边形一定是(C)(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)直角梯形解析:由AB+CD=0即AB=DC可得四边形ABCD为平行四边形,由(AB-AD)AC=0即DBAC=0可得DBAC,所以四边形一定是菱形.故选C.6.(2011乌鲁木齐高一检测)如果向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a(a-b),则a和b的夹角大小为(B)(A)30(B)45(C)75(D)135解析:设a和b的夹角为,由于a(a-b),所以a(a-b)=0,即a2-ab=0,所以12-12cos =0,所以cos =22,又0180,因此,=45,故选B.7.(2010年高考重庆卷)已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于(B)(A)0(B)22(C)4(D)8解析:|2a-b|2=4a2-4ab+b2=4-40+4=8,|2a-b|=22.故选B.8.已知AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于(B)(A)43a+23b(B)23a+43b(C)23a-43b(D)-23a+43b解析:BC=2BD=2(23BE+13AD)=43BE+23AD=23a+43b.故选B.9.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为(D)(A)6(B)2(C)25(D)27解析:由于质点处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,则F3=-(F1+F2),所以|F3|2=F32=-(F1+F2)2=F12+2F1F2+F22=22+42+22412=4+16+8=28,所以|F3|=27,故选D.10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c等于(D)(A)(79,73)(B)(-73,-79)(C)(73,79)(D)(-79,-73)解析:设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(a+c)b,则有-3(1+m)=2(n+2),又c(a+b),则3m-n=0,由解得:m=-79,n=-73,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.(2011年高考福建卷)若向量a=(1,1),b=(-1,2),则ab等于.解析:ab=1(-1)+12=1.答案:112.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+e2与b=-(2e1-3e2)共线,则等于.解析:a,b共线,由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,即e1+e2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2又e1,e2不共线,1=-2k=3k,解得=-32.答案:-3213.(2011年高考江苏卷)已知e1,e2是夹角为23的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若ab=0,则实数k的值为.解析:ab=(e1-2e2)(ke1+e2)=ke12+(1-2k)e1e2-2e22=k+(1-2k)cos23-2=2k-52.又ab=0,2k-52=0,k=54.答案:5414.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:若ab=ac,则b=c;若a=(1,k),b=(-2,6),ab,则k=-3;非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60,其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)解析:ab=aca(b-c)=0,表明a与b-c向量垂直,不一定有b=c,所以不正确;对于,当ab时,16+2k=0,则k=-3,所以正确;结合平行四边形法则知,若|a|=|b|=|a-b|,则|a|,|b|,|a-b|可构成一正三角形,那么a+b与a的夹角为30,而非60,所以错误.答案:三、解答题(本大题共4小题,共50分)15.(本小题满分12分)(1)已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.(2)若|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120,求|a+b|的值.解:(1)设与a垂直的单位向量为e=(x,y),则x2+y2=1,4x+2y=0,解得x=55y=-255或x=-55,y=255.所以e=(55,-255)或e=(-55,255).(2)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=4+221cos 120+1=3,所以|a+b|=3.16.(本小题满分12分)如图,以向量OA=a,OB=b为邻边作OADB,BM=13BC,CN=13CD,用a,b表示OM,ON,MN.解:BA=OA-OB=a-b,BM=16BA=16a-16b,OM=OB+BM=16a+56b;又OD=a+b,ON=OC+13CD=12OD+16OD=23OD=23a+23b;MN=ON-OM=23a+23b-16a-56b=12a-16b.17.(本小题满分13分)已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设M是直线OP上一点(O为坐标原点).(1)求使MAMB取最小值时的OM.(2)对(1)中求出的点M,求AMB的余弦值.解:(1)M是直线OP上一点,OPOM,设OM=OP=(2,),则MA=OA-OM=(1-2,7-),MB=OB-OM=(5-2,1-),MAMB=52-20+12=5(-2)2-8,当=2时,MNMB取最小值,此时OM=(4,2).(2)由(1)知,MA=(-3,5),MB=(1,-1),cosAMB=MAMB|MA|MB|=-41717.18.(本小题满分13分)已知向量a=(3,-1),b=(12,32).(1)求证:ab;(2)是否存在不等于零的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy?如果存在,试确定k与t的关系;如果不存在,请说明理由.(1)证明:ab=312+(-1)32=32-32=0,ab.(2)解:假设存在非零实数k,t,使xy,则a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,整理得-ka2+t-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0.又ab=0,a2=4,b2=1.-4k+t(t2-3)=0,即k=14(t3-3t),故存在非零实数k,t,使xy成立,其关系为k=14(t3-3t).自我补偿1.(平面向量及其相关概念)下列叙述中真命题的个数是(A)若a=b,则3a2b;若ab,则a与b的方向相同或相反;若ab,bc则ac;与a同方向的单位向量是a|a|(A)0(B)1(C)2(D)3解析:对于,若a=b=0时,3a=2b,若a=b0,3a2b也不正确,因为向量只有相等,不能比较大小,正确的表示为若a=b0,则|3a|2b|;对于忽略了零向量,不正确;对于,若b=0,满足ab,bc,但a,c不一定共线;对于,若a=0时,显然错误.2.(不理解向量的几何意义)已知点O、N、P在ABC所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,且PAPB=PBPC=PCPA,则点O、N、P依次是ABC的(C)(A)重心、外心、垂心(B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心(D)外心、重心、内心解析:由|OA|=|OB|=|OC|知,O为ABC的外心;由NA+NB+NC=0,可得N为ABC的重心;PAPB=PBPC,(PA-PC)PB=0,CAPB=0,即可证得P为ABC的垂心,选C.3.(利用数量积求夹角范围)若向量a=(-2,2)与b=(1,y)的夹角为钝角,则y的取值范围是.解析:ab0得-21+2y0,y1,又a与b夹角为钝角,故a与b不反向,则-2y-210,得y-1y的取值范围是(-,-1)(-1,1).答案:(-,-1)(-1,1)4.(向量垂直的坐标运算)已知向量a=(4,3),b=(-1,2),若a-b与2a+b垂直,