湖南高考理科数学试卷及完美解答.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页. 时量120分钟. 满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足（为虚数单位）的复数 【 B 】 A. B. C. D. 【解析】由题意,选B 2. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为,则【 D 】 A. B. C. D. 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, ,选D.3. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则【 C 】 A. B. C. D. 【解析】由题意,选C4. 的展开式的系数是【 A 】 A. B. C. D. 【解析】通项,则时, ,选A. 5. 已知命题：若，则；命题：若，则. 在命题； ； ； 中，真命题是【 C 】 A. B. C. D. 【解析】命题为真命题,当命题为假命题,所以为真命题,故选C.6. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于【 D 】 A. B. C. D. 【解析】当时,运行程序如下,当时,则,故选D. .正视图侧视图俯视图图27. 一块石材的几何体三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于【 B 】 A. B. C. D. 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则,故选B.8. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为【 D 】 A. B. C. D. 【解析】设前两年的平均增长率为,则有9. 已知函数，且，则函数的图像的一条对称轴是【 A 】 A. B. C. D. 【解析】法一：由,所以或，即.则是其中一条对称轴.故选A.法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知是函数的一个对称中心，所以,所以.故选A.10. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是【 B 】 A. B. C. D. 【解析】由题可得函数的图像上存在点关于轴对称的点在函数的图像上，从而有,即.问题等价于函数在存在零点,法一：,在单调递增，当时，要使在存在零点，则，从而法二：问题等价于函数与的图象在有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当的图象在左右平移的过程中，即可，即，二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分.图311. 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是 .【答案】 12. 如图3，已知是的两条弦，则的半径等于 .【答案】 13. 若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】【解析】由题可得,故填.（二）必做题（1416题）14. 若变量满足约束条件，且的最小值为，则 . 【答案】【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,且的可行域如图,所以,则当为最优解时,当为最优解时, 因为,所以,故填. 【考点定位】线性规划图415. 如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则 . 【答案】【解析】由题可得,则.16. 在平面直角坐标系中，为原点， ，动点满足，则的最大值是 .【答案】【解析】动点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，可设的坐标为，则.，其中，当时，的取到最大值.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和. 现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品. 设甲、乙两组的研发相互独立.（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记甲组研发新产品成功，乙组研发新产品成功.由题设知且与，与，与，与都相互独立.（）记至少有一种新产品研发成功，则,于是,故所求的概率为.（）设企业可获利润为，则的可能取值为0,100,120,220.因故所求的分布列为0100120220数学期望为.图518.（本小题满分12分）如图5，平面四边形中， （）求的值；（）若，求的长.【解析】（）如图5，在中，由余弦定理，得故由题设知，（）如图5，设，则,因为,，所以, 于是在中，由正弦定理，故19.（本小题满分12分）如图6，四棱柱的所有棱长都相等， 四边形和四边形均为矩形.（）证明：平面；（）若，求二面角的余弦值.【解析】（）如图（a），因为四边形为矩形，所以，同理.因为，所以，而，因此平面,由题设知，故平面.（）解法1：如图（a），过作于，连接.由（）知，平面，所以平面于是,又四棱柱的所有棱长都相等，所以是菱形，因此,从而平面所以,于是平面，进而,所以为二面角的平面角,不妨设,因为，所以图a在中，易知,又.于是,故.即二面角的余弦值为.解法2：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以是菱形，因此,又平面，从而两两垂直.图b如图（b）,以所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设,因为，所以于是相关各点的坐标为 易知，是平面平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，则，即取，则，所以.设二面角的大小为，易知是锐角，于是.二面角的余弦值为.20.（本小题满分13分）已知数列满足（）若数列是递增数列，且成等差数列，求的值；（）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.【解析】（）因为数列是递增数列，而，因此又成等差数列，所以，因而得.解得当时，这与是递增数列矛盾，故.（）是递增数列，因而，于是 但，所以 由，知，因此 因为是递减数列，同理可得，故 由，知，于是.数列的通项公式为.21.（本小题满分13分）图7如图7，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且. （）求的方程；（）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值.【解析】（）因为所以即，因此从而，于是，所以，故椭圆方程为,双曲线的方程为.（）因为直线不垂直于轴且过点，故课设直线的方程为. 由得易知此方程的判别式大于0.设，则是上述方程的两个实根，所以因此，的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即.由得，所以从而设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以因为点在直线的异侧，所以，于是,从而又因为，所以四边形面积而，故当时，取得最小值2.四边形面积的最小值为2.22.（本小题满分13分）已知常数，函数. （）讨论在区间上的单调性；（）若存在两个极值点，且，求的取值范围.【解析】（）,（*）因为,所以当时,当时,此时，函数在单调递增,当时, （舍去），当时，；当时，.故在区间单调递减,在单调递增的.综上所述当时,此时，函数在单调递增,当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. （）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，