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文档简介
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数 学(理工农医类)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页. 时量120分钟. 满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 满足(为虚数单位)的复数 【 B 】 A. B. C. D. 【解析】由题意,选B 2. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则【 D 】 A. B. C. D. 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, ,选D.3. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则【 C 】 A. B. C. D. 【解析】由题意,选C4. 的展开式的系数是【 A 】 A. B. C. D. 【解析】通项,则时, ,选A. 5. 已知命题:若,则;命题:若,则. 在命题; ; ; 中,真命题是【 C 】 A. B. C. D. 【解析】命题为真命题,当命题为假命题,所以为真命题,故选C.6. 执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于【 D 】 A. B. C. D. 【解析】当时,运行程序如下,当时,则,故选D. .正视图侧视图俯视图图27. 一块石材的几何体三视图如图2所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于【 B 】 A. B. C. D. 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则,故选B.8. 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为【 D 】 A. B. C. D. 【解析】设前两年的平均增长率为,则有9. 已知函数,且,则函数的图像的一条对称轴是【 A 】 A. B. C. D. 【解析】法一:由,所以或,即.则是其中一条对称轴.故选A.法二:由定积分的几何性质与三角函数图象可知是函数的一个对称中心,所以,所以.故选A.10. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点,则的取值范围是【 B 】 A. B. C. D. 【解析】由题可得函数的图像上存在点关于轴对称的点在函数的图像上,从而有,即.问题等价于函数在存在零点,法一:,在单调递增,当时,要使在存在零点,则,从而法二:问题等价于函数与的图象在有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象,当的图象在左右平移的过程中,即可,即,二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分. (一)选做题:在11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按全两题记分.图311. 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线(为参数)交于两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是 .【答案】 12. 如图3,已知是的两条弦,则的半径等于 .【答案】 13. 若关于的不等式的解集为,则 . 【答案】【解析】由题可得,故填.(二)必做题(1416题)14. 若变量满足约束条件,且的最小值为,则 . 【答案】【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且的可行域如图,所以,则当为最优解时,当为最优解时, 因为,所以,故填. 【考点定位】线性规划图415. 如图4,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则 . 【答案】【解析】由题可得,则.16. 在平面直角坐标系中,为原点, ,动点满足,则的最大值是 .【答案】【解析】动点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,可设的坐标为,则.,其中,当时,的取到最大值.三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和. 现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品. 设甲、乙两组的研发相互独立.()求至少有一种新产品研发成功的概率;()若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记甲组研发新产品成功,乙组研发新产品成功.由题设知且与,与,与,与都相互独立.()记至少有一种新产品研发成功,则,于是,故所求的概率为.()设企业可获利润为,则的可能取值为0,100,120,220.因故所求的分布列为0100120220数学期望为.图518.(本小题满分12分)如图5,平面四边形中, ()求的值;()若,求的长.【解析】()如图5,在中,由余弦定理,得故由题设知,()如图5,设,则,因为,,所以, 于是在中,由正弦定理,故19.(本小题满分12分)如图6,四棱柱的所有棱长都相等, 四边形和四边形均为矩形.()证明:平面;()若,求二面角的余弦值.【解析】()如图(a),因为四边形为矩形,所以,同理.因为,所以,而,因此平面,由题设知,故平面.()解法1:如图(a),过作于,连接.由()知,平面,所以平面于是,又四棱柱的所有棱长都相等,所以是菱形,因此,从而平面所以,于是平面,进而,所以为二面角的平面角,不妨设,因为,所以图a在中,易知,又.于是,故.即二面角的余弦值为.解法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以是菱形,因此,又平面,从而两两垂直.图b如图(b),以所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,不妨设,因为,所以于是相关各点的坐标为 易知,是平面平面的一个法向量.设是平面的一个法向量,则,即取,则,所以.设二面角的大小为,易知是锐角,于是.二面角的余弦值为.20.(本小题满分13分)已知数列满足()若数列是递增数列,且成等差数列,求的值;()若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.【解析】()因为数列是递增数列,而,因此又成等差数列,所以,因而得.解得当时,这与是递增数列矛盾,故.()是递增数列,因而,于是 但,所以 由,知,因此 因为是递减数列,同理可得,故 由,知,于是.数列的通项公式为.21.(本小题满分13分)图7如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且. ()求的方程;()过作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.【解析】()因为所以即,因此从而,于是,所以,故椭圆方程为,双曲线的方程为.()因为直线不垂直于轴且过点,故课设直线的方程为. 由得易知此方程的判别式大于0.设,则是上述方程的两个实根,所以因此,的中点为,故直线的斜率为,的方程为,即.由得,所以从而设点到直线的距离为,则点到直线的距离也为,所以因为点在直线的异侧,所以,于是,从而又因为,所以四边形面积而,故当时,取得最小值2.四边形面积的最小值为2.22.(本小题满分13分)已知常数,函数. ()讨论在区间上的单调性;()若存在两个极值点,且,求的取值范围.【解析】(),(*)因为,所以当时,当时,此时,函数在单调递增,当时, (舍去),当时,;当时,.故在区间单调递减,在单调递增的.综上所述当时,此时,函数在单调递增,当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. ()由(*)式知,当时,函数不存在极值点,因而要使得有两个极值点,必有,
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