北京市东城区2019届高三数学上学期期末考试试卷理（含解析）.docx

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A=x|-2x0，B=-2，-1，0，1，2，则AB=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，故选C【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】，为纯虚数的是，故选D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（）A. 3 B. 12 C. 60 D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【详解】模拟执行程序，可得， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 不满足条件，退出循环，输出的值为60 故选C【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果【详解】圆，即，圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在A中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；在B中，是圆，不是直线，故B错误； 在C中，即， 圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确； 在D中，即， 圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误 故选C【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】，的值所在的区间为，故选B【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若满足，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=_【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可【详解】双曲线的一个焦点为，即，解得，故答案为3【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.11.若等差数列an和等比数列bn满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列an和bn的通项公式：an=_，bn=_【答案】 (1). -n (2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，可得， 即为， 可取，可得，则，故答案为，2【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题12.在菱形ABCD中，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可【详解】菱形中，由可得则，故答案为【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题13.函数在区间上的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值【详解】函数；，当时，取得最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题14.已知函数f（x）为定义域为R，设Ff（x）=若f（x）=，则Ff（1）=_；若f（x）=ea-|x|-1，且对任意xR，Ff（x）=f（x），则实数a的取值范围为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】通过的范围，可得，代入可得所求值；由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围【详解】若，由，可得，成立，即有，则；若，且对任意，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则，故答案为，【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在ABC中，（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为a2，求cosA的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值【详解】（1）在ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又， （2）因为ABC的面积为，2，由余弦定理，所以【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：10，12），12，14），14，16），16，18），18，20，整理得到如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中的x的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望【详解】（1）由，可得0.15（2），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150（3）课外阅读时间在10，12）的学生样本的频率为0.082=0.16，500.16=8，即阅读时间在10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；所以X的分布列为：X0123P故的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如图1，在四边形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE平面EFCD（如图2），G是BF的中点（1）证明：ACEG；（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出，从而平面，进而，四边形为正方形，由此能证明平面，从而；（2）由，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小【详解】证明：（1）在图1中，可得AEF为等腰直角三角形，AEEF因为ADBC，所以EFBF，EFFC因为平面ABFE平面EFCD，且两平面交于EF，CF平面CDEF，所以CF平面ABFE又EG平面ABFE，故CFEG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AFEG；又AFFC=F，所以EG平面AFC又AC平面AFC，所以ACEG（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）设H是线段BC上一点，因此点由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，即，解得（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）由（1）可得，是平面的法向量，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1于是n=（1，1，1）所以所以二面角D-AC-F的大小为90【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18.已知函数f（x）=axex-x2-2x（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当x0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案【详解】（1）当时，其导数，又因为，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为；（2）根据题意，当时，“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，又由x0，则 ，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.19.已知椭圆过点P（2，1）（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A，直线AP与C交于另一点B设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，设点的坐标为，分别求出，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得所以，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e=，（2）直线AB与直线OP平行证明如下：设直线，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得，同理，所以，由，有，因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上，又，故，所以直线与直线平行【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题20.对给定的dN*，记由数列构成的集合（1）若数列an（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合（d），若d2求证：存在整数k，使得对（d）中的任意数列an，整数k不是数列an中的项；（3）已知数列an，bn（d），记an，bn的前n项和分别为An，Bn若|an+1|bn+1|，求证：AnBn【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析